Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

8.16 Satz.(a) Sei C ein zyklischer [n, k]-Code über einem endlichen Körper K, identifiziertmit ˜C ⊆ (K[x] n , +, ⊙)˜=K[x]/(x n − 1)K[x] entsprechend 8.15.Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Polynom g(x) mit höchstemKoeffizienten 1 vom Grad n − k in K[x] und g(x) | (x n − 1), so dass˜C = { m(x) · g(x)} {{ }normale Polynom-Multiplikation: Grad(m(x)) < k} = g(x) · K[x] kg(x) ist also Erzeugerpolynom von ˜C (bzw. von C) [vgl, 8.7].(b) Ist in der Situation von (a) x n − 1 = g(x) · h(x), also Grad(h) = k, soist ˜C = {f(x) ∈ K[x] n : f(x) ⊙ h(x) = 0}.h(x) heißt Kontrollpolynom von ˜C (bzw. von C).(c) Jedes Polynom g(x) (mit höchstem Koeffizienten 1) vom Grad(n − k)und g(x) | x n − 1 liefert durchBeweis.einen zyklischen [n, k]-Code ˜C.˜C = {m(x) · g(x) : Grad(m(x)) < k}(a) Nach 8.15 ist ˜C ein Ideal in (K[x] n , +, ⊙), ⊙ bezüglich x n − 1.Es ist (K[x] n , +, ⊙)˜=K[x]/(x n − 1)K[x]. Ideale von K[x]/(x n − 1)K[x]sind nach 8.13 (6) von der Form g(x)K[x]/(x n − 1)K[x], g(x) | x n − 1.Dabei ist g(x) bis auf skalare Vielfache eindeutig festgelegt (folgt aus8.13 (5)).Fordert man, dass der höchste Koeffizient von g(x) gleich 1 ist, so istg(x) eindeutig bestimmt.Dem Ideal g(x)K[x]/(x n − 1)K[x] entspricht in (K[x] n , +, ⊙) das Idealg(x) ⊙ K[x] n = {g(x) ⊙ f(x) : f(x) ∈ K[x] n }.Ist Grad(f) < k, so g(x) ⊙ f(x) = g(x) · f(x).Da |{g(x) · m(x) : Grad(m(x)) < k}| = |K| k = | ˜C|, folgt die letzteBehauptung unter (a).(b) Es ist g(x) ⊙ h(x) = 0 in K[x] n , also c(x) ⊙ h(x) = 0 für alle c(x) ∈ ˜Cnach (a).Ist umgekehrt f(x) ⊙ h(x) = 0 (f(x) ∈ K[x] n ), so g(x) · h(x) = x n − 1 |f(x) · h(x), also g(x) | f(x) ⇒ f(x) ∈ g(x) · K[x] n = ˜C nach (a).(c) Wie in (a) sieht man, dass ˜C Ideal in (K[x] n , +, ⊙) ist.Behauptung folgt aus 8.15. | ˜C| = |K| k , also dim ( ˜C) = k.86