Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
2.3.1 Parameterschätzung und Stationarität
Beispiel 2.1: Simulierter AR(1)-Prozess
Zur Veranschaulichung wurde ein AR(1)-Prozess y t = φy t−1 +
ɛ t simuliert, wobei ɛ t ∼ N(0, 1) angenommen wurde. Der AR-
Parameter wurde auf φ = 0.5 gesetzt. Abbildung 2.2 zeigt
die Zeitreihe (y t ) t=0,...,1000 , die durch den simulierten Prozess
erzeugt wurde. Der selbe Prozess wurde zusätzlich mit einem
deterministischen Trend, ν t =
t , überlagert, was natürlich
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zur Folge hat, dass die Stationarität nicht mehr gegeben ist,
da der Erwartungswert nun von der Zeit t abhängt und nicht
mehr konstant ist. Abbildung 2.3 auf der nächsten Seite zeigt
die resultierende Zeitreihe. Die entsprechenden Parameterschätzer
sind in Tabelle 2.1 auf der nächsten Seite zusammengefasst.
Die im stationären Modell ermittelten empirischen Parameterschätzungen
stimmen sehr gut mit den wahren Werten überein, während die Werte im
trendüberlagerten Modell völlig unbrauchbar sind. Die Ursache für diese
Fehlschätzungen ist in Abbildung 2.3 auf der nächsten Seite angedeutet.
Die horizontalen Linien geben den geschätzten Mittelwert (durchgezogene
Linie) plus/minus zwei Standardabweichungen (gestrichelte Linien) wider.
Man sieht deutlich, dass der „Trendkanal“ hier vollkommen unberücksichtigt
bleibt. Es wird einfach über das volle Spektrum der Werte gemittelt. Daher
sind die resultierenden Schätzer natürlich nicht brauchbar. Das Einrechnen
Abbildung 2.2: Stationäre Zeitreihe
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