Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

76 KAPITEL 3. PARAMETERSCHÄTZUNGENnäherungsweise N (0, 1)-verteilt, wenn n groß genug ist. Die Größe U n , als Funktion von p angesehen,ist aber monoton fallend. Mit W’keit 1 − α haben wir nun U n ≤ q 1−α , wobei wieder q 1−αdas (1 − α)-Quantil der Normalverteilung ist. Es folgt für die untere Konfidenzschranke p u für pdie Gleichung√ nX (n) − p u√pu (1 − p u ) = q 1−αDiese Gleichung lösen wir nach p u auf.Analog gilt, da U n ≥ q α mit W’keit 1 − α gilt, für eine obere Konfidenzschranke p o für p dieGleichung√ nX (n) − p o√po (1 − p o ) = q αBeispiel. Eine Lieferung von Bauteilen wird auf Qualität getestet. Man entnimmt eine Stichprobevom Umfang n = 100 und stellt findet 5 defekte Bauteile darin. Dann erfüllt eine obereKonfidenzschranke zum Niveau 1 − α die Gleichung10 0.05 − p u√pu (1 − p u ) = q 1−αalso, für α =0.05 wird p u =0.02454, während p o =0.099.