Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

2.4 Die Rolle der Halbstetigkeit und der Konvexität 17Gesucht wird das absolute Minimum eines Funktionals I(u) in einer Funktionenmenge U.Der Weg zu einem Existenzsatz besteht aus drei Schritten:1. Man führt auf der Menge U einen Konvergenzbegriff ein (bzw. eine Topologie).2. Man beweist, dass I(u) unterhalbstetig bezüglich der eingeführten Konvergenz ist.3. Man beweist, dass eine minimierende Folge einen Grenzwert in U besitzt.Der erste Schritt wird dadurch erschwert, dass man nicht von Anfang an weiß, in welchemFunktionenraum die potentielle Lösung zu suchen ist. Meistens wählt man eine Klassevon regulären Funktionen und betrachtet ihre Vervollständigung bezüglich der eingeführtenTopologie. Diese Topologie muss einerseits stark genug sein, um den zweiten Schrittbeweisen zu können (je stärker die Topologie, desto mehr unterhalbstetige Funktionalegibt es und man kann eher hoffen, dass I(u) dazugehört); anderseits muss die Topologieschwach genug sein, um den dritten Schritt nicht zu gefährden (je schwächer die Topologie,desto mehr kompakte Mengen gibt es und man kann eher hoffen, dass die minimierendenFolgen konvergente Teilfolgen besitzen).Für den zweiten Schritt gilt: Je schwächer die Topologie, desto schwieriger ist die Unterhalbstetigkeitdes Funktionals zu beweisen, da die konvergenten Folgen immer zahlreicherwerden und für alle die Unterhalbstetigkeitsungleichung erfüllt werden muss.Der letzte Schritt wird meistens über ein Kompaktheitsargument, gekoppelt mit der Abgeschlossenheitder Menge U bezüglich der eingeführten Topologie, bewiesen. Hier stehensich die Begriffe gegenüber. Während für die Abgeschlossenheit der Menge U eine stärkereTopologie von Vorteil ist (wie im Fall der Unterhalbstetigkeit, da es mehr abgeschlosseneMengen als schwach abgeschlossene gibt), wäre für die Kompaktheit eine schwacheTopologie wünschenswert (da sie reicher an folgenkompakten Mengen ist).Tonelli ([66], [67]) gelang es, die Halbstetigkeit im Fall von absolut stetigen Funktionenauf einem zweidimensionalen Bereich zu beweisen. Da aber die gleichmäßige Konvergenzgewählt wurde, fiel der Beweis der Kompaktheit etwas technisch aus und ließ sich nichtauf höhere Dimensionen des Definitionsbereichs, bzw. des Wertevorrats, verallgemeinern.Dies gelang Morrey ([46], [48]), der den mehrdimensionalen Fall untersuchte (sowohl wasden Definitionsbereich, als auch was den Wertevorrat betrifft). Um im dritten Schrittdie Folgenkompaktheit zu erhalten, wählte er, zum Unterschied zu Tonelli, die schwacheKonvergenz der Funktionen im entsprechenden Sobolev-Raum. Es gelang ihm auch, dieUnterhalbstetigkeit und damit auch einen Existenzsatz zu beweisen.Die Rolle der Konvexität ist weniger offensichtlich als die der Halbstetigkeit. In vielenFällen zieht die Konvexität von F(x, y, ∇y) im letzten Argument die Unterhalbstetigkeitdes Variationsintegrals hinter sich (siehe Serrin [61], Fichera [25], [26], Browder [16] und,