Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

6.14 Beispiele.(a) Sei C = {(0, . . ., 0), (1, . . .,1), (0, 1, . . ., 1), (1, 0, . . ., 0)}, n ≥ 2.} {{ }nC ist linearer [n, 2]-Code über Z 2 mit d(C) = 1.(b)Č 1 = {(1, . . ., 1), ((0, . . ., 0) }} {{ } } {{ }n−1 n−1und d(Č1) = n − 1.( In 6.13.e) gibt es also keine Konstante c mit d(Či) ≤ d(C) + c ).C = {(1101), (0110), (1011), (0000)},C ist linearer [4, 2]-Code über Z 2 , d(C) = 2◦C1= {(101), (110), (011), (000)}, d( ◦ C1) = 2◦C2= {(101), (010), (111), (000)}, d( ◦ C2) = 1Dies zeigt, dass beide Fälle in 6.13.f) auftreten können.Eine letzte Konstruktionsmöglichkeit:6.15 Satz (Plotkin-Konstruktion).Für i = 1, 2 seien C i [n, k i ]-Codes mit d(C i ) = d i über K, |K| = q. Dann istC 1 ∝ C 2 := {(x 1 , x 1 + x 2 ) : x i ∈ C i } ⊆ K 2nein [2n, k 1 + k 2 ]-Code über K mit d(C) = min{2d 1 , d 2 }.Beweis.i) Klar, dass C ⊆ K 2n . D.h. C ist von der Länge 2n.ii) Betrachte die Abbildung:{C1 ⊕ Cα : 2 ↦→ C(x 1 , x 2 ) ↦→ (x 1 , x 1 + x 2 )Die Abbildung α ist linear, injektiv und surjektiv, also ein Vektorraumisomorphismus.Damit gilt für die Dimension:dim(C) = dim(C 1 ⊕ C 2 ) = k 1 + k 2 .iii) Was ist d(C )? Ist C = {0}, so ist d 1 = d 2 = 0.Sei also C ≠ {0} und 0 ≠ x = (x 1 , x 1 + x 2 ) ∈ C. Definiere für z =(z 1 , . . .,z n ) ∈ K n Tr(z) := {j : z j ≠ 0}52