Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - UniversitÃ¤t TÃ¼bingen

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ML−PfadML−Pfadξ 0P 1ξ kP 2Abbildung 10: Beweisskizze für Satz aus (c)Dann: Metrik von P 2 + Metrik des Restes des ML-Pfads ab ξ k > MetrikML-Pfad. Widerspruch.(d) Da die Metriken in der Regel nicht ganzzahlig sind, wird häufig stattder Bit-Metrik log p(v i |c i ) der Ausdruck a[log p(v i |c i ) + b], a ∈ R >0 ,b ∈ R verwendet. Dann wird ∑ log p(v ij |c ij ) genau dann maximiert,wenn ∑ a[log(p(v ij |c ij )) + b] maximiert wird.Man wählt b so, dass der kleinste Wert der Metrik 0 wird und danna so, dass alle Werte (annähernd) ganzzahlig werden. Schätzung desAlgorithmus ist dann etwas suboptimal, aber im Allgemeinen ist dieVerschlechterung minimal.(e) Beim binären symmetrischen Kanal kann man zeigen:M(v|c) maximal ⇐⇒t∑i=0n∑v ij · c ij ∈ N 0 maximalj=1} {{ }=:v·c(Summieren in Z, nicht in Z 2 )Also wählt man dort als Metrik gerade v · c.10.12 Beispiel.1terminierter Faltungscode (L = 5) mit Trellisdiagramm aus Beispiel 10.10.2Empfangene Folge: v = (1100110110110); Metrik M(v|c) = v · c.Viterbi-Decodierung siehe Abbildung 11.10.13 Beispiel.Wir nehmen jetzt an, dass wir einen Kanal mit Input-Alphabet {0, 1} undOutput-Alphabet {0 1 , 0 2 , 1 1 , 1 2 } haben (Soft-Decision-Modulator).118
(0, 0) ξ 1z 0z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 700 00 00 0000000 0400458 811 11 11 11 11(1, 0) ξ 21111 11 112 0 2 5 500 00 00119(0, 1) ξ 31010 10 10102 3 46 60101 01011101 01 01 01EmpfangeneFolge vSurviviorpfad cInfofolge u(1, 1) ξ 4 2 10 3 10 3 10 51100 11 01 10 11 0011 10 11 1110 11001 0 0 1 0 00Abbildung 11: Viterbi-Decodierung für das Beispiel 10.12.d(v,c)=2
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Inhaltsverzeichnis1 Codes - einige
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EinführungCodierung: Sicherung von
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1.3Nachrichten und Alphabet wie in
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EAN-13 erkennt Vertauschungen von c
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(2) d(a, b) = 0 ⇔ a = b für alle
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2.6 Definition.Sei C ein Blockcode
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3.6. VoraussetzungDer Kanal sein ei
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(c) Binärer symmetrischer Kanal: H
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Ob das das bestmögliche Decodierun
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4 Die Kugelpackungsschranke und per
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(b) Sei C perfekt. Nach 4.2: d(C) =
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lerwahrscheinlichkeit ≈ 0, 114.Be
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(b) Ist {0} ≠ C ⊆ K n , so hei
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⎛ ⎞⎛ ⎞h 1h 1 · git⎜ ⎟S
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Zunächst werden die Zeilen in G ve
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Mit Hilfe von Kontrollmatrizen werd
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Eintrag von y. Dies ist hier Spalte
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5.22 Beispiel. (für Syndrom-Decodi
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˜f = (∗, . . ., }{{} 1 , ∗, .
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5.31 Satz.Sei C ein [n, k]-Code üb
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Beweis.(a) Sei G Erzeugermatrix von
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6.6 Definition.Sei C linearer [n, k
Seite 51 und 52:
(a) Ĉ ist ein linearer [n + 1, k]-
Seite 53 und 54:
(e) Ist Či ≠ {0}, so ist d(Či)
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als den Träger von z (also wt(z) =
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Ansonsten per Induktion (nach r + m
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Daher ist wt(x, x+y) = wt(x)+wt(x+y
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· = ∧1 + g = ḡf + g + fg = f
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7.10 Satz.Für 0 ≤ r ≤ m − 1
Seite 65 und 66:
Setzte p i (x 1 , . . .,x m ) = a i
Seite 67 und 68:
Es ist < y (j) , x >= y (j)1 x 1 +
Seite 69 und 70: (2) Ist r ≠ i 1 , . . .,i s , so
Seite 71 und 72: (2) Sei M p-dimensionaler Unterraum
Seite 73 und 74: Wir wählen folgende Bezeichnungen
Seite 75 und 76: M Anzahl der Fehler{v 0 , v 5 } an
Seite 77 und 78: Beispiel: K = Z 2 , f = x 4 + x 2 +
Seite 79 und 80: CCITT (Comité Consultativ Internat
Seite 81 und 82: Man kann Polynomcodierung auch zur
Seite 83 und 84: 8.8 Definition.Sei C ein [n, k]-Cod
Seite 85 und 86: 8.13 Exkurs (Polynomringe, II).(1)
Seite 87 und 88: Beweis:x ⊙( ∑n−1)a i x ii=0=
Seite 89 und 90: 8.17. FolgerungIst C ein zyklischer
Seite 91 und 92: Dies ist nach 8.17 eine Kontrollmat
Seite 93 und 94: 9 Reed-Solomon-Codes und Anwendunge
Seite 95 und 96: Beweis:Sei g(x) = ∑ d−1i=0 a ix
Seite 97 und 98: Bilde für 1 ≤ r ≤ ⌊ ⌋d−1
Seite 99 und 100: 9.6 Beispiel.Wir benutzen den Code
Seite 101 und 102: 9.9 Definition.Seinen C 1 , C 2 Cod
Seite 103 und 104: In einem der beiden v i ist mindest
Seite 105 und 106: echts stehende Symbol im jeweiligen
Seite 107 und 108: Eight-to-Fourteen Modulation.Damit
Seite 109 und 110: 10 FaltungscodesFaltungscodes (Conv
Seite 111 und 112: Register).Aus diesen k · (m+1) Bit
Seite 113 und 114: Der Faltungscodierung (∗) entspri
Seite 115 und 116: Beweis:⇐:Angenommen ggT(g 1 , . .
Seite 117 und 118: 115z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7u
Seite 119: wobei N = (t + 1) · n.Wegen p < 1
Seite 123 und 124: 0123456700 00 00 00 00 005 25 44 59
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