Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

3.2 Eigenschaften 25Analog gilt für getrennt konvexe Funktionale: Ein Funktional f : X × Y −→ R istgetrennt konvex, wenn und nur wenn alle Sektionen seines Epigraphen konvex sind. DurchSektionen versteht man hier die Schnitte des Epigraphen mit Hyperebenen der Formx = const bzw. y = const (siehe Abbildung 3.2).Ähnliches gilt für den Definitionsbereich. Ist der Definitionsbereich eines konvexen Funktionalseine konvexe Menge in X, so gilt diese Aussage nur noch für die Sektionen desDefinitionsbereichs eines getrennt konvexen Funktionals. Der Definitionsbereich selbst istnicht unbedingt konvex, wie es das nächste Beispiel zeigt.Beispiel Sei f : R × R −→ R,{0, x = 0 oder y = 0f(x, y) =+∞, xy ≠ 0(3.3)f ist zwar getrennt konvex, aber der Definitionsbereich D(f) = {(x, y) | xy = 0} ist keinekonvexe Menge (siehe Abbildung 3.3).Abbildung 3.3: D(f) = {(x, y) | xy = 0} = {(x, 0) | x ∈ R} ∪ {(0, y) | y ∈ R}Die Konvexitätsbedingungen für getrennt konvexe Funktionale sind auch in einer kompaktenanalytischen Schreibweise auszudrücken:f((1 − λ)x 1 + λx 2 , (1 − µ)y 1 + µy 2 ) ≤ (1 − λ)(1 − µ)f(x 1 , y 1 ) + λµf(x 2 , y 2 ) +(1 − λ)µf(x 1 , y 2 ) + λ(1 − µ)f(x 2 , y 1 ) ∀λ, µ ∈ [0, 1], ∀x 1 , x 2 , y 1 , y 2 . (3.4)Dieser Ausdruck lässt eine geometrische Interpretation zu (siehe Abbildung 3.4): Für viergegebene Eckpunkte (mit den Koordinaten x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ) eines beliebigen Rechtecks ausdem Definitionsbereich beschreibt der linke Ausdruck eine von den zwei Geradenscharen,die dem Abbild der Seiten des Rechtecks entsprechen, erzeugte Oberfläche. Die Ungleichungsagt dann aus, dass der Graph des getrennt konvexen Funktionals unterhalb dieserOberfläche liegt. Diese anschauliche Interpretation macht den Unterschied, aber auch dieNähe zwischen getrennter und globaler Konvexität deutlich.