Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

Einleitung 3allgemeines Materialgesetz aufgestellt werden, gelten dann für alle untergeordneten Stoffgesetze,die in dieses Muster passen. Dies erlaubt eine einheitliche mathematische Behandlungdes Problems. Anderseits sind die konstitutiven Beziehungen das einzige Element,das ein unterschiedliches Verhalten zweier Materialien begründen kann, da bei den meistenModellen die geometrisch-kinematische Grundlage die gleiche ist, nämlich das Modellder Kontinuumsmechanik. Also muss ein allgemeines Materialgesetz über genügend Parameterverfügen, um eine breite Palette von Stoffgesetzen abzudecken. Ein Meilenstein indieser Hinsicht war das Modell des Materiau Standard Généralisé“ ( Generalized StandardMaterial“, GSM), eingeführt von Halphen und Nguyen ([30]) im Jahr 1975. Das” ”GSM-Modell setzt die Existenz konvexer Energiepotentiale voraus, das Materialgesetzkann wahlweise durch die Zugehörigkeit zum Subgradienten dieser Potentiale oder aberdurch die assoziierte variationelle Ungleichung ausgedrückt werden. Es ist allgemein genug,um eine breite Klasse von Materialverhalten zu umfassen: ideale Plastizität, Verfestigung,Viskoplastizität ... Zur Lösung des mathematischen Problems können dann Methoden derkonvexen Analysis angewandt werden. Das GSM-Modell kann aber weder nichtassoziierteGesetze, noch solche, welche gekoppelte Terme enthalten, modellieren. Ein Materialgesetz,das einige Schwächen des GSM-Modells beseitigt, wurde von de Saxcé ([56]) im Jahr 1990eingeführt. Das Modell des Materiau Standard Implicite“ ( Implicit Standard Material“,” ”ISM) basiert auf eine Verallgemeinerung der Young’schen Ungleichung und dem ebenfallsvon de Saxcé eingeführten Begriff des Bipotentials.In dieser Arbeit wird dieser Begriff im Detail diskutiert und Variationsmethoden für dasISM-Modell hergeleitet.MethodenMan unterscheidet allgemein indirekte und direkte Variationsmethoden. Die indirektenMethoden stützen sich auf der Äquivalenz zwischen den Stationaritätspunkten eines sogenanntenLagrange-Funktionals und den Lösungen der diesem Funktional assoziiertenEuler-Lagrange-Gleichung. Eine Schwäche dieser Methode, von Weierstraß hervorgehoben,ist die stillschweigend vorausgesetzte Existenz einer Lösung: Es kann vorkommen,dass ein Stationaritätspunkt des Lagrange-Funktionals nicht die notwendige Regularitätbesitzt, um die Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung oder die Randbedingungen zuerfüllen. Man muss sich also zuerst die Frage des richtigen Lösungsraumes und der Definitionder Lösung stellen - meistens bringt die Einführung einer schwachen Lösung, die dieDifferentialgleichung in einem verallgemeinerten Sinn erfüllt, das gewünschte Ergebnis.Die in diesem Sinn eingeführte direkte Methode stützt sich auf topologische Begriffe wieHalbstetigkeit, schwache Konvergenz und Kompaktheit. Eine hinreichende Bedingung fürdie Unterhalbstetigkeit ist die Konvexität. Sie ist aber nur bedingt einsetzbar, da sie auto-