Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

1.4. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 43Wir sehen uns einige Beispiele an:Rechteck-Verteilung: Hier istund daher⎧⎨f(x) =⎩E (X) = 1b − a0 wenn x ≤ a1b−awenn a ≤ x ≤ b0 wenn x ≥ b∫ baxdx = a + b2Var (X) == 1 31b − a∫ bax 2 dx − ( a + b2 )2b 3 − a 3b − a − (a + b2 )2= a2 + ab + b 23(a − b)2=12− a2 +2ab + b 24= a2 − 2ab + b 212Exponentialverteilung. Hier ist{f(x) =0 wenn x ≤ 0λe −λx wenn x>0und daherDas ergibt∫ ∞∫ ∞E (X) =λ xe −λx dx = 1 te −t dt = 10λ 0λ Γ(2) = 1 λ∫ ∞E (X 2 )=λ x 2 e −λx dx = 1 ∫ ∞t 2 e −t dt = 10λ 2 0λ Γ(3) = 2 2 λ 2Bei derGammaverteilungist die Dichte{f α (x) =Var (X) = 1 λ 20 , wenn x ≤ 01Γ(α) xα−1 e −x , wenn x>0