Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

4.2 Eigenschaften des Bipotentials 33und hiermitMan hat dannb(x, y ∗ ) − 〈y ∗ , x〉 =infz{b(z, y ∗ ) − 〈y ∗ , z〉} = g(y ∗ ). (4.9)b(x, y ∗ ) − 〈y ∗ , x〉 = f(x) = g(y ∗ ) = const. (4.10)Bemerkung Als Folge von Punkt a) sieht man, dass jedes Bipotential b(·, ·) eine ganzeFamilie der Form {b(·, ·) + c | c ≥ 0} definiert. Es ist dann sinnvoll, von Anfang an dieKonstante c so zu wählen, dass die Ungleichung c) aus der Definition in mindestens einemPunkt als Gleichung erfüllt ist.Anderseits kann man leicht beweisen, dass man nicht alle getrennt konvexen Funktionaledurch Anwendung der Verfahren von Punkt a) und Punkt c) in Bipotentiale umwandelnkann. Dazu nehme man das Funktional f(x, y) = (x − y) 2 . f ist zwar getrennt konvex(sogar streng), aber αf(x, y) + c ist für keine Werte von α und c ein Bipotential. Manmuss nur x 0 = y 0 > √ |c| wählen: Dann ist f (x 0 , y 0 ) < f (x 0 , y 0 ) + c = c < x 0 y 0 , dieUngleichung aus der Definition des Bipotentials kann also nicht erfüllt werden.Sei ϕ : X → IR ein konvexes, nach unten halbstetiges Funktional. Dann ist das Funktionalb (x, y ∗ ) = ϕ (x) + ϕ ∗ (y ∗ ) ein global konvexes Bipotential. Bipotentiale dieserArt werden in der Folge zerlegbar genannt. Die Menge der zerlegbaren Bipotentiale iststreng in der Menge der konvexen Bipotentiale enthalten, welche ihrerseits streng in derMenge der allgemeinen Bipotentiale enthalten ist. Wir werden diese drei Klassen näherbeschreiben und charakterisieren. Zum Beispiel wäre es von Bedeutung zu wissen, welcheBipotentiale als Summe eines konvexen Funktionals und dessen Konjugierten darstellbarsind. Die globale Konvexität ist dafür notwendig, aber nicht hinreichend, wie man in denBeispielen c) und d) im nächsten Abschnitt sehen wird.zerlegbare Bipotentialekonvexe Bipotentialeallgemeine BipotentialeAbbildung 4.2: Arten von Bipotentiale