Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

1.2 Halbstetigkeit 7Betracht ziehen. Es ist in der konvexen Analysis üblich, die Zahlengerade R um die zweiWerte −∞ und +∞ zu ergänzen: R = R ∪ {−∞, +∞} und den Funktionalen außerhalbihres Definitionsbereiches den Wert +∞ zuzuordnen. Dadurch wird die Überprüfung derKonvexität des Definitionsbereichs überflüssig gemacht: Ist eine gemäß dieses Verfahrensauf ganz X erweiterte Funktion konvex, so ist ihr effektiver Definitionsbereich (die Mengeder Punkte, in denen sie endliche Werte annimmt) eine konvexe Menge. In diesemSinne führt man für eine beliebige Menge K ⊆ X das assoziierte IndikatorfunktionalI K: X −→ R ein:{0 für x ∈ KI K (x) =(1.4)∞ für x ∈ X KSatz 1.1.2. Eine Menge K ⊆ X ist genau dann konvex, wenn ihr Indikator I K einkonvexes Funktional ist.Die Erweiterung der Zahlengeraden wird ausführlich in Hiriart-Urruty und Lemaréchal([36], Seiten 5-6) diskutiert.1.2 HalbstetigkeitEin anderer wichtiger Begriff ist die Halbstetigkeit. Wir erinnern uns an die Definitionder Stetigkeit:Definition Ein Funktional f : X −→ R ist stetig in einem Punkt x 0 ∈ X, wenn es fürjedes ǫ > 0 eine Umgebung V (ǫ) von x 0 gibt so, dass |f(x) − f(x 0 )| < ǫ ∀x ∈ V (ǫ) gilt.Eine äquivalente Schreibweise für die Stetigkeitsbedingung ist f(x 0 )−ǫ < f(x) < f(x 0 )+ǫ.Liegt nur eine dieser zwei Ungleichungen vor, so spricht man von Unterhalbstetigkeit, bzw.Oberhalbstetigkeit:Definition Ein Funktional f : X −→ R ist unterhalbstetig in einem Punkt x 0 ∈ X, wennes für jedes ǫ > 0 eine Umgebung V (ǫ) von x 0 gibt so, dass f(x 0 ) − ǫ < f(x) ∀x ∈ V (ǫ)gilt. Gilt diese Ungleichung in jedem Punkt des Definitionsbereiches, so nennt man funterhalbstetig.Analog wird die Oberhalbstetigkeit definiert. Man verwendet auch die Bezeichnungen” nach unten halbstetig“ und nach oben halbstetig“. Wichtig ist, dass die Halbstetigkeit”von der Menge der Nachbarschaften, also von der Topologie, abhängig ist.Der Begriff der Halbstetigkeit wurde von Baire ([2]) eingeführt. In einem späteren Artikel([3]) lieferte Baire eine Erklärung der Zusammenhänge, die zur Einführung der Halbstetigkeitführten. Es handelte sich dabei um die Untersuchung von getrennt stetigen