Codierungstheorie - Diskrete Mathematik - Universität Tübingen

Beispiel: K = Z 2 , f = x 4 + x 2 + 1, g = x 2 + x + 1x 4 +x 2 + 1 : x 2 + x + 1 = x 2 − x + 1−(x 4 + x 3 + x 2 )x 3 +1−(−x 3 − x 2 − x)−x 2 + x+1−(x 2 + x + 1)0In obiger Notation ergibt sich h = x 2 − x + 1 und r = 0, und somit istf mod g = 0. Das heißt g teilt f; g | f.f = x 4 + x + 1, g = x 2 + 1x 4 +x + 1 : x 2 + 1 = x 2 − 1−(x 4 + x 2 )−x 2 + x+1−(−x 2 − 1)x + 2In obiger Notation ergibt sich h = x 2 − 1 und r = x + 2, alsoIst K = Z 2 , so ist f mod g = x.f mod g = x + 2.(5) Ein Polynom f ∈ K[x] vom Grad ≥ 1 heißt irreduzibel, falls f nichtProdukt zweier Polynome vom Grad ≥ 1 ist. (Entspricht einer Primzahlin Z).(6) Jedes Polynom f ∈ K[x] vom Grad ≥ 1 lässt sich eindeutig schreibenin der Formf = a · f 1 · . . . · f sDabei ist a ∈ K und f i sind irreduzible Polynome mit höchstem Koeffizienten1. (Entspricht der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z).Man kann K n identifizieren mit K[x] n :(a 0 , . . .,a n−1 ) → a 0 + a 1 x + . . . + a n−1 x n−1Vektorraumisomorphismus. Polynomcodierung benutzt diese Identifikation.75