Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

1 Grundlagen 5Kapitel 1GrundlagenIn diesem Kapitel werden Grundbegriffe und -ergebnisse der konvexen Analysis und derVariationsrechnung als Basis für die Verallgemeinerungen in den nächsten Kapiteln dargestellt.Die nachfolgenden Definitionen und Resultate sind allgemein bekannt – für dieBeweise kann man eine Monographie über konvexe Analysis herbeiziehen (Moreau [45],Rockafellar [53], Ekeland und Temam [24], Marti [42], Hiriart-Urruty [35], Rockafellar undWets [54], Borwein und Lewis [12], Hiriart-Urruty und Lemaréchal [36]). Die Sätze werdeneinfachheitshalber in Banachräumen aufgestellt – die meisten davon sind aber auch inlokalkonvexen topologischen Vektorräumen gültig. In dieser Hinsicht wird kein Anspruchauf Vollständigkeit erhoben.1.1 KonvexitätSei X ein Vektorraum über R, dem Körper der reellen Zahlen.Definition Eine Menge K ⊆ X ist konvex, wenn jedes Segment, das zwei beliebigePunkte aus K verbindet, in K enthalten ist:{(1 − λ)x + λy | λ ∈ [0, 1]} ⊆ K ∀x, y ∈ K (1.1)konvexnicht konvexAbbildung 1.1: Konvexe, bzw. nicht konvexe MengeDie leere Menge und der ganze Raum X sind triviale Beispiele von konvexen Mengen.