Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

8.8 Definition.Sei C ein [n, k]-Code über K. C heißt zyklisch, falls gilt:Ist (c 1 , . . .,c n ) ∈ C, so auch σ(c 1 , . . .,c n ) := (c n , c 1 , c n−1 ) ∈ C.Dann auch σ i (c 1 , . . .,c n ) = (c n−i+1 , . . .,c n , c 1 , . . ., c n−i ) ∈ C ∀i = 1, . . .,n.8.9 Bemerkung.Ist C ein zyklischer Code, y (1) , . . .,y (l) ∈ C ⊥ orthogonal bezüglich Position 1,y (j) = (y (j)1 , . . ., y n (j) ) (vgl. 7.16).Dann σ i (y (j) ) = (y (j)n−i+1 , . . .,y(j) n , y (j)1 , . . .,y (j)n−i ) ∈ C⊥[u 1 , . . .,u k Basis von C, so auch σ i (u 1 ), . . .,σ i (u k )].Außerdem: σ i (y (j) ), j = 1, . . ., l, sind orthogonal bezüglich Position i + 1.Majority-Logic-Decodierung ist für zyklische Codes an allen Positionen möglich,wenn sie an einer Position möglich ist.8.10 Beispiel.Sei C der binäre Hamming [7, 4]-Code aus Beispiel 4.5 bzw. 5.8 bzw. 5.12:⎛⎞1 1 0 1 0 0 0⎛⎞Erzeugermatrix G= ⎜0 1 1 0 1 0 01 0 0 1 0 1 1⎟⎝1 0 1 0 0 1 0⎠ Kontrollmatrix H= ⎝0 1 0 1 1 0 1⎠0 0 1 0 1 1 11 1 1 0 0 0 1(1110001) ∈ Cσ(1110001) = (1111000) ∉ C, da⎛ ⎞11⎛ ⎞ ⎛ ⎞10 0H1= ⎝0⎠ ≠ ⎝0⎠⎜0⎟ 1 0⎝0⎠0Wir werden aber zeigen, dass es einen äquivalenten Hamming-[7, 4]-Code gibt(Spaltenvertauschungen in H - und entsprechend in G), der zyklisch ist. Wirzeigen dies allgemeiner für alle binären Hamming-Codes.8.11 Satz.Für jedes l ≥ 2 gibt es einen zyklischen [2 l − 1, 2 l − 1 − l]-Hamming-Codeüber Z 2 .(Ohne Beweis: das gilt auch für die nicht-binären Hamming-Codes.)Wir benötigen dazu:8.12.Sei K ein endlicher Körper, mit |K| = q = p m , p Primzahl (5.2).81