Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

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$Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. H. Pecher Dipl. Math ...$

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44 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKmit einem Parameter α>0. Wir erhaltenE (X) =∫ ∞0xf α (x)dx = 1Γ(α)∫ ∞0x α e −x dx =Γ(α +1)Γ(α)= αDie WeibullverteilungIhre Verteilungsdichtefunktion ist{0 , wenn x ≤ 0f β,θ (x) = β( x θ θ )β−1 e −( x θ )β , wenn x>0So finden wir für den Erwartungswert einer Weibull-verteilten Zufallsvariablen:E (X) = β θ= θ∫ ∞0∫ ∞0= θΓ( 1 β +1)x( x θ )β−1 e −( x θ )β dxFür die Varianz finden wir auf entsprechende Weiset 1/β e −t dt, (Substitution t := ( x θ )β )Var (X) =θ 2 Γ( 2 β +1)− E (X)2 = θ 2 (Γ( 2 β +1)− Γ( 1 β +1)2 )Wenn der Erwartungswert bekannt ist und etwa den Wert E hat ebenso die Varianz (mitWert V ), kann man damit die Parameter β und θ bestimmen. Es gilt1+ V E 2 = Γ( 2 β +1)Γ( 1 β +1)2Dazu sucht man den richtigen β-Wert. Der Wert für θ ergibt sich dann ausθ =EΓ( 1 β +1)Beispiel: Ein Motor habe eine Lebensdauer von durchschnittlich 8 Jahren mit einer Streuungvon 4 Jahren. Die Erfahrung lehrt, dass seine Lebensdauer Weibull-verteilt ist. Was ist dann θ,was β?Nun muss man ( V = 16):Γ( 2 +1) β=1.25+1)2Γ( 1 β
1.4. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 45lösen. Die Lösung dazu ist β =2.1013. Dann folgtθ =8Γ(1.4759) =9.0325Die W’keit, dass der Motor im 10. Jahr ausfällt, ist nunP (X
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