Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

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$Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. H. Pecher Dipl. Math ...$

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58 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKDamit wird also ∑ nj=1(Uj − U (n)) 2eine χ2n−1 verteilte Zufallsvariable.Auf diese Weise sehen wir, dass□T n = √ n − 1X (n) −µσ/ √ n√ n−1Sσ (n)dargestellt als √ n − 1 mal dem Quotienten einer N (0, 1)-verteilten und der Wurzel einer χ 2 n−1-verteilten Zufallsgröße, also t n−1 -verteilt ist.
Kapitel 2Grenzwertsätze2.1 Gesetze der grossen ZahlenDefinition. Angenommen, wir haben eine Folge (X n ) n von Zufallsvariablen, für die der Erwartungswertµ n := E (X n ) definiert ist. Für m ≥ 1 setzen wirm∑X (m) := 1 mj=1X jDann sagen wir, es gelte für (X n ) n das (schwache) Gesetz der großen Zahlen, wennfür jedespositive ε( ) ∣∣∣X(m)lim P − 1 m∑ ∣ ∣∣µ j >ε =0m→∞ mWir erinnern uns an die Tschebyscheff-Ungleichung. Wenn wir annehmen, dass die ZufallsvariablenX n sogar eine endliche Varianz besitzen, so gilt( )()∣∣∣X(m)P − 1 m∑ ∣ ∣∣µ j >ε ≤ 1 mε Var X 2 (m) − 1 m∑µ jmj=1j=1( m)1=m 2 ε Var ∑(X 2 j − µ j )Hieraus können wir zwei Sätze ableiten:=60j=1j=1( m)1m 2 ε Var ∑X 2 jj=1
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2 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER ST
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Seite 59 und 60: 64 KAPITEL 2. GRENZWERTSÄTZESomit
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