Kapitel 1 Hilfsmittel aus der Stochastik

56 KAPITEL 1. HILFSMITTEL AUS DER STOCHASTIKundf X (t) =∫ ∞−∞|s|f 1 (ts)f 2 (s)dsBeispiel: Die Studentsche t-VerteilungDer Name ”Student” wurde von W. Gosset als Pseudonym verwendet. Nach ihm ist die alst n -Verteilung bezeichnete W’keitsverteilung benannt.Ist Y 1 eine N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable und Y 2 mit Y 1 stochstisch unabhängig, nichtnegativund χ 2 n-verteilt, so istT := √ n Y 1√Y2eine t n -verteilte Zufallsvariable.Wir berechnen ihre Dichtefunktion f tn .Die W’keitsdichte zu Y 1 istf 1 (x) = √ 1 e − x222πund und die W’dichte zu Y 2 ist gegeben durchf 2 (x) =c n x n 2 −1 e − x 2 , cn =2 − n 2 ·Daraus bestimmen wir die Dichtefunktion zu √ Y 2 :AlsoP ( √ Y 2 ≤ t) =P (Y 2 ≤ t 2 )=∫ t 20f 2 (x)dx =21Γ( n 2 )f √ Y 2(y) =2f 2 (y 2 )y =2c n y n−1 e − y2 2Die Formel für die W’keitsdichte zu 1 √ nT liefert jetzt∫ t0f 2 (y 2 )ydyf 1 √ n T (t) ====∫ ∞0sf 1 (ts)f 2 (s)ds∫2 ∞√ c n2π0∫2 ∞√ c n2πΓ(n+12 )Γ( n 2 ) √ π0s n e − (ts)22 e − s2 2 dss n e − √1+t 2 s 22 ds =√2π c n1(1 + t 2 ) n+121(1 + t 2 ) n+12∫ ∞0x n e −x2 /2 dx