Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

2 Variationsmethoden 13Kapitel 2Variationsmethoden2.1 Klassische VariationsrechnungDie klassische Variationsrechnung stellt eine Erweiterung der elementaren Theorie derMaxima und Minima für reellwertige Funktionen dar. Für eine Funktion f : Ω ⊆ R n −→ Rgilt nämlich der Satz von Weierstraß:Satz 2.1.1. Eine auf einer abgeschlossenen, beschränkten Menge Ω ⊆ R n definierte,stetige Funktion f besitzt endliche obere und untere Grenzen, die sie auf dem Gebiet Ωauch erreicht.Ist die Funktion f auch differenzierbar und befindet sich das Extremum im Inneren vonΩ, so muss der Gradient von f an dieser Stelle null sein. Dies ist eine in diesem Fallnotwendige, aber keineswegs hinreichende Bedingung für die Existenz von Extremwerten(da Wendepunkte oder Sattelpunkte diese Bedingung auch erfüllen). Die Punkte, in denender Gradient null ist, werden stationäre Punkte genannt. Die eventuellen Extrema habendabei einen lokalen Charakter.Sind die Variablen nicht unabhängig voneinander, sondern zusätzlichen Bedingungen unterworfen,so kann man zur Bestimmung der stationären Punkte die Methode der Lagrange’schenMultiplikatoren anwenden.Die Variationsrechnung befasst sich ebenfalls mit der Bestimmung von Extrema, bzw.stationären Werten. Der Unterschied besteht darin, dass in diesem Fall nicht mehr Funktionenmit einer endlichen Zahl unabhängiger Variablen, sondern Funktionale, also Funktionen,die als Argumente Funktionen haben, untersucht werden. Der Definitionsbereicheines Funktionals ist daher eine Menge in einem gewissen Funktionenraum.Solche Probleme sind schon im Altertum aufgetreten, auf der Suche nach der optimalenForm. Zum Beispiel, isoperimetrische Probleme, wie das Problem der Dido: Unter allen