Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

2.5 Allgemeine Formulierung 19Beweis. Der Beweisschritte sind besonders einleuchtend und belegen das Zusammenspielder oben eingeführten Begriffe.Sei (u n ) n⊆ U eine minimierende Folge, das heißt:f (u n ) −→ inf{I(u) | u ∈ U} (2.5)Da der Raum X reflexiv und die Menge U (implizit auch die minimierende Folge) beschränktist, kann man aus (u n ) neine schwach konvergente Teilfolge (u nk ) kextrahieren,die wir, ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen, weiterhin (u n ) nbezeichnen: u n ⇀ u 0 .Die Menge U ist konvex und abgeschlossen und damit auch schwach abgeschlossen. DasElement u 0 gehört also auch der Menge U an.Anderseits ist I konvex und unterhalbstetig und damit auch schwach unterhalbstetig. ImPunkt u 0 gilt:I (u 0 ) ≤ inf {I (u n ) | n ∈ N} (2.6)Da (u n ) nTeilfolge einer minimierenden Folge ist, kann man den rechten Term durchinf{I(u) | u ∈ U} ersetzen. Daraus folgt sofort, dass der Wert I (u 0 ) endlich ist und in u 0das globale Minimum von I erreicht wird.Die Hypothese, dass U beschränkt ist, lässt sich durch die Hypothese, dass I koerziv ist,verallgemeinern:lim I(u) = ∞ für ‖u‖ −→ ∞ (2.7)Eine der wichtigen Hypothesen ist die Reflexivität des Raumes X. Sie garantiert die Existenzeiner schwach konvergenten Teilfolge, auf die sich der Rest des Beweises stützt. Mankann sie, für den Fall, dass man gezwungen ist, in einem nicht reflexiven FunktionenraumX zu arbeiten, durch eine Kompaktheitsbedingung für U ersetzen.Die zweite wichtige Hypothese ist die Unterhalbstetigkeit von I. Sie bewirkt, dass I in u 0das globale Minimum erreicht.Die zwei Konvexitätshypothesen (für U, bzw. I) dienen nur dazu, die Unterschiede zwischender schwachen und der starken Topologie zu verwischen. Dadurch ist die MengeU nicht nur abgeschlossen, sondern sogar schwach abgeschlossen, bzw. das Funktional Inicht nur unterhalbstetig, sondern sogar schwach unterhalbstetig. Für die Gültigkeit desExistenzsatzes würden die ”schwachen“ Eigenschaften ausreichen – sie sind aber, obwohlallgemeiner, schwerer zu beweisen (wie bereits erwähnt). In diesem Fall würde sich derSatz folgendermaßen formulieren lassen:Satz 2.5.2. Sei X ein reflexiver Banachraum, U ⊆ X eine nichtleere, schwach abgeschlosseneMenge und I : U −→ R ein koerzives, schwach folgenunterhalbstetiges Funktional.Dann besitzt I ein globales Minimum, welches in mindestens einem Punkt aus U erreichtwird.