Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

Beschreibung jeder solchen Funktion f(x 1 , . . .,x m ) durch Wertetabelle:⎫x m 0 0 0 0 . . . 1 1 1 1x m−1 0 0 0 0 1 1 1 1⎪⎬. . . . . . . . .x 3 0 0 0 0 1 1 1 1x 2 0 0 1 1 0 0 1 1x 1 0 1 0 1 . . . 0 1 0 1⎪⎭f(x 1 , . . .,x m ) ∗ ∗ ∗ ∗ . . . ∗ ∗ ∗ ∗} {{ }Werte von f, d.h. ∗ ∈ Z 2Diese AnordnungderVektoren in Z m 2behalten wirim folgendenbei.Diese Funktionen bilden einen Ring mit punktweiser Addition und Multiplikation.Jede solche Funktion ist eine Polynomfunktion:Eine Polynomfunktion ist z.B. von der Form f(x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 + x 1 + x 1 x 2 +x 2 + x 3 (Addition und Multiplikation über Z 2 ).Beachte: x 2 i = x i, x i x j = x j x i (als Polynomfunktionen).Jede Polynomfunktion ist Linearkombination der Monome1, x 1 , x 2 , . . . , x m , x 1 x 2 , x 1 x 3 , . . ., x 1 x m ,x 2 x 3 , . . ., x m−1 x m , x 1 x 2 x 3 , . . . , x 1 x 2 . . .x mDavon gibt es 2 m viele (=Anzahl der Teilmengen von {x 1 , . . .,x m }) und siesind über Z 2 linear unabhängig.Also gibt es 2 2m viele Polynomfunktionen, und dies sind aus Anzahlgründenalle Funktionen Z m 2 → Z 2.(+ entspricht XOR; · entspricht ∧; daher auch Bezeichnung Boole’sche Funktionen).Der Grad eines Monoms x i1 . . .x ik , i 1 < . . . < i k , ist k.Grad einer Polynomfunktion f ist Maximum der Grade der in f auftretendenMonome.Allgemeine Berechnungsmöglichkeit der Darstellung einer Boole’schen Funktionals Polynomfunktion:∨ ∧f =x j ∧∧¯x k ){a∈Z m 2 : f(a)=1} ({j: a j =1}{k: a k =0}58