Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

4.3 Charakterisierung der zerlegbaren Bipotentiale 37d) b (x, y) = x 2 + y 4 + 1 =⇒ b 64 l (z, y) = z2 − 4 y4 − 1 ; b 64 r (x, w) = 3 ( )4w 3− x 2 − 14 64Die für die Existenz der Zerlegung notwendige Bedingung b l (z, y) = −b l (y, z) wird vonden Funktionen aus den Beispielen c) und d) nicht erfüllt.Lemma 4.3.1. Sei ϕ(·) ein konvexes Funktional und c ∈ IR. Dann gilt:a) (ϕ + c) ∗ = ϕ ∗ − cb) Ist b (x, y ∗ ) = ϕ (x)+ϕ ∗ (y ∗ ) eine Zerlegung von b, so ist b (x, y ∗ ) = (ϕ (·) + c) (x)+(ϕ (·) + c) ∗ (y ∗ ) ebenfalls eine gültige Zerlegung derselben Art.Die Zerlegung eines Bipotentials ist bis auf eine additive Konstante c bestimmt.Sei nun ϕ : X → IR ein konvexes, nach unten halbstetiges Funktional und b : X ×X ∗ → IRein Bipotential, definiert durch b (x, y ∗ ) = ϕ (x) + ϕ ∗ (y ∗ ). Dann gelten die folgendenAussagen:Lemma 4.3.2.a1) b l (z ∗ , y ∗ ) = −b l (y ∗ , z ∗ ) (insbesondere gilt: b l (y ∗ , y ∗ ) ≡ 0)a2) b r (x, w) = −b r (w, x) (insbesondere gilt: b r (x, x) ≡ 0)Lemma 4.3.3.b1) b l (z ∗ , y ∗ ) = ϕ ∗ (z ∗ ) − ϕ ∗ (y ∗ )b2) b r (x, w) = ϕ ∗∗ (w) − ϕ (x) = ϕ (w) − ϕ (x)Lemma 4.3.4.c1) ϕ ∗ (z ∗ ) = b l (z ∗ , y ∗ 0 ) + ϕ∗ (y ∗ 0 ) = b l (z ∗ , 0 ∗ ) + ϕ ∗ (0 ∗ ) = b l (z ∗ , 0 ∗ ) + c lc2) ϕ (w) = b r (x 0 , w)+ϕ (x 0 ) = b r (0, w)+ϕ (0) = b r (0, w)+c r . Hier, c l +c r = b (0, 0 ∗ ).Aus Lemma 4.3.2 folgt, dass b l und b r antisymmetrisch sind, was im Fall eines allgemeinenBipotentials nicht immer erfüllt ist (siehe die Beispiele c) und d) weiter oben). Die Beweisesind trivial. Die Funktionale ϕ und ϕ ∗ der Zerlegung sind (bis auf eine additive Konstante)eindeutig bestimmt. Das ist auch das beste zu erwartende Ergebnis dieser Art, laut Lemma4.3.1.Korollar 4.3.5. Sei b (·, ·) ein Bipotential. Die Familie {b (·, ·) + c | c ∈ IR} enthält höchstensein zerlegbares Bipotential b (·, ·)+c 0 , wobei c 0 = inf {c ∈ IR | b (·, ·) + c Bipotential }.