Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
Einschub: Matrizen und Vektoren
Matrizen und Vektoren sind eine bequeme Art lineare Gleichungssysteme
zu schreiben. Beispielsweise das System
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
kann in Matrixform als
( ) ( ) ( )
a11 a 12 x1 b1
=
a 21 a 22 x 2 b 2
geschrieben werden. Matrizen und Vektoren werden oft mit
fettgedruckten Buchstaben oder Symbolen abgekürzt, wodurch
die obige Matrixgleichung in der kompakten Form
Ax = b notiert werden kann. Die Rechenregeln für das Produkt
der Matrix A mit dem Vektor x gehen unmittelbar aus
der obigen Darstellung hervor.
Der Vorteil der Matrixdarstellung ist, dass ein lineares Gleichungssystem
der Form Ax = b simultan durch eine Operation gelöst werden kann, die als
Matrixinversion bezeichnet wird. Diese Operation wird zu einem späteren
Zeitpunkt noch genauer beleuchtet. Man erhält dann eine Matrixgleichung
der Form x = A −1 b wodurch die Lösungen des linearen Gleichungssystems
sofort im Vektor x abgelesen werden können.
Wir wollen nun die partiellen Autokorrelationen für den AR(1)-Prozess
bis zum Lag k = 2 berechnen. Mit Hilfe des Gleichungssystems (2.24) erhalten
wir ( ) ( ) ( )
1 ρ1 φ21 ρ1
= . (2.25)
ρ 1 1 φ 22 ρ 2
Um an die partiellen Autokorrelation zu kommen muss nun die (2×2)-Matrix
in (2.25) invertiert werden.
18