Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

4.3 Charakterisierung der zerlegbaren Bipotentiale 39d) b ≡ φ + ψ.In diesem Fall ist dies die – bis auf eine additive Konstante – einzige Zerlegung von b(·, ·)als Summe aus einem konvexen Funktional und dessen Konjugierten.Man kann auch eine notwendige Bedingung für die Zerlegbarkeit eines Bipotentials erhalten.Satz 4.3.7. Sei b(·, ·) ein Bipotential. Eine notwendige Bedingung für seine Zerlegbarkeitist:b (x 1 , y1 ∗ ) + b (x 2, y2 ∗ ) = b (x 1, y2 ∗ ) + b (x 2, y1 ∗ ) ∀x 1, x 2 , y1 ∗ , y∗ 2 . (4.20)Beweis. Laut Satz 4.3.6 Unterpunkt d) gilt:b (x 1 , y ∗ 1) = b r (0, y ∗ 1) + b l (x 1 , 0 ∗ ) + b (0, 0 ∗ ) , (4.21)b (x 2 , y2 ∗ ) = b r (0, y2 ∗ ) + b l (x 2 , 0 ∗ ) + b (0, 0 ∗ ) , (4.22)b (x 1 , y2 ∗ ) = b r (0, y2 ∗ ) + b l (x 1 , 0 ∗ ) + b (0, 0 ∗ ) , (4.23)b (x 2 , y1) ∗ = b r (0, y1) ∗ + b l (x 2 , 0 ∗ ) + b (0, 0 ∗ ) . (4.24)Die Aussage ist nun offensichtlich.43210–2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5210–1yxAbbildung 4.8: Geometrische Interpretation