Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

5 Lineare Codes5.1 Definition.Sei K ein endlicher Körper und n ∈ N. Ein linearer Code C ist ein Unterraumdes K-Vektorraums K n .Ist dim(C ) = k (≤ n) und d(C) = d, so heißt C ein [n, k]-Code oder [n, k, d]-Code über K. n, k, d, q sind die Parameter des Codes. (Für |K| = q gibt esauch die Schreibweise [n, k, d] q -Code).5.2. Endliche Körper• Z p = {0, 1, . . ., p − 1}, Addition und Multiplikation mod p, ist endlicherKörper, falls p Primzahl.• Ist K ein endlicher Körper, so ist |K| = p m für eine Primzahl p undein m ∈ N.• Zu jeder Primzahlpotenz p m gibt es einen endlichen Körper K mit|K| = p m .• Sind K, L endliche Körper mit |K| = |L| so ist K ∼ = L. (siehe z.B.Willems, Abschnitt 2.2)• Konstruktion endlicher Körper: Ist f ein irreduzibles Polynom vomGrad m in Z p [t], so ist die Menge der Polynome vom Grad ≤ m −1 einKörper der Ordnung p m , falls Addition wie in Z p [t] und Multiplikationmodulo f:g ⊙ f = g · h mod f (Rest bei Division durch f)Beispiel: Körper der Ordnung 4Z 2 = {0, 1}, f = t 2 + t + 1 ist irreduzibelF 4 = {0, 1, t, t + 1}⊙ 0 1 t t + 10 0 0 0 01 0 1 t t + 1t 0 t t + 1 1t + 1 0 t + 1 1 tt 2 ≡ t + 1 mod ft 2 + t ≡ 1 mod f(t + 1)(t + 1) = t 2 + 1 ≡ tmod f.5.3 Definition.K endlicher Körper.(a) x ∈ K n , so heißt wt(x) = d(x, 0) = |{i | x i ≠ 0}| das Gewicht von x.27