Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

Man hätte p natürlich auch nach dem Verfahren von 7.6 bestimmen können:¯x 1¯x 2¯x 3 ∨ x 1¯x 2 x 3 ∨ ¯x 1 x 2 x 3 ∨ x 1 x 2¯x 3 =(¯x 1¯x 2¯x 3 + x 1¯x 2 x 3 + ¯x 1¯x 2¯x 3 x 1¯x 2 x } {{ } 3 ) ∨ (¯x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2¯x 3 + ¯x 1 x 2 x 3 x 1 x 2¯x 3 ) } {{ }=0=0= ¯x 1¯x 2¯x 3 + x 1¯x 2 x 3 + ¯x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2¯x 3 + (¯x 1¯x 2¯x 3 + x 1¯x 2 x 3 )(¯x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2¯x 3 )} {{ }=0= (1 + x 1 )(1 + x 2 )(1 + x 3 ) + x 1 (1 + x 2 )x 3 + (1 + x 1 )x 2 x 3 + x 1 x 2 (1 + x 3 )= (1 + x 1 )(1 + x 2 + x 3 + x 2 x 3 ) + x 1 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 + x 1 x 2 x 3= 1 + x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 1 + x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 2 + x 1 x 2 x 3= 1 + x 1 + x 2 + x 37.15 Bemerkung.Man kann zeigen, dassRM(r, m) = 〈χ M∈ Z 2m2 : M ist t-dimensionaler affinerUnterraum von Z m 2 , t ≥ m − r〉Affiner Unterraum = y + M, M linearer Unterraum, y ∈ Z m 2(Nebenklassen der linearen Unterräume)Beweis: siehe Skript Codierungstheorie SS 2004, Satz 5.8, oderMacWilliams, Sloane, Chapter 13, §6.Damit beenden wir unsere Beschreibung der Reed-Muller-Codes und wendenuns dem Verfahren der Majority-Logic-Decodierung zu. Wir beschreiben dieszunächst für beliebige lineare Codes und zeigen dann, wie es für Reed-Muller-Codes besonders effizient anwendbar ist.7.16 Definition.Sei C ein [n, k]-Code über einem endlichen Körper K, y (1) , . . .,y (l) ∈ C ⊥(d.h. < y (i) , x >= 0 für j = 1, . . .,l und alle x ∈ C), y (j) = (y (j)1 , . . .,y(j) n ).y (1) , . . .,y (l) heißen orthogonal bezüglich Position i (1 ≤ i ≤ n) falls gilt:(1) y (j)i = 1 für alle j = 1, . . ., l.(2) Ist r ≠ i, so ist y (j)r ≠ 0 für höchstens ein j.7.17. Majority-Logic-DecodierungGeg :Ang :[n, k]-Code C, Position i (1 ≤ i ≤ n), y (1) , . . ., y (l) ∈ C ⊥orthogonal bezüglich Position i.x = (x 1 , . . ., x n ) ∈ C wird gesendet, z = (z 1 , . . .,z n ) ∈ K n wirdempfangen, das t Fehler enthält, t ≤ 1 l. Die fehlerhaften Stellen2seien z k1 , . . ., z kt .Frage : Ist z i fehlerhaft oder nicht?64