Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

Bilde für 1 ≤ r ≤ ⌊ ⌋d−12 die Matrix⎛⎞s 1 s 2 · · · s rs 2 s 3 · · · s r+1S r = ⎜⎟⎝ .. ⎠s r s r+1 · · · s 2r−1Die ersten t Gleichungen in 2(b) besagen:⎛ ⎞ ⎛ ⎞q t s t+1⎜ ⎟ ⎜ ⎟S t · ⎝ . ⎠ = −⎝. ⎠q 1 s 2t(∗)Ist t die Anzahl der Fehler, so gilt:⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛α i 1· · · α it f i1 0 · · · 0 1 α i 1. . . α (t−1)i ⎞1α 2i 1. . . α 2it0 f i2 0. . .S t = ⎜ ⎟ ⎜⎝ . . ⎠·⎝.. ..⎟ ⎜⎟. ⎠·⎝.. . ⎠α ti 1· · · α t·it 0 · · · · · · f it 1 α it · · · α (t−1)itwie man leicht mit 2(a) nachrechnet.Alle rechts auftretenden Matrizen sind invertierbar, also auch S t .Damit: Kennt man t, so kann man aus (∗) q t , . . .,q 1 eindeutig bestimmen.5. Wie bestimmt man t = |F |?Sei e = ⌊ ⌋d−12 .Es ist det(S t ) ≠ 0. Ist t < r ≤ e, so ist det(S r ) = 0:Die erste Behauptung haben wir schon in (4) gezeigt.Die Gleichungen in 2(b) besagen, dass die r-te Spalte von S r von denunmittelbar davor stehenden t Spalten linear abhängig ist. Also istrg(S r ) < r, das heißt det(S r ) = 0.6. Decodieralgorithmus(Korrigiert korrekt, wenn maximal ⌊ ⌋d−12 Fehler aufgetreten sind. Ansonstenfalsche Korrektur oder Fehlermeldung.)(Bezeichnungen wie in 1.)1) Berechne das Syndrom (s 1 , . . .,s t ) t = Hv t .Sind alle s i = 0, so setze c = v, fertig.2) Bestimme t = max{r | 1 ≤ r ≤ ⌊ ⌋d−12 , det(Sr ) ≠ 0}.Sind alle Determinanten gleich Null, so Ausgabe von Fehlermeldung,stop.95