Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

Beweis.(a) Sei G Erzeugermatrix von C , y ∈ K n . Dann gilt:y ∈ C ⊥ ⇔ < x, y > = 0 ∀ x ∈ C⇔ < x i , y > = 0 für eine Basis x 1 , . . .,x k von C⇔ Gy t = 0 (Zeilen von G bilden Basis)Damit ist G Kontrollmatrix von C ⊥ mit dim(C ⊥ ) = n - rg(G) = n − k.(b) Klar, dass C ⊆ (C ⊥ ) ⊥ . Für die Dimensionen gilt:Also gilt die Gleichheit.dim(C ⊥ ) ⊥ (a)= n − (n − k) = dim(C).(c) G Erzeugermatrix von C ⇒ G Kontrollmatrix von C ⊥ , siehe Beweis a).Umgekehrt: G Kontrollmatrix von C ⊥ , dann:x Zeile von G, so xy t = 0 für alle y ∈ C ⊥ , das heißt x ∈ (C ⊥ ) ⊥ = b)C.Zeilen von G linear unabhängig, dim(C) = n − (n − k) = Anzahl Zeilenvon G ⇒ G Erzeugermatrix von C. Zweite Äquivalenz folgt aus b).(d) Es gilt:(− A t}{{}(n − k) × k| I n−k )(I k | A }{{}k × n − k( )) t = (−A t Ik| I n−k ) = −A t I} {{ } A} {{ t k +I n−k A t = 0}(n − k) × kDaraus folgt, dass (−A t | I n−k ) eine Kontrollmatrix von C ist und nach(c) somit eine Erzeugermatrix für C ⊥ .n × k6.5 Beispiel.Wir beschreiben die zu den Hamming-Codes dualen Codes:Hamming-Code ist [ ql − 1, n − l]-Code über K, |K| = q.q − 1} {{ }nKontrollmatrix H enthält aus jedem 1-dimensionalen Unterraum von K leinen Vektor ≠ 0.Sei C der duale Code zum Hamming-Code. Nach 6.4c) ist H Erzeugermatrixvon C. C ist also ein [ ql −1, l]-Code. Er heißt Simplex-Code.q−1Es gilt:45