Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

74 KAPITEL 3. PARAMETERSCHÄTZUNGENNun ist n = 16 und X j der Durchmesser der j.-ten Zylinderscheibe. Eine Schätzung desParameters µ ist gesucht. Die Varianz ist σ 2 =0.25. Wir wählen etwa α =0.05. Dann erhaltenwir als Konfidenzschranken für µ:g 0 =20.6+ 0.54 q 0.95 =20.6+ 0.5 · 1.645 = 20.8064undg u =20.6 − 0.5 · 1.645 = 20.394Als Konfidenzintervall zum Niveau 0.95 ergibt sichI =[20.6 − 0.54 · q 0.975, 20.6+ 0.54 · q 0.975] =[20.335, 20.845]Auf der Grundlage der Stichprobe muss man daher urteilen, dass der wahre Mittelwert innerhalbI, bezw. oberhalb g u liegt, also der Sollwert von 20.2 mm nicht eingehalten wird. Dieses Urteilist mit Sicherheitsw’keit 95% abgesichert!mit2. Fall: Die Varianz sei nicht bekannt.Nun arbeiten wir mit der ZufallsvariablenX (n) = 1 nn∑j=1T n =:= √ n (X (n) − µ)S (n)X j , S (n) = 1n − 1n∑(X j − X (n) ) 2welche der t n−1 -Verteilung unterliegt. Bedeutet jetzt q tn−1 ,α das α-Quantil der Student-t n−1 -Verteilung, so haben wirP (T n ≤ q tn−1 ,α) =1− αalso ist mit W’keit 1 − α die AbschätzungT n ≤ q tn−1 ,αrichtig. Das bedeutet aber, dass bei explizitem Wert x (n) für X (n) und resultierendem Wert s (n)für S (n) mitW’keit1− α gilt√s(n)µ ≥ x (n) − √ q tn−1 ,αnwas uns die untere Konfidenzschrankej=1µ u = x (n) − s (n)√ nq tn−1 ,α