Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

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$Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. H. Pecher Dipl. Math ...$

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46 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKDar<strong>aus</strong> folgtVar (X) =σ 2Um Werte <strong>der</strong> Verteilungsfunktion bequem berechnen zu können, schreiben wirDann ist für t>0:und damitalsoErf(t) := 1 √2π∫ t−∞e −x2 /2 dxErf(t) =1− Erf(−t)P (X − µt)=P (X − µ ≥ t) =1− Erf(t/σ)undP (X − µt) = Erf(t/σ)P (−t
1.4. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 471.4.6 Zusammengesetzte ZufallsvariablenWir untersuchen nun, wie sich die Erwartungswerte von Zufallsvariablen verhalten, die dadurchentstehen, dass man eine Zufallsvariable in eine stetige Funktion einsetzt.1.4.1 Hilfssatz. Angenommen, X sei eine kontinuierliche stetige auf IR definierte Zufallsvariablemit einer Verteilungsfunktion F X und h : IR −→ IR eine stetige, streng monotone Funktion,die eine Umkehrfunktion besitzt. Dann besitzt h ◦ X die VerteilungsfunktionF h◦X = F X ◦ h −1wenn h streng monoton wächst. Wenn F X stetig und h streng monoton fallend ist, so istF h◦X =1− F X ◦ h −1Sind schließlich F X und h sogar differenzierbar, so wird durcheine W’keitsdichtefunktion definiert.f h◦X (t) =f X ◦ h −1 ·|( h −1 ) ′ |Beweis. Denn es gilt für streng monoton wachsendes h:und für streng monoton fallendes h:F h◦X (t) =P (h ◦ X ≤ t) =P (X ≤ h −1 (t)) = F X (h −1 (t))F h◦X (t) =P (h ◦ X ≤ t) =P (X ≥ h −1 (t))=1− P (X 0∫ ∞t−βαf X (s)ds , α < 0(ii) Sei h(s) :=e |s| .Dannisth auf IR + monoton wachsend und auf IR − monoton fallend. Wirschreiben für t>1:P (h ◦ X ≤ t) =P (−ln t ≤ X ≤ ln t) =F X (ln t) − F X (−ln t)
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Seite 57 und 58: 62 KAPITEL 2. GRENZWERTSÄTZEBeweis
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