Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

34 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKBeweis. Denn es gilt mit B j = A c j, wegen B j+1 ⊃ B j :∞⋃∞⋃1 − P X (A) = P X (A c )=P X ( B j )=P X ( B j+1 \ B j )=j=1∞∑P X (B j+1 \ B j )=j=1∞∑j=1j=1= limj→∞(1− P X (A j ))=1− limj→∞P X (A j )P X (B j+1 ) − P X (B j ) = limj→∞P X (B j )Definition. IstX eine kontinuierliche Zufallsvariable, so bezeichnen wir wieder mitF X (t) :=P X ((−∞,t] ∩ X )die Verteilungsfunktion von X. Sie beschreibt also die W’keit, dass X einen Wert annimmt, derkleiner oder gleich t ist.Analog zu früher (Fall diskreter Zufallsvariablen) gilt wieder:1.4.2 Hilfssatz. Es gilt für die Verteilungsfunktion einer (kontinuierlichen) Zufallsvariablen:• lim t→−∞ F X (t) =0, lim t→∞ F X (t) =1• F X ist halbstetig von rechts, d.h.: Ist (t n ) n eine monoton gegen ein t ∈ X fallende Folge,so ist lim n→∞ F X (t n )=F X (t).Beweis. Zur Halbstetigkeit von rechts: Sei A j =(−∞,t j ] ∩ X . Mit dem Hilfssatz von obenfolgt dann∞⋂lim F X (t j ) = lim P X (A j )=P ( A j )=P X ((−∞,t] ∩ X )=F X (t)j→∞ j→∞j=1Wir notieren weiter1.4.3 Hilfssatz. Hat X eine stetige Verteilungsfunktion, so ist P (X = s) =0für alle s.Beweis. Denn {s} = ∩ ∞ k=2 (s − 1 k ,s+ 1 k ] undP ((s − 1 k ,s+ 1 k ])=F X (s + 1 k ) − F X (s − 1 k )Die linke Seite geht mit k →∞gegen P (X = s) und die rechte gegen 0, wenn F X stetig ist.□