Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

2.2. DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ 63Der folgende Satz von Glivenko-Cantelli stellt eine Verbindung zwischen relativen Häufigkeiten,dem Gesetz der großen Zahlen und Verteilungsfunktionen her.2.2.2 Satz (Glivenko-Cantelli). Angenommen, es sei (X n ) n eine Folge von stochstisch unabhängigenund identisch verteilten Zufallsgrößen, d.h.: Alle X n haben dieselben VerteilungsfunktionF .Für t ∈ IR sei dann h n (t, X 1 , ..., X n ):= k n ,wennk der Zufallsvariablen X 1, ..., X neinen Wert kleiner oder gleich t annehmen. Dann konvergiert h n (t, X 1 , ..., X n ) gegen F (t), wennn −→ ∞.Die Voraussetzungen dieses Satzes sind etwa bei unabhängigen Wiederholungen einer Messungirgendeiner physikalischen Größe erfüllt. Wenn wir also genügend oft messen, so liefert unsdie Kurve der relativen Häufigkeiten auf empirischem Wege die Verteilungsfunktion der in Redestehenden Messgröße.Unter vergleichsweise milden Voraussetzungen nun kann man zeigen, dass bei Folgen stochastischunabhängiger Zufallsvariablen die Verteilungsfunktionen näherungsweise durch die Normalverteilungdarstellbar ist.2.2.3 Satz (Zentraler Grenzwertsatz). Angenommen, es sei (X n ) n eine Folge von stochastischunabhängigen Zufallsvariablen mit Erwartungswerten E (X n )=µ n und Varianz Var (X n )=σ 2 n.Ferner nehmen wir an, es gebe ein δ>0, so dass der Erwartungswert von |X n − µ n | 2+2δ definiertsei, und dass∑ nj=1 E (|X n − µ n | 2+2δ )( ∑nj=1 σ2 j) 1+δ−→ 0, wenn n −→ ∞ (Ljapunoff − Bedingung)Dann giltwobeiP ({U n ≤ t}) −→ 1 √2π∫ tU n =−∞e − x22 dx, wenn n −→ ∞∑ nj=1 (X j − µ j )√ ∑nj=1 σ2 jDer Satz greift in fast allen praxisrelevanten Situationen.Beispiel. a) Sind alle X n identisch verteilt (etwa bei unabhängigen Wiederholung einer Messung),so hängen E (X n ), Var (X n ) und E (|X n − µ n | 2+2δ )nichtvonn ab, haben also feste Werteµ, σ 2 bezw. E δ . Ferner ist) 1+δ= n 1+δ σ 2( n∑j=1σ 2 j