Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

54 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKDabei istBenutzen wir nun die Formelc 12 = c 1 c 2∫ 10x n 12 −1 (1 − x) n 22 −1 dx∫ 10x k−1 (1 − x) l−1 dx = Γ(k)Γ(l)Γ(k + l)finden wir mit der Formel für die Werte von c 1 und c 2 ,dassc 12 =2 − n 1 +n 22 ·1Γ( n 1+n 2)2wird.Damit ist auch X wieder chi-quadrat-verteilt, und zwar mit n 1 + n 2 Freiheitsgraden.Wo tritt die chi-quadrat-Verteilung auf?1.4.6 Hilfssatz. Sind X 1 , ...., X n stochastisch unabhängige N (0, 1)-verteilte Zufallsvariablen,so istX 2 1 + X 2 2 + ... + X 2 neine mit n Freiheitsgraden chi-quadrat-verteilte Zufallsvariable.Beweis. Denn die Betrachtungen aus dem ersten Teil dieses Abschnittes ergeben, dass X jmit einem Freiheitsgrad chi-quadrat-verteilt ist. Dann ist aber X1 2 + X22 mit 2 Freiheitsgradenchi-quadrat-verteilt, und, (wie man etwa durch ein Induktionsargument begründen kann) dieQuadratsumme X1 2 + X2 2 + ... + Xn 2 mit n Freiheitsgraden chi-quadrat-verteilt.□