Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

Es ist < y (j) , x >= y (j)1 x 1 + . . . + y (j)n x n = 0 für j = 1, . . .,l.Wir berechnen < y (j) , z > und betrachten 2 Fälle:1.Fall : z i ist fehlerhaft, etwa z i = z k1 .Dann y (j)i z i ≠ y (j)i x i , j = 1, . . .,l.Es gibt wegen Bedingung (2) aus 7.16 maximal t − 1 viele y (j) , die an einerder Stellen k 2 , . . .,k t einen Eintrag ≠ 0 haben.Für die übrigen l − (t − 1) vielen y (j) gilt also:Ist r ≠ i, so ist y r (j) x r = y r (j) z r(denn entweder ist x r = z r oder y r(j) = 0 (oder beides))Also gilt für diese j: < y (j) , z >=< y (j) , z > −< y (j) , x >} {{ }=0= y (j)i z i −y (j)i x i ≠ 02.Fall : z i ist korrekt.Es gibt maximal t viele y (j) , die an einer Stelle k 1 , . . .,k t einen Eintrag ≠ 0haben.Die übrigen l − t vielen haben an diesen Stellen Eintrag 0.Also gilt für diese y (j) : y r (j) x r = y r (j) z r für alle r,das heißt < y (j) , z >=< y (j) , x >= 0.Fasst man beide Fälle zusammen, so erhält man:< y (j) , z >≠ 0 für{ ≤ t Werte von j, falls zi korrekt≥ l − (t − 1) Werte von j, falls z i fehlerhaftDa t ≤ 1 l, ist 2t ≤ l, das heißt t ≤ l − t und l − (t − 1) ≥ (t + 1); also folgt:2Ist z i fehlerhaft, so ist die Mehrheit der Werte < y (j) z >≠ 0Ist z i korrekt, so ist das nicht der Fall(maximal t ≤ l viele ≠ 0, mindestens l − t ≥ l viele = 0).2 2Damit :Mehrheit der Werte < y (j) , z >≠ 0 ⇐⇒ z i ist fehlerhaft.Das ist die Majority-Logic-Decodierung. Im binären Fall kann z i natürlichkorrigiert werden, wenn es fehlerhaft ist.7.18 Beispiel.Sei C der [7,3]-Simplex-Code (der duale Code zum [7,4]-Hamming-Code überZ 2 ).65