Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

(a) Für alle k ∈ K gilt: k}+ .{{. . + k}= 0.p(b) Die multiplikative Gruppe K ∗ = K \ {0} ist zyklisch, das heißt es existiertα ∈ K ∗ mit K ∗ = {1 = α 0 , α 1 , . . .,α q−2 } (α q−1 = 1).(Beweis z.B. Willems, 2.2.1 und 2.2.6)Beweis von 8.11.Es gibt nach 5.2 einen endlichen Körper K mit |K| = 2 p .Dieser Körper enthält {0, 1} = Z 2 als Teilkörper (da 1 + 1 = 0 in K nach8.12 a)).Daher kann man K als l-dimensionalen Vektorraum über Z 2 betrachten.Sei k 1 , . . .,k l eine Basis,das heißt K = { ∑ ǫ i · k i : ǫ i = 0, 1} ↔ {(ǫ 1 , . . .,ǫ l ) t : ǫ i = 0, 1}.K ∗ = {1, α, . . ., α q−2 } für ein geeignetes α ∈ K ∗ nach 8.12 b), q = 2 l .Schreibe die 1 = α 0 , α, . . .,α q−2 als 0 − 1−Vektoren der Länge l. Das liefertalle Elemente ≠ 0 von K, das heißt alle Vektoren ≠ 0 des Z 2 -VektorraumsK.Bilde H = (α 0 , α 1 , . . .,α q−2 ), α i als Spaltenvektor der Länge l aufgefasst.Dann ist H Kontrollmatrix für [2 l − 1, 2 l − 1 − l]-Hamming-Code H l .x = (x 1 , . . .,x q−1 ) ∈ H l ⇐⇒ Hx t = 0 ⇐⇒q−2∑x q−1 α 0 + x i α i =i=1q−1∑x i · α i−1 = 0i=1( ∑q−1)x i α i−1 α = 0 (denn α q−1 = α 0 = 1)i=1Also: (x q−1 , x 1 , . . ., x q−1 ) ∈ H l , H l ist zyklisch.[ Für den Fall l = 3 führt das z.B. auf folgende Kontrollmatrix für einenzyklischen Hamming [7, 4]-Code H 3 :⎛⎞⎛⎞1 0 1 0 0 0 11 0 0 1 0 1 1˜H = ⎝0 1 0 1 1 1 0⎠ und Erzeugermatrix ˜G = ⎜1 1 1 0 0 1 0⎟⎝0 1 1 0 1 0 0⎠0 0 1 0 1 1 11 1 0 1 0 0 0σ(1010001) = (1101000) ∈ H 3σ(1110010) = (0111001) = (1010001) + (1101000) ∈ H 3σ(0110100) = (0011010) = (1110010) + (1101000) ∈ H 3σ(1101000) = (0110100) ∈ H 3 ]82