Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

1.4. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 31undVar (X) = p= p∞∑k 2 (1 − p) k−1 − 1 p 2k=1∞∑(k +1) 2 (1 − p) k − 1 p 2k=0∞∑∞∑= p (k +1)(k + 2)(1 − p) k − p (k + 1)(1 − p) k − 1 p 2k=0k=02= p(1 − (1 − p)) − p 13 (1 − (1 − p)) − 1 2 p 2= 2 p − 1 2 p − 1 p = 1 − p2 p 2Folgendes ist klar1.4.2 Hilfssatz. Ist X :Ω−→ X eine Zufallsvariable, so gilta) E (aX + b) =aE (X)+bb)Var (aX + b) =a 2 Var (X), wenn a ≠0,b∈ IR.Zwischen der Varianz und der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswerthat man eine Abschätzung1.4.3 Satz (Tschebycheff-Ungleichung). Ist X :Ω−→ X eine Zufallsvariable, für welche E (X)und Var (X) endlich sind, so gilt für jedes ε>0:Beweis. Es gilt mit µ = E (X):P ({E (X) − ε ≤ X ≤ E (X)+ε}) ≥ 1 −Var (X) = E ((X − µ) 2 )∑= p k (x k − µ) 2 +k:|x k −µ|>ε≥ ε 2 ∑k:|x k −µ|>ε∑k:|x k −µ|≤εp k = ε 2 P (|X − µ| >ε)= ε 2 (1 − P (|X − µ| ≤ε))Var (X)ε 2p k (x k − µ) 2woraus alles folgt.□