Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

4.2 Eigenschaften des Bipotentials 31c’) b (x, y ∗ ) ≥ | 〈y ∗ , x〉 | ∀x ∈ X und ∀y ∗ ∈ X ∗ .In diesem Fall ist das Bipotential zwangsmäßig positiv.Bemerkung Die Punktepaare (x, y ∗ ) in denen die Definitionsungleichung c) als Gleichungb (x, y ∗ ) = 〈y ∗ , x〉 erfüllt wird, müssen keine Minima von b(·, ·) sein. Dies erkenntman aus dem folgenden Beispiel: Sei b(x, y) = x 2 y 2 + 1 (siehe Abbildung 4.1). Dann gilt:4∂ x b(x 0 , y 0 ) = 2x 0 y0 2 und ∂ y b(x 0 , y 0 ) = 2x 2 0y 0 . Für x 0 = 0, y 0 = 0 besitzt b(·, ·) ein globalesMinimum, doch b(x 0 , y 0 ) = 1 ≠ 0 = x 4 0y 0 . Anderseits gibt es durchaus Punkte, in denenb(x, y) = xy gilt: Zum Beispiel alle Punkte, die die Gleichung 2xy = 1 erfüllen.21.5b(x, y) = x 2 y 2 + 1 41f(x, y) = xy1.211.20.810.80.6x 0.40.20.6y0.40.20.50Abbildung 4.1: b(x, y) = x 2 y 2 + 1 44.2 Eigenschaften des BipotentialsWir beweisen nun grundlegende Eigenschaften des Bipotentials.Lemma 4.2.1. Für ein Bipotential b (·, ·) gelten folgende Aussagen:a) Sei c ∈ IR + ; dann ist b (·, ·) + c ebenfalls ein Bipotential.