Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

5.2 Beziehung zur Quasikonvexität 43und damit zu: {x 1 = x 2 , y 1 ≠ y 2 oderIm ersten dieser Fälle folgt:( ( ) (x 1 0f (1 − α) + α0 y 1(( ) (x 1 0= f + α0 y 1= f(()x 1 0+ α0 y 1(x 1 ≠ x 2 , y 1 = y 2x 2 00 y 2))=))x 2 − x 1 0=0 y 2 − y 1))0 0= f0 y 2 − y 1((= b (x 1 , (1 − α)y 1 + αy 2 ) ≤ (1 − α)b(x 1 , y 1 ) + αb (x 1 , y 2 ) == (1 − α)f() (x 1 0+ αf0 y 1) (x 1 0= (1 − α)f0 y 2x 1 00 (1 − α)y 1 + αy 2))=Analog lässt sich der zweite Fall behandeln. f ist also Rang-1-konvex.) (x 1 0+ αf0 y 1)x 2 00 y 25.2 Beziehung zur QuasikonvexitätDie Beziehung zur Quasikonvexität lässt sich mit Hilfe der eben bewiesenen Identifizierunguntersuchen. Die folgenden Sätze stammen von Müller ([50]).Theorem 5.2.1. Sei f : IR 2 −→ IR eine getrennt konvexe Funktion, die eine Wachstumsbedingungder Form 0 ≤ f(x, y) ≤ C (1+ ‖(x, y)‖ 2 ) erfüllt. Sei U ⊆ IR 2 eine offeneMenge und (u j ) j , (v j ) j zwei Funktionenfolgen so, dass:u j ⇀ u ∞ ,v j ⇀ v ∞ in L 2 loc (U),∂u j∂y → ∂u ∞∂y ,∂v j∂x → ∂v ∞∂xin H−1loc (U).Dann gilt für jede offene Menge V ⊆ U:∫∫f(u ∞ , v ∞ ) dxdy ≤ lim infj→ ∞VVf(u j , v j ) dxdyKorollar 5.2.2. Sei b(·, ·) : R × R −→ R getrennt konvex und{( ) ∣∣∣∣ ((x 0x 0f : x, y ∈ R}⊂ M 2×2 (R) −→ R, f0 y0 y)) b (x, y)