Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

52 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKAber es ist− (s − µ 1) 22σ 2 1− (t − µ 2 − s) 22σ 2 2= x22σ 2 1+ (t − (µ 1 + µ 2 ) − x) 22σ 2= (t − (µ 1 + µ 2 )) 22(σ 2 1 + σ 2 2)+ 1 (σ1 2 + σ22 x − σ2 1(t − (µ 1 + µ 2 ))2 (σ 1 σ 2 ) 2 σ1 2 + σ22) 2wobei x = s − µ 1 sein soll. Setzen wir das ein und benutzen die Substitutionsregel, folgt12π∫1 ∞σ 1 σ 2−∞e − (s−µ 1 )22σ12− (t−µ 2 −s)22σ 2 2 ds = 12π= 12π=∫1e − (t−(µ 1 +µ 2 ))2 ∞2(σ1 2+σ2 2 )σ 1 σ 2e − 1 σ1 2 +σ2 22 (σ 1 σ 2 ) 2 x2 dx−∞∫1√ e − (t−(µ 1 +µ 2 ))2 ∞2(σ 2σ21 + σ22 1 +σ2 2 ) e −x2 /2 dx−∞1 1√ √ e − (t−(µ 1 +µ 2 ))22(σ 22π σ21 + σ22 1 +σ2 2 )Damit können wir sehen, dass X 1 + X 2 wieder normalverteilt ist, und zwar nach√N (µ 1 + µ 2 , σ1 2 + σ2).2In entsprechender Weise zeigt man:1.4.5 Hilfssatz. Sind X 1 , ...., X k endlich viele stochastisch unabhängige Zufallsvariable, welchenach N (µ j ,σ j ) verteilt sind, so ist ihre Summe nach√N (µ 1 + ... + µ k , σ1 2 + ... + σk 2)normalverteilt.Beispiel. Angenommen, ein Schüttgutfrachter soll mit mindestens 2000t Zinnerz beladen werden.Dieses soll in Eisenbahnwaggons angeliefert werden. Man weiß dass deren Lademengen X 1 , ...., X kalle normalverteilt nach N (50, 8) sind. (Angabe in t). Wieviele Waggons müssen bereitgestelltwerden, damit der Frachter mit einer W’keit von ≥ 0.99 mit der gewünschten Menge beladenwerden kann?Die Gesamtlademenge von k Waggons ist verteilt nach N (50k, 8 √ k). Gesucht ist ein k, sodassP (X 1 + ... + X k < 2000) ≤ 0.01Schreiben wirY k := X 1 + ... + X k − 50k8 √ k