Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

2.2 Die indirekte Methode 15Diese Werke Hilberts gelten als Grundlage der direkten Methode der Variationsrechnung.Eine Übersicht der ”klassischen“ Methoden bis zum Anfang des 20. Jahrhunderts findetman in Courant und Hilbert ([18],[19]).2.2 Die indirekte MethodeChronologisch betrachtet, entwickelte sich zuerst die indirekte Methode der Variationsrechnung,angetrieben durch die Forschungen von Euler und seiner Nachfolger. Die indirekteMethode besteht wesentlich in der Zurückführung des Variationsproblems auf Differentialgleichungsprobleme,gebildet aus Differentialgleichungen und Randbedingungen.Die von Euler hergeleiteten Differentialgleichungen eines Variationsproblems (heute unterden Namen Euler’sche Gleichungen oder Euler-Lagrange-Gleichungen bekannt) stellennotwendige (aber nicht hinreichende) Bedingungen dar, die eine Funktion zu erfüllen hat,um ein Extremal des Variationsproblems sein zu können.Ausgehend von einem Funktional der Form∫I(y) = F (x, y(x), ∇y(x))dx (2.3)Ωwurden Begriffe wie die Variation δy einer Funktion y = f(x) und die Variation δI des IntegralsI(y) eingeführt. Notwendige Bedingung für ein Extremum war das Verschwindender ersten Variation des Integrals I(y). Mit Hilfe des Fundamentallemmas der Variationsrechnungkann man aus dieser Bedingung die assoziierte Euler-Lagrange-Gleichungherleiten. Die Theorie wurde auf mehrere gesuchte Funktionen, mehrere unabhängige Variablenund damit mehrdimensionale Integrale, Ableitungen höherer Ordnung, Problememit freien Rändern (also fehlende wesentliche Randbedingungen), Probleme mit Nebenbedingungen(die man mit Hilfe der Lagrange’schen Multiplikatoren untersucht) erweitert.Um die Art des Extremums zu bestimmen, wurde die zweite Variation eingeführt unddas Kriterium von Legendre hergeleitet. Es wurde die kanonische Form eingeführt unddie Invarianz bezüglich Transformationen analysiert. Diese Art von Variationsproblemenwird üblicherweise als klassisch“ bezeichnet.”2.3 Die direkten MethodenDie direkten Methoden der Variationsrechnung entstammen der Bemerkung, dass die linearenelliptischen Differentialgleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen einfacher Variationsproblememit quadratischen Integranden betrachtet werden können. Die Existenzder Lösung für solche Minimumprobleme wurde lange Zeit stillschweigend als selbstverständlichbetrachtet – unter anderen, wie oben erwähnt, auch von Riemann, der regen