Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

(2) Ist r ≠ i 1 , . . .,i s , so ist y (j)r ≠ 0 höchstens für ein j.7.20 Satz (Multistep-Majority-Decodierung).bezeichnungen wie in 7.19. Wird ein Wort x ∈ C gesendet und z empfangenund sind maximal t ≤ 1 l Fehler aufgetreten, so gilt:2Die Anzahl der Fehler in z an den Stellen i 1 , . . ., i s ist ungerade⇐⇒ ♯{j : 〈y (j) , z〉 = 1} > ♯{j : 〈y (j) , z〉 = 0}Beweis:1.Fall: Anzahl der Fehler in z an den Stellen i 1 , . . .,i s ist ungerade(also mindestens 1):Dann maximal t − 1 viele Fehler außerhalb i 1 , . . ., i s .Daher nur maximal t−1 viele y (j) , die an einer dieser Stellen Eintrag 1 haben.Für die übrigen gilty r (j) z r = y r (j) x r ∀r ≠ i 1 , . . .,i s (entweder z r = x r oder y r(j) = 0 (oder beides))Für diese y (j) gilt also:< y (j) , z > = < y (j) , z > −< y (j) , x >} {{ }=0= (z i1 − x i1 ) + . . . + (z is − x is ) (Bedingung (1) von 7.19)= Anzahl der Fehler an den Stellen i 1 , . . .,i s mod 2 = 1Also: Für mindestens l − (t − 1) viele y (j) ist < y (j) , z >= 1.2. Fall : Anzahl der Fehler in z an den Stellen i 1 , . . .,i s ist geradeDann maximal t Fehler außerhalb i 1 , . . ., i s , also maximal t viele y (j) , die aneiner dieser Stellen Eintrag 1 haben.Für die übrigen l − t vielen y (j) gilty (j)r z r = y (j) x r∀r ≠ i 1 , . . .,i salso< y (j) , z > = (z i1 − x i1 ) + . . . + (z is − x is )= Anzahl der Fehler an den Stellen i 1 , . . .,i s mod 2= 0Also: Für mindestens l−t viele y (j) ist < y (j) , z >= 0, das heißt für höchstenst viele y (j) ist < y (j) , z >= 1Da l − (t − 1) > t, folgt die Behauptung wie in 7.17.67