Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

3) Bestimme Fehlerortungspolynom q(x) aus dem Gleichungssystem⎛ ⎞ ⎛ ⎞q t s t+1⎜ ⎟ ⎜ ⎟S t · ⎝ . ⎠ = −⎝. ⎠q 1 s 2t4) Bestimme die Nullstellen von q(x), etwa durch Einsetzen der Elementeα 0 , α 1 , . . .,α n−1 . Ist q(α n−l ) = 0, so ist l Fehlerposition.Dadurch erhält man F = {i 1 , . . .,i t }.5) Berechne den Fehler f = (f 1 , . . ., f n ) aus dem Gleichungssystem6) c = v − f.⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞α i 1· · · α it f i1 s 1α 2i 1. . . α 2it.⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ . . ⎠ ⎝ . ⎠ = .⎜ ⎟⎝ . ⎠α ti 1· · · α t·it f it s t7. Der Decodieralgorithmus decodiert also nicht in jedem Fall (keine Hamming-Decodierung), sondern wenn maximal ⌊ ⌋d−12 Fehler aufgetreten sind(und dann korrekt): BMD-Decodierung ( begrenzte Minimaldistanz).Sind mehr als ⌊ ⌋d−12 Fehler aufgetreten, so ist einer von 3 Fällen möglich:• Fehlermeldung.• Decodierung in ein Wort, das kein Codewort ist (feststellbar mitKontrollmatrix).• Decodierung in ein falsches Codewort (decoder error).8. Besonders aufwändig in 6. sind die Schritte 2,3,5.Hier gibt es Algorithmen, die (z.B. aufgrund der speziellen Form derauftretenden Koeffizientenmatrix) diese Schritte effizienter ausführen.Stichworte:• Verwendung des euklidschen Algorithmus in K[x].• Berlekamp-Massey-Algorithmus.Literatur: • Willems, Codierungstheorie, Kapitel 9.• Friedrichs, Kanalcodierung, Kapitel 7.• Justeson, Høholdt, A Course in Error-Correcting-CodesKapitel 5.96