Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

Beachte : l ∈ F ⇐⇒ q(α −l ) = 0 (α −l = α n−l ).Der Algorithmus besteht aus 2 Hauptschritten:I) Bestimme q(x) und damit F.II) Bestimme mit Hilfe von F den Fehlervektor f.2. Wir zeigen zunächst zwei Gleichungen für die Komponenten s i des Syndroms(s 1 , . . .,s d−1 ) t .(a) s i = ∑ l∈Fα li f l , i = 1, . . ., d − 1 :s i = 1 · f 0 + α i f 1 + α 2i · f 2 + . . . + α (n−1)i f n−1 = ∑ l∈Fα li f l .∑(b) s i = − t q j s i−j , i = t + 1, . . ., d − 1:j=1t∑j=0q j s i−ja)=t∑ ∑q j α l(i−j) f lj=0= ∑ l∈F= ∑ l∈Fl∈Fα li f lt∑q j α −ljj=0α li f l q(α −l ) = 0Da q 0 = 1, folgt die Behauptung.3. Aus 2) folgt, dass man bei Kenntnis der Fehlerpositionen F = {i 1 , . . .,i t }den Fehlervektor berechnen kann. Dazu muss man natürlich nur f i1 , . . .,f itbestimmen. Dazu betrachten wir die ersten t Gleichungen in 2(a) undschreiben diese in Matrixform:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞α i 1· · · α it f i1 s 1α 2i 1. . . α 2it.⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ . . ⎠ ⎝ . ⎠ = .⎜ ⎟⎝ . ⎠α ti 1· · · α t·it f} {{ }it s tinvertierbar, vgl. Beweis 9.2.a)Gleichungssystem hat eindeutige Lösung, z.B Cramer Regel.4. Wie bestimmt man F? Dazu bestimmt man q(x).Wir zeigen zunächst wie man q(x) bestimmen kann, wenn man |F | = t,die Anzahl der Fehler, kennt:94