Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

Kapitel 2Grenzwertsätze2.1 Gesetze der grossen ZahlenDefinition. Angenommen, wir haben eine Folge (X n ) n von Zufallsvariablen, für die der Erwartungswertµ n := E (X n ) definiert ist. Für m ≥ 1 setzen wirm∑X (m) := 1 mj=1X jDann sagen wir, es gelte für (X n ) n das (schwache) Gesetz der großen Zahlen, wennfür jedespositive ε( ) ∣∣∣X(m)lim P − 1 m∑ ∣ ∣∣µ j >ε =0m→∞ mWir erinnern uns an die Tschebyscheff-Ungleichung. Wenn wir annehmen, dass die ZufallsvariablenX n sogar eine endliche Varianz besitzen, so gilt( )()∣∣∣X(m)P − 1 m∑ ∣ ∣∣µ j >ε ≤ 1 mε Var X 2 (m) − 1 m∑µ jmj=1j=1( m)1=m 2 ε Var ∑(X 2 j − µ j )Hieraus können wir zwei Sätze ableiten:=60j=1j=1( m)1m 2 ε Var ∑X 2 jj=1