Zeitreihenanalyse – Einstieg und Aufgaben - FernUniversität in Hagen

KAPITEL 2. AR-PROZESSE UND ELEMENTARES
folgen. Die Lösungen z 1 und z 2 sind die eigentlichen Wurzeln oder roots.
Für z = λ −1 gilt aber z 1/2 = λ −1
1/2
. Das erklärt auch die Begriffe „roots“ und
„inverted roots“. Für die eigentlichen Wurzeln z 1/2 gilt natürlich auch die
entsprechend umgekehrte Stationaritätsbedingung |z k | > 1 für k = 1, 2. Um
keine größere Verwirrung zu stiften werden wir im Folgenden die „inverted
roots“ λ 1/2 betrachten. Wir sollten jedoch im Hinterkopf behalten, dass beide
Formulierungen äquivalent sind. Wir multiplizieren (2.74) mit z −2 = λ 2 und
erhalten
λ 2 − φ 1 λ − φ 2 = (λ − λ 1 )(λ − λ 2 ). (2.76)
Gleichung (2.76) hat eine noch klarere Struktur als (2.74). Die rechte Seite
wird trivialerweise null für λ = λ 1/2 , während sich λ 1 und λ 2 selbst als
Nullstellen der quadratischen Gleichung auf der linken Seite von (2.76)
ergeben.
Einschub: Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung der Form
x 2 + px + q = 0
kann durch die sog. pq-Formel gelöst werden.
Die Lösungen ergeben sich zu
x 1/2 = − p 2 ± √ (p
2) 2
− q.
Die pq-Formel liefert zwei Lösungen, da ein
Polynom n-ten Grades immer genau n nicht
notwendigerweise reelle Nullstellen besitzt.
Wir erhalten also aus der quadratischen Gleichung (2.76) mit Hilfe der pq-
Formel die Wurzeln (inverted roots)
λ 1/2 = φ 1
2 ± √
φ
2
1
4 + φ 2. (2.77)
Wir wollen Gleichung (2.76) für einen kurzen Moment aus einem anderen
Blickwinkel betrachten. Das AR(2)-Modell kann alternativ als VAR(1)-
Modell (Vector Auto Regressive) geschrieben werden. Ohne auf Details ein-
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