Anwendungen der getrennt konvexen Funktionale in der Mechanik

1.5 Monotonie 111. x ∗ ∈ (∂f)(x)2. x ∈ (∂f ∗ ) (x ∗ )3. f(x) + f ∗ (x ∗ ) = 〈x ∗ , x〉Als Beispiel wollen wir den Indikator I K einer konvexen Menge K ⊆ X untersuchen. Daskonjugierte Funktional IK ∗ : X∗ −→ R heißt Stützfunktion der Menge K:IK ∗ (x ∗ ) = sup{〈x ∗ , x〉 | x ∈ K} (1.17)Die Stützfunktion ist positiv homogen und subadditiv.Ist die Menge K auch abgeschlossen, so gilt:x ∗ ∈ (∂I K )(x) ⇐⇒ x ∈ (∂IK) ∗ (x ∗ ) ⇐⇒ I K (x) + IK ∗ (x ∗ ) = 〈x ∗ , x〉 (1.18)1.5 MonotonieDieser Abschnitt führt den Begriff der Monotonie ein.Definition Eine Funktion f : R −→ R heißt monoton, wenn (f(y) − f(x)) (y − x) ≥ 0∀x, y ∈ R gilt.Die Definition lässt sich auf Operatoren und sogar mehrwertige Abbildungen verallgemeinern.Definition Ein Operator A : X −→ X ∗ heißt monoton, wenn 〈A(y) − A(x), y − x〉 ≥ 0∀x, y ∈ X gilt.Definition Eine mehrwertiger Operator A : X −→ P (X ∗ ) heißt monoton, wenn〈y ∗ − x ∗ , y − x〉 ≥ 0 ∀x, y ∈ X, ∀y ∗ ∈ A(y), ∀x ∗ ∈ A(x) gilt.Der folgende Satz stellt die Verbindung zum Subdifferential her.Satz 1.5.1. Das Subdifferential ∂f eines konvexen, nicht degenerierten Funktionals f,f : X −→ R, ist ein monotoner, mehrwertiger Operator.Die Menge der monotonen Operatoren ist (im Sinne der Inklusion der Graphen) induktivgeordnet und besitzt hiermit maximale Elemente, die ”maximal monotone Operatoren“genannt werden.