Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

1.4. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 17fälschlicherweise ein Fehler angezeigt wird. Man wird dem Ereignis, dass ein Fehler angezeigtwird, wieder das gewichtete Mittel der W’keiten, alsoP (A) =P (A|B)P (B)+P (A|B c )P (B c )=0.95 · 0.04 + 0.1 · 0.96 = 0.134als Eintretensw’keit zuweisen.Die 2. Frage wird später behandelt werden.Definition. Sei (Ω, A,P) der zu einem Zufallsexperiment gehörige W’keitraum. Sind A, B ∈A Ereignisse, so verstehen wir, wenn P (B) > 0, unter der bedingten W’keit von A unter derBedingung B den WertP (A ∩ B)P (A|B) =P (B)Das bedeutet: Man nimmt an, man weiß, dass B eingetreten ist. Dann misst P (A|B) die W’keit,dass nun noch A eintreten kann: Der W’keitsraum Ω wird also ersetzt durch das nunmehr sichereEreignis B und die Menge A der möglichen Ereignisse durch die neue σ-Algebra A∩B. DasW’keitsmaß P wird durch Division durch P (B) normiert und so zu einem W’keitsmaß auf derneuen σ-Algebra.Nun können wir die 2. Frage nach der W’keit P (B|A) beantworten, mit der ein als fehlerhaftgemeldeter Schaltkreis auch wirklich defekt ist: Es istP (B|A) =P (A ∩ B)P (A)=P (A|B)P (B)P (A)=0.95 · 0.040.134=0.283Das bedeutet: Nur etwa jeder 4. als defekt angezeigte Schaltkreis ist auch wirklich defekt. DasErgebnis kann auf die kleine Zahl der defekten Schaltkreise zurückgeführt werden und zeigt an,dass das Prüfverfahren ”übervorsichtig” genannt werden kann. Auf der anderen Seite ist dieW’keit, dass ein fehlerfrei gemeldeter Schaltkreis auch wirklich fehlerfrei ist:P (B c |A c )= P (Bc ∩ A c )1 − P (A)= P (Ac |B c )P (B c )1 − P (A)=0.9 · 0.961 − 0.134 =0.997was für die Verlässlichkeit des Verfahrens spricht.Vom folgenden Satz haben wir bei den Beispielen schon Gebrauch gemacht:1.4.1 Hilfssatz. (Formel von Bayes) Sind B 1 , ..., B n ∈AEreignisse, welche sich paarweiseausschließen, also B i ∩ B j = ∅ für i ≠ j, sodassaberΩ=B 1 ∪ ... ∪ B n , so gilt für jedes weitereEreignis A ∈A:P (A) =P (A|B 1 )P (B 1 )+... + P (A|B n )P (B n )Ferner istP (B j |A) =P (A|B j )P (B j )P (A|B 1 )P (B 1 )+... + P (A|B n )P (B n )