Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

1.4. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 49• f X1 ,X 2(s 1 ,s 2 )=f 1 (s 1 )f 2 (s 2 )• X 1 und X 2 sind stochastisch unabhängig.Beweis. Folgt leicht ausP (X 1 ≤ t 1 ,X 2 ≤ t 2 )=P (X 1 ≤ t 1 )P (X 2 ≤ t 2 )und der Definition von f X1 ,X 2.Eine Anwendung für spätere Zwecke ist□1.4.4 Hilfssatz. Angenommen, X 1 und X 2 sind stochastisch unabhängig und N (0, 1)-verteilt.Sind dann Y 1 und Y 2 die durchY 1 = aX 1 + bX 2 , Y 2 = cX 1 + dX 2definierte Zufallsvariablen, so gilt:( ) ( )a bSind die Vektoren und Einheitsvektoren, die aufeinander senkrecht stehen, soc dsind auch Y 1 und Y 2 wieder stochastisch unabhängig.Beweis. Denn man kann zeigen, dass ihre gemeinsame W’keitsdichtefunktion wieder Produktstrukturhat.□Mit Hilfe der gemeinsamen W’keitsdichtefunktion lassen sich Verteilungsfunktionen für Summen,Produkte und Quotienten von 2 Zufallsvariablen X 1 und X 2 bestimmen.Summe zweier ZufallsvariablenAngenommen, es sind X 1 und X 2 Zufallsvariablen mit einer 2-mal stetig differenzierbarengemeinsamen Verteilungsfunktion F und W’keitsdichtefunktion f.Wir setzen X := X 1 + X 2 .Dann sei für jedes N ∈ Z + :A L N(s) :=L·N⋃k=−L·N{ k − 1N