Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

Einleitung 1EinleitungAllgemeinesEine der Aufgaben der Mechanik besteht darin, zwischen dem physikalischen Grundverständnisder Naturgesetze, der Anwendung und Entwicklung mathematischer Methodensowie der Umsetzung in computerorientierte Rechenverfahren zu vermitteln. DieserProzess umfasst mehrere Etappen, die sich gegenseitig und rückwirkend beeinflussen. Imersten Schritt gewinnt man die Erkenntnis, dass es sich um einen natürlichen, wiederholbarenVorgang handelt; dieser Eindruck kann durch Experimente bestätigt werden.Gleichzeitig kann man auch feststellen, welche physikalische Parameter den Verlauf derExperimente beeinflussen.Die zweite Etappe umfasst die Wahl eines geeigneten mechanischen Modells. Man hofft,aus dem Ganzen ein Teilsystem heraustrennen zu können, mit dessen Hilfe man denbeobachteten Vorgang durch relativ wenige einfache Zusammenhänge und Gesetze beschreibenkann. Der Preis, den man dafür zahlen muss, ist die beschränkte Anwendbarkeitdes Modells. Dabei unterscheidet man geometrische Eigenschaften (diskretes oderkontinuierliches, starres oder verformbares System) und Materialeigenschaften. In derStrukturmechanik hat die Bestimmung und Wahl der geeigneten Materialgesetze eineso wichtige Rolle, dass man ihr eine eigene Etappe zuweisen kann. Man unterscheidetgrob phänomenologische Gesetze, die auf den beobachteten Zusammenhängen zwischen(meist makroskopischen) Parametern basieren und mikroskopische Gesetze, welche dieMaterialeigenschaften durch eine Analyse auf mikroskopischem Niveau gekoppelt mit einerHomogenisierungstechnik zu modellieren versuchen. Dazwischen gibt es eine Vielzahlvon Varianten, die die Vorteile beider Methoden geschickt kombinieren.Ein weiterer Schritt ist die Formulierung des mechanischen Problems. Dies geschiehtmeistens in Form eines Systems partieller Differentialgleichungen mit entsprechendenAnfangs- und Randwertbedingungen. Ab diesem Punkt hat man ein rein mathematischesProblem zu lösen – ist der Lösungsweg besonders schwerfällig, oder sind die erhaltenenLösungen nicht im Einklang mit dem Experiment, so ist das oft auf eine falsche Wahldes Modells zurückzuführen. Es hat zum Beispiel wenig Sinn, eine numerische Lösung