Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

28 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKIst für X auch E (X 2 ) endlich, so setzen wirVar (X) :=E ((X − E (X)) 2 )Diese Größe wird Varianz von X genannt. Die Standardabweichung von X ist definiert alsσ(X) = √ Var (X).Dann haben wir den folgenden kleinen1.4.1 Hilfssatz. Ist die Varianz der Zufallsvariablen X definiert, dann giltundVar (X) =E (X 2 ) − E (X) 2Beweis. Schreiben wir p j = P ({x j }), so wird∞∑Var (X) = p j (x j − E (X)) 2==j=1∞∑∞∑p j x 2 j − 2E (X) p j x j +(E (X)) 2j=1j=1∞∑p j x 2 j − 2E (X) 2 +(E (X)) 2j=1= E (X 2 ) − E (X) 2Für die wichtigen Verteilungen können wir Erwartungswert und Varianz ausrechnen.Beispiele. a) Laplaceverteilung auf X = {a 1 , ...., a n }.Nunistn∑E (X) = a j P ({a j })= 1 n∑a jnj=1Var (f) = 1 nj=1(n∑n∑)a 2 j − 1 2an 2 jj=1j=1b) Bernoulliverteilung auf X = {0, .., n} mit Parametern p ∈ (0, 1) und n ∈ Z + .Nunistn∑n∑ ( n)E (X) = kP({k}) = k p k (1 − p) n−kkk=1n∑( n − 1= npk − 1k=1∑n−1( n − 1= npll=0= npk=1)p k−1 (1 − p) n−k)p l (1 − p) n−1−l