Experimentalphysik III (Atomphysik)

Experimentalphysik III
(Atomphysik)
Wolgang Barth
Peter Jesinger
Michael Schumann
Christian Waldenmaier

Die Verfasser:
Wolfgang Barth
Hohenneuffenstr. 9
72587 Böhringen
Tel.: 07382/1524
Peter Jesinger
Im Kalköfele 7
73776 Altbach
Tel.: 07153/27875
Email: jesinger@uni-tuebingen.de
Michael Schumann
Im Schäfergarten 20
72072 Tübingen–Bühl
Christian Waldenmaier
Schießgasse 31
73574 Iggingen
Tel.: 07175/372
CIP–Titelaufnahme of se Tscherman librerie
Hefe–Quartett
Exphysik III für Freunde der Vorlesung ” Atomphysik“
Tübingen: Null–Bock–Verlag
ISBN xyz–unbekannt
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb
der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetztes ist ohne Zustimmung der Verfasser unzulässig
und strafbar. Dies gilt besonders für Vervielfältigung, Übersetzung, Mikroverfilmung und die
Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
i

Vorwort
Das vorliegende Skript zur Experimentalphysik III entstand nach einer Vorlage von Prof. Dr.
G. Staudt. Es umfaßt den Stoff der Vorlesung Atomphysik, die von Prof. Baumann und Prof.
Lutz momentan in Tübingen gehalten wird.
Diese kompakte Darstellung setzt jedoch Kenntnisse aus der Mechanik und Elektrodynamik,
sowie einige Grundbegriffe der Hamiltonschen Mechanik voraus. Bei der Gliederung des Stoffes
wurde Wert auf die historische Entwicklung der Atommodelle gelegt. Deshalb wird der Leser
auch nur langsam an die quantenmechanische Formulierung herangeführt, so daß die Einführung
der Schrödingerschen Mechanik erst in Kapitel 7 nötig wird. Zusätzlich zur Atomphysik soll der
Leser in Kapitel 8 mit den quantenmechanischen Begriffen, wie z.B. der Operatorenschreibweise
vertraut gemacht werden. Zudem haben wir die Kapitel mit Sternchen versehen, die vom Leser
bei der ersten Lektüre übergangen werden können.
Mit dem vorliegenden Skript soll dem Studenten sowohl ein konzentriertes Folgen der Vorlesung,
als auch eine bessere und gezieltere Prüfungsvorbereitung ermöglicht werden.
Zur besseren optischen Gestaltung wurde das Textsatzsystem LATEX verwendet. Für Verbesserungsvorschläge,
sowie Hinweise auf Fehler sind wir stets dankbar.
Ganz herzlich danken wollen wir Herrn Prof. Dr. G. Staudt, der mit viel Geduld und Engagement
uns jederzeit bei fachlichen Problemen behilflich war. Trotz Zeitmangel fand er immer
noch genügend Zeit eine rasche inhaltliche Korrektur durchzuführen. Ohne ihn wäre eine
Veröffentlichung nicht denkbar gewesen.
Danken möchten wir auch unserem Kommilitonen Dietrich Coordes, der viel Arbeit in dieses
für uns nie enden wollende Skriptum gesteckt hat und der einen entscheidenden Anteil am
Grundgerüst dieses Werkes hatte.
Last but not least möchten wir Rudolf Neu und Harald König für ihre Unterstützung, sowie
Joachim Euchner für seine Mithilfe bei der Erstellung der Graphiken danken. Dank gilt außerdem
unseren drei Rechtschreibfeen“ Ute Junger, Dietlind Straif und Heike Junger, die unser
”
” fehlerfreies“ Manuskript korrigierten.
Tübingen, November 1990
Älbler, Jazzy, Mütze, Quaddle
(in alphabetic order)
iii

Vorwort zur zweiten Auflage
Aufgrund der unerwartet starken Nachfrage in Stuttgart und Tübingen wurde eine Neuauflage
notwendig. Dadurch bot sich für uns die Gelegenheit didaktische und sachliche Verbesserungen
vorzunehmen. Ebenso wurden Druck– und Flüchtigkeitsfehler verbessert, sowie, zum besseren
Verständnis, zahlreiche Abbildungen verändert oder neu gezeichnet. Speziell in den Kapiteln 5
und 6 haben wir einige Ergänzungen vorgenommen und Kapitel 9 völlig neu überarbeitet. An
dieser Stelle möchten wir den Leser darauf hinweisen, daß es sich weiterhin um eine stark komprimierte
Darstellung der Atomphysik handelt. Deshalb kann man auf ein simultanes Arbeiten
mit Lehrbüchern nicht verzichten.
Danken wollen wir Prof. Dr. G. Staudt, der uns mit seinen Korrekturen wiederum unermüdlich
zur Seite stand. Dank gilt auch Dr. Kayser, der uns auf einige physikalische Fehler hingewiesen
hat, sowie M. Leins und H. König, die uns bei Problemen stets zur Seite standen.
Tübingen, August 1991
Wolfgang, Peter, Michael, Christian
iv

Inhaltsverzeichnis
1 1
1
1
1 1
1 Größe und Masse von Atomen 1
.1 Die Entstehung des Atombegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bestimmung von NA aus der kinetischen Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Bestimmung von NA aus Elektrolyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Bestimmung von NA aus Röntgenbeugung am Kristallgitter . . . . . . . . . . . . 0
1.5 Größe der Atome aus Streuquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Größe der Atome aus mittlerer freier Weglänge, Kovolumen, Röntgenbeugung . . 18
.7 Wie groß sind Atome? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Atomistik der elektrischen Ladung 21
2.1Elementarladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Massenspektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Spezifische Ladung e/m von Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Elektromagnetische Masse me = m(v); Klassischer Elektronenradius . . . . . . . 28
3 Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie 32
3.1Maxwell–Gleichungen und elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . 32
∗ 3.2 Die Erregung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 Magnetische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Unterschied zwischen elektrischer und magnetischer Dipolstrahlung . . . . 44
3.3.4 Strahlung beschleunigter Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Spektroskopische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Thomsonsches Atommodell, Atome als Primärstrahler . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1 Das Thomsonsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.2 Der Zeeman–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
v

vi Inhaltsverzeichnis
3.6 Wechselwirkung von Licht mit Materie, Atome als Sekundärstrahler . . . . . . . 55
3.6.1Beugung, Brechung, Dispersion, Absorption, Resonanzfluoreszenz, Lebensdauer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.2 Doppelbrechung, optische Aktivität, Faraday–Effekt . . . . . . . . . . . . 59
3.6.3 Lichtstreuung, Streuung von Röntgenstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7 Impuls und Drehimpulstransport im elektromagnetischen Strahlungsfeld . . . . . 65
4 Licht als Quantenerscheinung 68
4.1Strahlung des Schwarzen Körpers, Kirchhoffscher Strahlungssatz . . . . . . . . . 68
4.2 Strahlungsformeln, Plancksche Quantisierungsvorschrift, Phasenraum . . . . . . . 72
4.3 Quantisierung des Strahlungsfeldes, Unschärferelation, Einstein–Koeffizienten . . 75
4.4 Photoeffekt, Röntgenbremsstrahlung, Compton–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . 79
∗ 4.5 Dualismus Welle — Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1
1
1
5 Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld 86
5.1 Rutherfordsches Atommodell, Rutherfordsche Streuformel . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Das Bohrsche Wasserstoff–Atom, wasserstoffähnliche Spektren . . . . . . . . . . . 89
5.3 Bohrsches Korrespondenzprinzip; Rydberg–Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Ellipsenbahnen nach Sommerfeld; l–Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5 Aufhebung der l–Entartung: Feinstruktur des Wasserstoff–Spektrums . . . . . . 96
5.6 Aufhebung der l–Entartung bei Alkali–Atomen: Schalenstruktur der Elektronenhülle 97
5.7 Röntgenspektren, Auger–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00
5.8 Anregung von Atomen durch Elektronenstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 02
∗ 5.9 Energieverlust schneller Ionen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 06
1
1 1
1 1
1 1
1 1
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1
6Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung 109
6.1Magnetisches Dipolmoment, gyromagnetisches Verhältnis, Larmorfrequenz . . . . 09
6.2 Bohrsches Magneton, g–Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.3 Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.4 Stern–Gerlach–Experiment, Spin, gs–Faktor, Einstein–de Haas–Effekt . . . . . . 6
6.5 Spin–Bahn–Kopplung des Einelektronensystems, �µ von Bahn und Spin . . . . . . 9
6.6 Zusammenfassung der Ergebnisse, Feinstruktur des H–Spektrums, Lamb–Shift . 123
6.7 Feinstruktur der Alkali–Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.8 Feinstruktur der Röntgenemissionslinien, Röntgenkanten bei Absorption . . . . . 28
∗ 6.9 Spin–Bahn–Kopplung bei Streuprozessen: Mott–Streuung . . . . . . . . . . . . . 30
∗ 6.10 (gs − 2)–Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.11 Überblick über die Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Inhaltsverzeichnis vii
1
1
1
1
1
1
1
1
7 Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom 134
7.1Dualismus Welle–Teilchen, de Broglie–Beziehung, Elektroneninterferenzen . . . . 34
7.2 Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.3 Wahrscheinlichkeit für Ort und Impuls eines Teilchens, Erwartungswert . . . . . 44
7.4 Zeitunabhängige Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.5.1Masse m im Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden . . . . . . . . 47
7.5.2 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.5.3 Das Wasserstoff–Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
1
1
1
8 Quantenmechanische Operatoren 161
8.1Quantenmechanische Operatoren, Erwartungswerte, Vertauschungsrelationen . . 161
8.2 Der Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3 Spinoperator, Spin–Bahn–Kopplung, Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4 Zeitabhängige Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.5 Erhaltungssätze in der Quantenmechanik, Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1
1
1
1
9 Mehrelektronensysteme 175
9.1Ununterscheidbarkeit der Teilchen, Symmetrieerhaltung, Fermionen und Bosonen 175
9.2 Das Helium–Atom; Pauli–Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.3 LS–Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Schalenstruktur, allgemeine Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.5 jj–Kopplung, Innere Schalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1
1
1 1
1
1
10 Atome in äußeren Feldern 190
10.1 Normaler Zeeman–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.2 Anomaler Zeeman–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
0.3 Paschen–Back–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.4 Dia– und Paramagnetismus, Di– und Parelektrische Atome, Starkeffekt . . . . . 95
10.5 Elektronenspinresonanz, Doppelresonanz, Optisches Pumpen . . . . . . . . . . . 97
Index 199
Literaturverzeichnis 203
Konstanten 204

viii Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1
Größe und Masse von Atomen
1.1 Die Entstehung des Atombegriffs
Eine Atomvorstellung wurde zum ersten Male konkret von John Dalton 1808 formuliert:
Jedes Element besteht aus gleichartigen, unteilbaren Bestandteilen, den Atomen.
Jede Verbindung besteht aus Molekülen, die sich ihrerseits aus Atomen zusammensetzen.
Diese Atomhypothese folgerte er aus den Gewichtsverhältnissen bei chemischen Reaktionen:
Gesetz der konstanten Proportionen (J.B. Richter, J.L. Prout, ∼ 1800):
Bei chemischen Reaktionen treten die Partner in konstanten Gewichts– (Massen–)
verhältnissen zusammen.
Gesetz der multiplen Proportionen (J. Dalton, 1803):
Gehen zwei Elemente verschiedene Verbindungen ein, dann verhalten sich die
Gewichtsverhältnisse der Partner in beiden Verbindungen wie (kleine) ganze Zahlen.
Die multiplen Proportionen sind demach die Verhältnisse der Atommassen.
Die nächste Erkenntnis war, daß die Massenzahlen der Elemente ein Vielfaches der Masse des H–
Atoms sind (Prout 1815). Diese Vorstellung — natürlich modifiziert — führte zur Aufstellung
des Periodensystems der Elemente von Mendelejev und L. Meyer (1868).
Es läßt sich also eine Skala der relativen Atom– (Molekül–)massen Ar aufstellen (früher: Atom–
und Molekülgewichte). Diese relativen Atommassen wurden zunächst auf Wasserstoff bezogen,
später auf 1/16 der Masse des neutralen Sauerstoffatoms 16O und seit 1961 auf 1/12 des neutralen
Kohlenstoffatoms 12C. Unterschiede sind nur für Präzisionsmessungen wichtig.
Aus den relativen Atommassen erhält man die absoluten Atommassen über den Begriff des Mols.
Definition: 1 Mol eines beliebigen Stoffes enthält soviele Teilchen wie 12 Gramm 12C. Diese
Zahl heißt Avogadrokonstante oder Loschmidtzahl NA .
1

2 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
1 Mol sind soviel Gramm einer Verbindung wie die Summe der relativen Atommassen des
Moleküls angibt, z.B. 18 g H2O �= NA Moleküle �= 1mol.
Der beste Zahlenwert von NA lautet heute:
N A =6.0221367 (36) · 10 23 /mol
Daraus ergibt sich sofort die absolute Atommasse. Für die atomare Masseneinheit gilt heute
folgende Definition:
und für die Masse eines Atoms:
1u:= 1
12 ma (12C) = 1
g=1.6605402 (10) · 10
NA −27 kg
m a = A r · u → m a (C) = 12 · u
A A r m a
H − Atom 1 1.007825 1.67342 · 10−27 1 1
kg
C − Atom 2 2.000000 19.92516 · 10−27 1
kg
O − Atom1 6 5.9949126.5584 · 10−27 kg
wobei A die Massenzahl ist. Sie ist diejenige ganze Zahl, die der relativen Atommasse am
nächsten liegt.
Ein weiteres stöchiometrisches Gesetz wurde von Gay–Lussac 1808 gefunden:
Bei gasförmigen Reaktionspartnern verhalten sich die Volumenverhältnisse wie einfache
ganze Zahlen.
Daraus und zusammen mit vorherigem folgerte Avogadro die nach ihm benannte Molekularhypothese:
Gleiche Volumina verschiedener Gase enthalten bei gleichem Druck und gleicher Temperatur
die gleiche Anzahl von Molekülen.
Anders formuliert:
Ar1 Ar2 = M1 =
M2 ϱ1 ϱ2 Dieses Verhältnis kann zur Bestimmung
von A r herangezogen werden.
Mit M 1 , M 2 als Molmasse in Gramm. (Molmasse M = N A · m Molekül )
bzw.
M
ϱ
= const. =MolvolumenV (= 22.4l)

1.2. Bestimmung von N A aus der kinetischen Gastheorie 3
Nimmt man bei einem Festkörper dichteste Kugelpackung der Atome an, kann man das Atomvolumen
und damit den Atomradius r a , abschätzen. Dann gilt:
M
ϱ
Va =
� ra ≈ 10
NA −8 cm
Eine einfache Abschätzung der Atomgröße erhält man durch ein Gedankenexperiment: Gegeben
sei ein H2O–Würfel mit 1cm Kantenlänge. Wir teilen ihn zunächst in einer Richtung in S
Scheiben zu je einer Atomlage, und anschließend in jeder Raumrichtung. Das erfordert also 3S
Schnitte. Der benötigte Energieaufwand ist gleich der Verdampfungswärme Ev . Jeder einzelne
Schnitt trennt bei der Zerlegung des Würfels eine Fläche von 2 cm2 . Die hierzu erforderliche
Energie ist 2 · Oberflächenenergie/Fläche = 2 · E0 .
Außerdem ist S = 1
d
= V
N A
Also E v =3S · 2E 0
(d: Abstand der Atomlagen). Wir erhalten
S = 1 1
=
d 6
E v
E 0
����
makr. Größen
bzw. d ≈ 1.9 · 10 −8 cm.
1.2 Bestimmung von NA aus der kinetischen Gastheorie
Ein anderer Anstoß zum Atombegriff kam aus dem Modell der kinetische Gastheorie (Bernoulli
1738). Ableitung des Boyle–Mariotteschen Gesetzes aus kinetischen Vorstellungen:
1. Ein Gas besteht aus N Molekülen und sei in einem Würfel mit einem Volumen V
eingeschlossen.
2. Alle Moleküle besitzen dieselbe Geschwindigkeit v.
3. Jeweils 1/6 der Gasmoleküle bewegen sich in ∆t senkrecht auf eine Wand mit der Querschnittsfläche
A zu.
Abb. 1.1: Gasmoleküle in einem
Würfel.
Z = 1 ∆V
· N ·
6 V
1 Av∆t
= · N ·
6 V
(Zahl der Teilchen, die in ∆t auf die Wand treffen)
F = Z · ∆p
∆t
= Z · 2mv
∆t
1 A
= Nmv2
3 V
(Kraft auf die Wand durch Impulsänderung)
p = F 1
=
A 3 · mv2 · N
V
(Druck)
p · V = const. = 2
3 · N · E kin, Molek.

4 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
für 1mol : p ·V = 2
3 NA · Ekin, Molek. = R · T (allgemeine Gasgleichung)
V ist das Molvolumen. Damit erhalten wir
Ekin,Molek. = 3 R
· T =
2 NA 3
· k · T
2
�= kinetische Energie eines Moleküls.
k = R
NA : Boltzmannkonstante
k =1.380658 (12) · 10 −23 J/K
Nun sollen die obigen idealisierten Voraussetzungen aufgegeben werden. Die Antwort auf die
Frage, mit welchen Geschwindigkeiten man zu rechnen hat, gibt das Maxwellsche Gesetz der
Geschwindigkeitsverteilung und der Boltzmannsche Energieverteilungssatz an.
Ein System von Teilchen befinde sich im Temperaturgleichgewicht. Die Teilchen besitzen
aufgrund der Masse unterschiedliche Geschwindigkeiten und aufgrund äußerer
Kräfte eine unterschiedliche potentielle Energie E pot .
Der Boltzmannsche Energieverteilungssatz gibt dann die Wahrscheinlichkeit dafür an, ein
Teilchen mit E pot und E kin zu finden, bzw. gibt an, wie groß die (relativen) Besetzungszahlen
der einzelnen Energiezustände sind:
Wichtige Sonderfälle sind:
dN = f(�r,�v) · dx dy dz dv x dv y dv z
Epot(�r)+Ekin(�v)
mit der Verteilungsfunktion f(�r,�v) =f · e
− kT .
1. Die Dichteverteilung im Schwerefeld (barometrische Höhenformel)
mgh
−
n(h) =n0 · e kT = n0 · e − Epot kT .
2. Die Maxwell–Boltzmannsche Verteilung der Geschwindigkeitskomponenten
φ(v x )=
�
m
� 1 mv2
2
x
e
−
2πkT
2kT =
3. Die Maxwell–Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge
�
m
� 1
2
Ekin
e
− kT analog φ(vy ),φ(vz ) .
2πkT
ϕ(v) =4πv 2 � m
� 3
2 mv2
· e
− 2kT .
2πkT
Eine wichtige Folgerung ist der Gleichverteilungssatz:
EMolekül = 1
2fkT; E 1
Mol = 2fRT.

1.2. Bestimmung von N A aus der kinetischen Gastheorie 5
Aus ϕ(v) folgt sofort:
�∞
v := ϕ(v)vdv=
0
1
1
e
φ(�v) ∼ e − mv2 x
2KT
f gibt die Zahl der Freiheitsgrade an.
�
2KT
v 1 =
e m
�
8kT
πm , analog v2 = 3kT
m
v x
Abb. 1.2: Maxwell–Boltzmannsche Verteilung der
Geschwindigkeitskomponenten.
ϕ(v)
m
�
2 v2 = 3
2 kT.
v max = √ 2 � kT/m
Abb. 1.3: Maxwell–Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge.
Eine Überprüfung der Maxwell–Verteilung gelang Stern und unabhängig von ihm Gerthsen
in Atomstrahlexperimenten.
Für die Messung von k, also damit von NA = R
k , bieten sich drei Verfahren an:
1. Die barometrische Höhenformel (Perrin 1908),
2. die Brownsche Molekularbewegung (Theorie Einsteins 1905),
3. der Gleichverteilungssatz (Kappler 1939).
1. Perrin benutzte zur Messung das Sedimentationsgleichgewicht: Die Dichteverteilung
kleiner Schwebeteilchen in einer Suspension (ϱ, V ), in einer Flüssigkeit mit der Dichte
ϱ 0 unter gleichzeitiger Wirkung der Schwerkraft und Brownscher Molekularbewegung ist
durch
(ϱ−ϱ0)Vgz
n(z) =n0e − kT
beschrieben, wobei n(z) die Anzahl der Teilchen in einem Einheitsvolumen in der Höhe z
angibt. Aus der Messung der Höhe in der n auf n0
e abnimmt, d.h. der Exponent dann
gleich −1wird, also
z = h ′ kT
=
(ϱ − ϱ0 )Vg ,
bestimmte Perrin k und damit NA :
N A = R
k =6.28 · 1023 /mol .
v

6 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
Die Gleichgewichtsbedingung führt zu einer Verknüpfung von Diffusionskonstanten D und
Zähigkeit η:
Bei konstantem n würden die Teilchen mit v g absinken. Nach Stokes gilt F R =6πηrv g .
Andererseits befinden sich die absinkenden Teilchen im Gleichgewicht mit der Schwerkraft
(v g = const.), so gilt 6πηϱv g =(m − m ′ )g, wobeim die Masse eines Teilchens mit Radius
r, m ′ die Masse der verdrängten Flüssigkeit und η die Zähigkeit des Mediums ist.
daraus ergibt sich eine Teilchenstromdichte:
v g = − (m − m′ )g
6πηr
jg = nvg = − (m − m′ )g
n
6πηr
In einem zähem Medium läßt sich D durch η ausdrücken:
↓ (1.2.1)
Aus der Dichteverteilung n = n0e −(m−m′ )gz
kT
ergibt sich mit
dn
dz = −(m − m′ )g
· n
kT
der Diffusionsstrom jdiff = −D dn
dz = D −(m − m′ )g
· n
kT
↑
Im thermischen Gleichgewicht ( ” Sedimentationsgleichgewicht“) ist
j diff + j g =0,
(1.2.2)
damit bekommen wir
D = kT
. (1.2.3)
6πηr
Eine der anschaulichsten Manifestationen der kinetischen Gastheorie ist die Brownsche
Bewegung. Kleine Teilchen, in einer Flüssigkeit suspendiert, gehorchen nicht nur
der barometrischen Höhenformel (Perrin), sondern führen auch Bewegungen gemäß
der Maxwell–Boltzmann–Verteilung aus, welche durch häufige, unregelmäßige Stöße mit
Molekülen der Flüssigkeit verursacht werden.
2. Die Verknüpfung der Diffusionskonstanten mit dem mittleren Verschiebungsquadrat der
Brownschen Molekularbewegung gelang Einstein 1905.
Wegen
m
2 v2 = 3
2 kT
müssen auch makroskopische Teilchen an der Bewegung teilnehmen.
Gegeben sei die Zahl der Teilchen N, sowie der Dichtegradient G = − ∂n
∂x in x–Richtung:
n(x) =n0 + ∂n
∂x · x = n0 − Gx.
Aufgrund der thermischen Bewegung erleiden die Teilchen eine Verschiebung.

1.2. Bestimmung von N A aus der kinetischen Gastheorie 7
ξ
Abb. 1.4: Schematische Darstellung der mittleren
Verschiebung ξ.
Über den Weg eines Teilchens bei seiner Zitterbewegung
kann man keine Voraussetzungen machen. Wohl
aber läßt sich statitisch der Mittelwert des Quadrates
der Verschiebung nach der Zeit ∆t bestimmen: Bewegt
sich ein Teilchen mit Radius r in einer Flüssigkeit
der Zähigkeit η und der Temperatur T so beobachtet
man nach der Zeit ∆t eine Verschiebung ξ, die identisch
mit dem momentanen Abstand des Teilchens von
seinem Ausgangspunkt ist.
Die Anzahl der Teilchen, die in ∆t eine Verschiebung zwischen ξ und ξ +∆ξ in Richtung
x erleiden, ist N · ϕ(ξ) dξ.
Abb. 1.5: Zur Einsteinschen Theorie der
Brownschen Molekularbewegung.
Dabei ist ϕ(ξ) eine normierte, symmetrische
Verteilungsfunktion, es gilt:
�
+∞
−∞
ϕ(ξ) dξ =1
sowie ϕ(ξ) =ϕ(−ξ)
da eine homogene Suspension vorliegt. Wir interessieren
uns für die Anzahl der Teilchen N, die
von links die Ebene x = 0 durchlaufen und aus
dem Volumen dV = A · dx stammen; dieses Volumen
kann irgendwo im linken Halbraum liegen.
Von den A · n(x) · dx Teilchen in diesem Volumenelement
tragen nur jene zu N→ bei, welche
eine Verschiebung ξ>−x erleiden, d.h.
�∞
ξ=−x
A · n(x) dx ϕ(ξ) dξ
Teilchen.
Da die Fläche A irgendwo im linken Halbraum liegen kann, folgt durch Integration über
den gesamten linken Halbraum
N → =
�0
�∞
x=−∞ ξ=−x
oder mit x ′ = −x und der obigen Gleichung
N → =
�∞
�∞
x ′ =0 ξ=x ′
An(x) dx ϕ(ξ) dξ ,
A(n 0 + Gx ′ )ϕ(ξ) dξ dx ′ .

8 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
Analog ergibt sich für die Teilchen, die die Ebene x = 0 von rechts nach links durchlaufen
N ← =
�∞
�−x
x=0 ξ=−∞
An(x) dx ϕ(ξ) dξ.
Mit ξ = −ξ ′ , dξ = −dξ ′ und ϕ(ξ) =ϕ(−ξ) =ϕ(ξ ′ ) ergibt sich:
Damit wird:
N → − N ← =
N ← =
�∞
�∞
x=0 ξ=x
�∞
x=0 ξ ′ =x
�∞
A(n 0 − Gx)ϕ(ξ ′ ) dξ ′ dx.
A [(n 0 + Gx)ϕ(ξ) − (n 0 − Gx)ϕ(ξ)] dξ dx
Man vertauscht die Integration über den oberen Halbraum
Damit
0 ≤ x ≤ ∞
x ≤ ξ ≤ ∞
das letzte wegen
�
≡
N → − N ← = 2G
+∞ �
−∞
� 0 ≤ ξ ≤ ∞
0 ≤ x ≤ ξ
�∞
�ξ
ξ=0 x=0
Ax dx ϕ(ξ) dξ = G
= 1
2 G
�+∞
Aξ 2 ϕ(ξ) dξ = 1
2 Gξ2A −∞
�∞
ξ=0
Aξ 2 ϕ(ξ) dξ
Abb. 1.6: Zur Umformulierung
des Integrationsbereichs.
ϕ(ξ) dξ =1,ξ 2 bezeichnet man als mittleres Verschiebungsquadrat.
Aufgrund des Dichtegradienten fließt also ein Verschiebungsstrom (Diffusionsstrom) der
Dichte
j diff = N → − N ←
A∆t
= 1 ξ
2
2 ξ
G = −1
∆t 2
2 ∂n ∂n
= −D
∆t ∂x ∂x
D = 1 ξ
2
2
∆t
d.h. ξ 2 ∼ ∆t, daD eine Diffusionskonstante ist.
mit j diff = −D ∂n
∂x
(1.2.4)

1.3. Bestimmung von N A aus Elektrolyse 9
Durch Vergleich von (1.2.3) mit (1.2.4) ergibt sich:
ξ2 = kT
· ∆t Einstein–Smoluchowski
3πηr
Beispiel: r =1µm, ϱ =1g/cm 3 , η =10 −2 Poise, T = 293 ◦ ,∆t = 60 s, daraus folgt
ξ2 ≈ 2.6 · 10−7 cm2 �
, ξ2 ≈ 5 · 10−4 cm = 5 µm.
Die Messungen von Nordlund bzw. Millikan und Fletcher ergaben:
N A ≈ 6 · 10 23 /mol .
3. Ein anderes Verfahren, das die statistischen Schwankungen ausnützt, mißt die Zitterbewegung
von einem Schwingspiegel, der an einem Torsionsfaden aufgehängt ist. Dieser Spiegel
nimmt an der Brownschen Molekularbewegung teil. Die potentielle und die kinetische Energie
des Systems hängen quadratisch vom Drehwinkel ϕ bzw. ˙ϕ ab und genügen daher 1
dem Gleichverteilungssatz. Es gilt also (mit Drehmoment I und Richtungsmoment D 0 )
und daraus folgt
Epot = 1
2D0ϕ2 = 1
2kT Ekin = 1
2I ˙ϕ2 = 1
2
1
2I ˙ϕ2 = 1
2D0ϕ2 = 1
2
Aus der Beobachtung von ϕ(t) und der Bestimmung von ϕ 2 fand Kappler 1939 bei T =
298 K ein ϕ 2 =4.178 · 10 −3 rad. Er erhielt für die Avogadro–Konstante den Wert
kT .
N A ≈ 6.06 · 10 23 /mol .
kT ,
1.3 Bestimmung von NA aus Elektrolyse
Bereits Helmholtz hatte zu Ehren Faradays formuliert:
” Wenn wir die Existenz von Atomen der Elemente annehmen, dann können wir nicht
die Folgerung vermeiden, daß auch die Elektrizität in bestimmten Elementarladungen
auftritt, die sich wie Elektrizitätsatome benehmen.“ (Quantisierung der Ladung).
Die Bestimmung der Elementarladung gelang Millikan 1909.
Bei der elektrolytischen Abscheidung von Salzen aus der Lösung hatte Faraday zwei Gesetze
gefunden.
Das 2. Faradaysche Gesetz lautet, daß zur Abscheidung von 1mol eines einwertigen Stoffes F =
96487 Coulomb notwendig sind. Damit ergibt sich
NA = F
e mit e =1.60217733 (49) · 10−19 Coulomb
1 da sie quadratisch in die Energie eingehen
=⇒ N A =6.0221367 (36) · 10 23 /mol

10 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
1.4 NA aus Röntgenbeugung am Kristallgitter
Ein weiteres Verfahren zur Bestimmung der Avogadro–Zahl beruht auf der Röntgenbeugung
an Kristallgittern.
1895 Entdeckung der Röntgenspektren (Röntgen)
1909 Nachweis des Wellencharakters, Abschätzung von λ (Pohl und Walter)
1912 v. Laue: λ Rö ≈ Atomabstand ≈ 1A.
1928 Absolutbestimmung von λ Rö an makroskopischen Gittern mit streifendem Einfall.
Die Bedingung für Interferenzmaxima ist
Abb. 1.7: Darstellung der Gangunterschiede am Reflexionsgitter.
g(cos α ′ − cos α ′′ )=nλ n =1, 2, 3,... .
Für kleine α ′ , α ′′ erhält man durch Reihenentwicklung
wobei g
� α ′ +α ′′
�
g 1 − α′2
� �
− g 1 −
2
α′′2
�
= nλ
2
g
� α ′ + α ′′
2
�
(α ′ − α ′′ )=nλ,
�
die effektive Gitterkonstante ist; sie liegt bei streifendem Einfall bei ungefähr
2
λRö . Aus gegebenen g, α ′ , α ′′ kann dann λRö errechnet werden.
Bei einem ebenen Kreuzgitter mit g x , g y ( � �x und � �y in der Ebene)

1.4. Bestimmung von N A aus Röntgenbeugung am Kristallgitter 11
Abb. 1.8: Reflexion am ebenen Kreuzgitter.
sei die Einfallsrichtung
��s ′ = � �x cos α ′ + � �y cos β ′ + � �z cos γ ′
und die Ausfallsrichtung
��s ′′ = � �x cos α ′′ + � �y cos β ′′ + � �z cos γ ′′ .
Die Bedingung für die Interferenzmaxima ist dann (gleichzeitige Erfüllung):
g x (cos α ′ − cos α ′′ ) = z x λ z x
g y (cos β ′ − cos β ′′ ) = z y λ z y
g x (cos α ′ − cos α ′′ ) = z x · λ
g y (cos β ′ − cos β ′′ ) = z y · λ
g z (cos γ ′ − cos γ ′′ ) = z z · λ
� ganzzahlig,
positiv oder negativ.
Bei einem räumlichen orthogonalen Gitter mit gx , gy , gz lauten die entsprechenden Bedingungen:
v. Laue 1912
⎫
⎬
ganzzahlig
⎭ positiv oder negativ.
Außerdem gilt:
z x
z y
z z
cos 2 α ′ +cos 2 β ′ +cos 2 γ ′ = 1
cos 2 α ′′ +cos 2 β ′′ +cos 2 γ ′′ = 1.
Damit sind i.a. die Bedingungen für fest vorgegebene λ, gx , gy , gz , α ′ , β ′ , γ ′ nicht erfüllbar,
außer für α ′ = α ′′ , β ′ = β ′′ , γ ′ = γ ′′ ,alsozx = zy = zz =0,d.h.für den durchgehenden Strahl.
Um andere Richtungen zu erhalten muß λ der Bedingung genügen, die man durch Quadrieren
und Summieren der Laue–Gleichungen erhält:
cos2 α ′ − 2cosα ′ cos α ′′ +cos2α ′′ � �2 zx · λ
=
. =
1 − 2(cos α ′ cos α ′′ +cosβ ′ cos β ′′ +cosγ ′ cos γ ′′ )+1= λ 2
2 − 2 � �s ′ · � �s ′′ =
2(1 − cos 2ϑ) = λ 2
(da ∢(�s ′ ,�s ′′ )=2ϑ ist).
λ 2 =
� �2 zx
gx
+
4sin 2 ϑ
� �2 zy
gy
+
� �2 zz
gz
gx .
Für dieses λ tritt
Beugung unter ϑ
auf,
�
z2 x
g2 +
x
z2 y
g2 y
.
+ z2 z
g 2 z
�
z2 x
g2 +
x
z2 y
g2 +
y
z2 z
g2 z
�
�

12 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
oder
sin ϑ = λ
�
�
zx
2 gx � 2
+
� �2 zy
g y
+
� �2 zz
g z
= n λ
�
�
z ′
x
2 gx � 2
�
z ′
y
+
gy � 2
�
z ′
z
+
gz wobei n die gemeinsamer Teiler und z ′ die Millerindizes darstellen.
� 2
(1.4.1)
Diese Bedingung hat eine einfache geometrische Interpretation: Wir denken uns im Ursprung
des Koordinatensystems eine Ebene (⊥ Papier), die den einfallenden Strahl � �s ′ gerade reflektiert
(Netzebene), d.h. � �s ′ − � �s ′′ ⊥�r (Vektor in Netzebene). Damit:
Abb. 1.9: Zur geometrischen Interpretation.
bzw.:
�r · ( � �s ′ − � �s ′′ )=0
x(cos α ′ − cos α ′′ )+y(cos β ′ − cos β ′′ )
+z(cos γ ′ − cos γ ′′ ) = 0
und mit der v. Laue–Bedingung erhalten wir
x z′ x
+ y
gx z′ y
+ z
gy z′ z
gz =0.
Dies entspricht der Gleichung einer Ebene durch
den Ursprung.
Die Gesamtheit aller Ebenen, parallel zur ersten, erhält man durch Verschiebung des Ursprungs
um den Vektor �ϱ:
�ϱ = m x g x � �x + my g y � �y + mz g z � �z
mit m x , m y , m z ganzzahlig.
Damit ist die Gleichung der Ebenenschar (Netzebenenschar):
(x + mxgx ) z′ x
+(y + mygy )
gx z′ y
+(z + mzgz )
gy z′ z
gz x z′ x
+ y
gx z′ y
+ z
gy z′ z
gz Die rechte Seite ist ganzzahlig, damit
x z′ x
+ y
gx z′ y
+ z
gy z′ z
gz = −m x z ′ x − m y z′ y − m z z′ z .
Abb. 1.10: Verschiebung des Ursprungs.
=0
=0, ±1, ±2,... . (1.4.2)
Zur Veranschaulichung gehen wir ins Zweidimensionale. Dann beschreibt (1.4.2) eine Geradenschar:

1.4. Bestimmung von N A aus Röntgenbeugung am Kristallgitter 13
Abb. 1.11: Geometrische Veranschaulichung
zur Berechnung von d.
Im Nenner stehen die Achsenabschnitte. Es gilt:
x z′ x
+ y
gx z′ y
gy = C =0, ±1, ±2
Wir betrachten die zur Ursprungsgerade (C =0)im
Abstand d benachbarte Gerade (C =1).
Dann gilt:
a2 =
+ b2 Wieder aufs Dreidimensionale erweitert, heißt das:
x
g x /z ′ x
+ y
g y /z ′ y
= x y
+ =1. (1.4.3)
a b
d 2 = u · v = � (a2 − d2 ) � (b2 − d2 )
d 4 = a 2 b 2 − d 2 (a 2 + b 2 )+d 4
d =
�
a2b2 1
� .
1/a2 +1/b2 (1.4.4)
1. Die Millerindizes z ′ x , z′ y und z′ z sind (siehe (1.4.3)) die Reziprokwerte der Achsenabschnitte
a, b und c (in Einheiten der jeweiligen Basislänge gx , gy und gz ) einer Netzebene, die im
Abstand d parallel zur Ursprungsebene liegt:
z ′ x
1
= ; z
a/gx ′ 1
y = ; z
b/gy ′ 1
z = .
c/gz 2. Der Netzebenenabstand d ergibt sich zu (siehe (1.4.4))
d =
1
� 1/a 2 +1/b 2 +1/c 2 =
3. Die Bedingung (1.4.1) lautet dann:
d sin ϑ = n · λ
2
�
� �
z ′ 2
x + gx
1
� �
z ′ 2
y
gy
+
W.H. und W.L. Bragg 1912 .
� �
.
z ′ 2
z
gz
Aus der Messung von d = a kann nun NA erschlossen werden: Gegeben sei eine Elementarzelle
eines NaCl–Kristalls mit der Kantenlänge a/2. Im Würfel mit Volumen � �
a 3 4
2 sind 8 NaCl–
” Moleküle“, wobei jedes Ion jeweils 8 Würfeln zugehört. Die Zahl der Moleküle je Volumeneinheit
mit Molmasse M.
n = 4/8
(a/2) 3 = 4
a3 . Andererseits ist dies gleich NA
V
N A = 4M
ϱa 3
= NA·ϱ
M
≈ 6.05 · 10 23 /mol
Anmerkung: Die Größe von d kann durch Röntgeninterferenz gemessen werden, wenn λ Rö
bekannt ist.

14 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
1.5 Größe der Atome aus Streuquerschnitten
Eine Aussage über die Größe der Atome gelingt durch Beobachtung der Streuung von Atomen
bei Beschuß eines Gases mittels eines Atomstrahles.
z 0
z(x)
∆x
A
x
Abb. 1.12: Intensitätsabnahme
des Strahls beim
Durchgang durch das Volumen
∆V = A · ∆x.
Abb. 1.13: Anordnung zur Messung von Streuquerschnitten von Atomen an Atomen. Ein Strahl von Gasatomen tritt
durch die Blenden in die Streukammer. Die Streuung an den dort befindlichen Gasatomen führt zu einer Schwächung
des im Auffänger ankommenden Strahls.
Beim Durchgang durch ein Gas werden die Atome des Strahls teilweise an den Atomen des
” Targetgases“ gestreut. Die Intensität des Strahls wird deshalb als Funktion von x kleiner. Sei
z(x) die Anzahl der Teilchen an der Stelle x, und ∆z die Zahl der gestreuten Teilchen, so gilt:
∆z =
Versperrte Fläche
−z(x) ·
Gesamtfläche
=
∆V
Gesamtzahl der Atome im Volumen ∆V · σ N · V −z(x) · = −z(x) ·
Gesamtfläche
A
· σ
σ ist die versperrte Fläche von einem Atom, N ist die Anzahl der Atome im Gesamtvolumen
V . Da die Gesamtzahl der Atome im betrachteten Volumen durch die Teilchenzahldichte n = N
V
mal Fläche A mal Schichtdicke ∆x gegeben ist, ergibt sich
∆z = −z(x) · n · ∆x · σ
Dabei ist Voraussetzung, daß ∆x so klein ist, daß die Flächen der Streuzentren sich nicht
überdecken.
Der Übergang auf infinitesimale Größen liefert
Anschließende Integration ergibt
dz = −z · n · σ · dx ⇐⇒
dz
z
= −n · σ · dx.
ln z = −nσx + C, aus x =0,z = z 0 folgt C =lnz 0 .
ln z − ln z0 = −nσx.
Somit beträgt die Zahl der Teilchen im Strahl am Ort x:
z(x) =z 0 e −nσx .

1.5. Größe der Atome aus Streuquerschnitten 15
Die Zahl der insgesamt bis zum Ort x aus dem Strahl herausgestreuten Atome ist:
z(x)
z 0
z ′ (x) =z 0 (1 − e −nσx ) .
x
z ′ (x)
z 0
Abb. 1.14: Abnahme und Zunahme der Teilchen in Abhängigkeit von x.
Bei der Messung ist x = d = const. und die Teilchendichte n in der Streukammer variabel. Aus
der Steigung von z(x) in halblogarithmischer Darstellung folgt eine Aussage über den Wirkungsquerschnitt
(WQ) σ.
Wir machen hier die Annahme, daß Atome harte Kugeln sind und ihre Radien seien r 1 und r 2 .
Für den Wirkungsquerschnitt erhalten wir:
σ
r1
r 2
σ = π(r 1 + r 2 ) 2 .
Als Meßergebnis für die Streuung von Ag–Atomen an N 2 –
Molekülen ergaben sich folgende Zahlenwerte:
σ =21· 10 −16 cm 2 =2.1 · 10 −15 cm 2 .
r 1 + r 2 ≈ 2.6 · 10 −8 cm=2.6A
Abb. 1.15: Wirkungsquerschnitt
für zwei harte Kugeln.
Aus diesem gemessenen WQ σ folgt nach σ =(r1 +r2 ) 2π die Größe r1 +r2 . Bei gleichen Atomen
mit r1 = r2 läßt sich daraus r und damit die Größe des Atoms bestimmen.
Wir machen nun eine Abschätzung der Größenordnung der Zahl der gestreuten Teilchen. Die
Teilchendichte n beträgt:
n = ϱ · NA M ≈ 10−3 g/cm3 · 6 · 1023 /mol
≈ 2 · 10
30 g/mol
19 /cm 3 mit M = Molmasse
bei p = 1000 mbar.
Ist der Druck 10−3 mbar, so folgt für die Teilchenzahldichte n ≈ 2 · 1013 /cm3 .
n · σ · d ≈ 2 · 10 13 · 2 · 10 −15 · 1 ≈ 4 · 10 −2 ≪ 1
” dünnes Target“
Dann ist z ′ = z0 (1 − e−nσd ) ≈ z0nσd ≪ z0 eine Näherung für ein dünnes Target.
Der Wirkungsquerschnitt wurde eingeführt als anschaulicher geometrischer Querschnitt zwischen
harten Kugeln. Physikalisch heißt das kurze Reichweite der Wechselwirkungskräfte beim Stoß
zweier harter Kugeln: Abstoßung innerhalb der Radiensumme r1 + r2 (vgl. Abb. 1.16).
Oft existieren aber längerreichende Kräfte, z.B. die Coulombkraft. Wie ist dann σ definiert?
Z.B. wenn der Atomrand nicht definiert ist?
x

16 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
Sei z ′ = z 0 · n · σ · d die Zahl der gestreuten Teilchen, dann ist
oder, anders ausgedrückt:
σ N
A = z′ /t
z 0 /t =
z ′
N
z0
A
z ′
N·t
z0
A·t
σ = z′ 1 z′
· = ·
z0 n · d z0 1
= =
N
A
Zahl der WW/Streuzentrum · sec
=
Stromdichte der einfallenden Teilchen
Zahl der WW/s
= WW–Wahrscheinlichkeit .
Zahl der einfallenden Teilchen/s
Diese Ausdrücke geben auch die Meßvorschrift an.
Abb. 1.16: Schematische Darstellung zur Reichweite der Wechselwirkungskräfte.
Als nächstes wollen wir untersuchen, in welche Richtungen die gestreuten Teilchen fliegen, d.h.
Messung der Winkelverteilung. Die Raumrichtung ist festgelegt durch zwei Winkel: ϑ und ϕ.
Zur Erinnerung:
Wir wollen nun dΩ indϑ dϕ umrechnen:
α = s
R
; dα = ds
;
R
[α] = 1radiant wenn s = R
Vollkreis: 2π rad.
Ω = A
R2 ; dΩ = dA
R
Vollkugel: 4π steradiant
2 ; [Ω] = 1steradiant wenn A = R2

1.5. Größe der Atome aus Streuquerschnitten 17
R
ϑ
dϑ
R · sin ϑ
ϕ
da
db
dϕ
Abb. 1.17: Geometrische Veranschaulichung des Raumwinkels dΩ.
Der differentielle Wirkungsquerschnitt in Richtung (ϑ, ϕ) ist definiert durch:
z 0
R
∆ϑ
ϑ
∆ϕ
Abb. 1.18: Zum Wirkungsquerschnitt.
R 2 · ∆Ω
dA = db · da
= Rdϑ · R sin ϑdϕ
dA = R 2 sin ϑdϑdϕ
dΩ = dA
=sinϑdϑdϕ
R2 z ′ (ϑ, ϕ) =z0 · n · d · dσ
(ϑ, ϕ)∆Ω
dΩ
dσ
der WW / Streuzentrum · sec · ∆Ω
(ϑ, ϕ) =Zahl
dΩ Stromdichte der einfallenden Teilchen j
Man kommt zurück zum totalen (integrierten) Wirkungsquerschnitt durch Integration über die
Einheitskugel:
�
σint =
4π
dσ
(ϑ, ϕ) dΩ =
dΩ
�2π
0
�
0
π
dσ
(ϑ, ϕ)sinϑdϑdϕ .
dΩ
Wenn dσ dσ
dΩ = dΩ (ϑ) ist, also keine Azimutrichtung ausgezeichnet ist (axialsymmetrisches Problem),
kann man die ϕ–Integration ausführen:
�
σint =2π
0
π
dσ
dΩ (ϑ)sinϑdϑ.
Bei einem klassischen Streuprozeß besteht eine feste Beziehung zwischen dem Stoßparameter b
und dem Streuwinkel ϑ:

18 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
Abb. 1.19: Beziehung zwischen Stoßparameter
b und Streuwinkel ϑ bei
axialsymmetrischer Streuung.
Sei ein Streuzentrum herausgegriffen, außerdem sei ein axialsymmetrisches
Problem vorrausgestzt: Alle Teilchen mit
einem Stoßparameter zwischen b und b + db werden in einen
Streuwinkel zwischen ϑ und ϑ + dϑ gestreut. Alles was im
rechten Kreisring liegt, kommt aus dem linken Kreisring.
Damit ist
dσ
der WW / Streuzentrum · sec · ∆Ω(ϑ)
(ϑ) =Zahl
dΩ j
dσ · 2πb db/2π sin ϑdϑ|
(ϑ) =|j =
dΩ j
b
sin ϑ ·
� �
�
�
db �
�
�dϑ�
.
Kennt man nun die Ablenkungsfunktion ϑ = ϑ(b), so folgt daraus dσ
dΩ .
b
α
α
ϑ
R
Abb. 1.20: Zur Ableitung der Ablenkfunktion.
Für harte Kugeln z.B. folgt damit: r 1 + r 2 = R
2α + ϑ = π
α = π ϑ
− ; sinα =cosϑ
2 2 2 .
Als Ablenkfunktion erhält man
b = R · sin α = R · cos ϑ
2 .
Damit ergibt sich mit 2 cos ϑ ϑ
2 · sin 2 =sinϑfür den differentiellen Wirkungsquerschnitt
ϑ
dσ · cos 2
(ϑ) =R
dΩ sin ϑ
· R · sin ϑ 1 R2
· =
2 2 4 .
Der Wirkungsquerschnitt ist unabhängig von ϑ! Die Streuung ist isotrop!
�
σint = 2π
oder: σ int =
�
Ω
0
π
dσ
R2
sin ϑdϑ=2π
dΩ 4
�π
R2 R2
dΩ=4π · = πR2
4 4
Dies entspricht dem geometrischen Querschnitt.
0
sin ϑdϑ= πR2
2
[− cos ϑ]π
0 = πR2 ,
1.6 Größe der Atome aus mittlerer freier Weglänge,
Kovolumen, Röntgenbeugung
Auch ohne einen Atom– ” strahl“ stoßen Moleküle in einem Gas zusammen, σ =4πr 2 ist der ” Stoßquerschnitt“.
Der Weg, den ein Molekül zwischen zwei Stößen zurücklegt, heißt freie Weglänge
x. Das zeitliche Mittel von x bezeichnet man als mittlere freie Weglänge λ. z(x) gibt die

1.7. Wie groß sind Atome? 19
Verteilung der freien Weglängen zwischen zwei Stößen an. Die mittlere freie Weglänge λ ist dann
der Mittelwert.
∞�
z(x)xdx
0
λ = ∞�
=
z(x) dx
1 1
=
σn 4πr2n mit z(x) =z0 · e−nσx .
0
Es ist der Wert, bei dem z0 auf z0
e abgesunken ist. Berücksichtigt man noch, daß sich die
gestoßenen Teilchen bewegen, ergibt sich folgende Beziehung: (ohne Herleitung)
λ =
1
4π √ 2r 2 n .
Die mittlere freie Weglänge λ ist nicht direkt meßbar. Sie geht aber in eine Reihe makroskopisch
2 meßbarer Größen ein ( Transportgrößen“ D, η, λ
” Wl ). Als Beispiel soll die Zähigkeit betrachtet
werden:
η = nvmλ ϱvλ
=
3 3 = n√kTm √ 8
3 √ 2πm4πr2n =
√
RT M
√
6πNA πr2 mit M = Molmasse. Ist NA bekannt, so ist r bestimmbar.
Eine weitere Möglichkeit der Radienbestimmung bildet die Messung des Kovolumens der van der
Waals–Gleichung: �
p + a
V2 �
(V −b) =R · T
mit b =4 4π
3 r3 N A . Wiederum folgt aus der Kenntnis von N A der Radius r.
Bestimmt man η und b des gleichen Gases, so läßt sich r eliminieren und man kann N A bestimmen:
N A =
� 2
3 √ π
� 5 (RT M) 3
2
Eine Messung an Argon, M = 39.94 g, bei T = 20 ◦ C ergibt: η = 221.710 −6 Poise, b =
32.19cm 3 /mol und somit: N A =6.35 · 10 23 /mol. Der Wert aber ist zu hoch. Außerdem zeigt
sich, daß die r–Werte von der Temperatur abhängen: Steigt die Temperatur T ,d.h.E kin ,soist
der Radius r kleiner. Das bedeutet, daß die Vorstellung, Atome als starre Kugeln zu betrachten,
falsch ist.
Die genauesten r–Werte erhält man aus der Röntgenbeugung an Kristallen:
Der Netzebenenabstand mißt den Gleichgewichtsabstand der Atome im Gitter. Aus der Zähigkeit
mißt man den Atomabstand bei thermischer Bewegung. Kovolumen setzt elastische Kugeln
voraus.
Umgekehrt zeigen Beispiele eine erste Anwendung des Konzeptes, makroskopische (Material)–
Größen aus atomaren Größen abzuleiten.
1.7 Wie groß sind Atome?
b 2 η 3
Wie groß sind Atome nun wirklich? Kann man sie sehen?
2 λWl: Wärmeleitung
.

20 Kapitel 1. Größe und Masse von Atomen
Die erste Frage läßt sich nur ungenau beantworten: Atome haben keinen definierten Rand“.
”
Man kann nur ihre Elektronendichteverteilung messen. Das gelingt auch mit der Röntgenbeugungsmethode
an Kristallen, indem man die Analysen der Röntgenbeugungsaufnahmen
entsprechend verfeinert. Heute macht man entsprechende Analysen mit Elektronenstrahlen.
Kann man Atome sehen? Jein!
Die Auflösung von Mikroskopen beträgt d = λ
n sin α ,wobein der Brechungsindex ist.
Beim Feldelektronenmikroskop von E.W. Müller sind Barium–Atome als einzelne, helle Punkte
erkennbar. Man kann sie ” sehen“, also ihre Existenz wahrnehmen, jedoch nicht ihre Struktur.
Wahrnehmen kann man sie auch in Form von Ionen: im Zählrohr, auf dem Fluoreszenzschirm
(Rutherford) oder mit dem Szintillationszähler und Multiplier.

Kapitel 2
Atomistik der elektrischen
Ladung
2.1 Elementarladung
Schon die Faraday–Experimente zeigten, daß Atome Ladungen enthalten und in Ionen und Elektronen
zerlegt werden können. Die Versuche von J.J. Thomson, die mit Hilfe der Ablenkung von
Ionen verschiedener Gase in elektrischen und magnetischen Felder durchgeführt wurden, ergaben
dasselbe für Entladungen in verschiedenen Gasen: Kanalstrahlen, Kathodenstrahlen. Man fand,
daß die bei Gasentladungen, bei Ionisationsprozessen mit Röntgenstrahlen und beim Photoeffekt
entstehenden Ladungsträger dieselben waren. Somit gelang es, die Energie zu messen, die nötig
ist, um ein Atom zu ionisieren: Ionisierungsenergie.
Die erste Messung der Elementarladung gelang Millikan 1910. Er folgerte daraus die Quantisierung
der Ladung. Bei diesem Versuch schwebt ein ionisiertes Öltröpfchen in einem luftgefüllten
Kondensator. Ist kein elektrisches Feld angelegt, bewirkt die Schwerkraft m · g nach dem
Stokesschen Gesetz eine konstante Fallgeschwindigkeit v g , d.h. es gilt:
ohne elektrisches Feld
Reibungskraft = Schwerkraft mg =6πηrv g = 4π
3 r3 (ϱ Öl − ϱ Luft )g (2.1.1)
mit elektrischem Feld
Reibungskraft = Schwerkraft + el. Kraft −6πηrv E = 4π
3 r3 (ϱ Öl − ϱ Luft )g − q · E (2.1.2)
(2.1.1) − (2.1.2) 6πηr(v g + v E )=q · E (2.1.3)
wobei η die Viskosität der Luft ist und ϱ die Dichten sind. Setzt man den aus Gleichung (2.1.1)
21

22 Kapitel 2. Atomistik der elektrischen Ladung
bestimmten Radius r des Teilchens in Gleichung (2.1.3) ein, so ergibt sich
q = 9π
E · (vE + v �
2 · η
g ) ·
3 · vg (ϱÖl − ϱLuft )g
= Z · e. (2.1.4)
Millikan fand, daß die beobachteten Ladungen innerhalb seiner Meßgenauigkeit ganze Vielfache
q = Z ·e einer elementaren Ladung e waren. Er beobachtete außerdem die Abhängigkeit e = e(r).
Der Grund hierfür ist leicht einsichtig. Für kleine r kann das Reibungsgesetz von Stokes nicht
mehr angewendet werden. Hierzu muß die Reibungskraft durch folgenden korrigierten Term
ersetzt werden: Cunningham–Korrektur (1910)
F = 6πηrv g
1+A λ
r
= 6πηrv g
1+ B
p·r
wobei A eine Konstante und λ die mittlere freie Weglänge ist (vgl. Kapitel 1.6). Dies ergibt sich
aus der umgekehrten Proportionalität der mittleren freien Weglänge λ und dem Gasdruck p, B
ist ebenfalls eine Konstante. Für A·λ
r → 0 geht diese Gleichung wieder in das Stokessche Gesetz
über. Somit ergibt sich folgender korrigierter Term:
q = 9π
�
2η
E
3vg (ϱÖl − ϱ vE + vg ·
Luft )g
�
1+ B
� 3 = Z · e0 .
2
p·r
Durch Vergleich beider Ausdrücke für ϱ ergibt sich
e 2
�
3
0 1+ B
�
pr
= e 2
3 .
Durch Messungen Millikans läßt sich die Konstante zu B =6.17 · 10 −3 Torr · cm bestimmen.
Trägt man nun 1
pr über e2/3 ab, so ergibt sich eine lineare Abhängigkeit dieser beiden Größen.
Durch Extrapolation von 1
p
,
→ 0, d.h. r →∞, geht dies wieder in das Stokessche Gesetz über.
Für große Teilchen (r ≫ λ) ergibt sich e 2/3
0 = e2/3 ,odere0 = e. Durch Extrapolation der
Geraden (vgl. Schpolski S.19 Abb.3) erhält man die wahre Größe der Elementarladung e0 . Diese
ist unabhängig von der Art des Mediums (Luft, H2 ) und der Tröpfchenart (Öl, Hg, Schellack).
Aus e0 und F ergibt sich NA . Nach Entwicklung der Röntgenbeugungsmethode stellte sich
heraus, daß ein systematischer Unterschied herauskam. Wegen der großen Autorität Millikans
suchte man Fehler bei der Röntgenbeugung. Auch Autorität kann irren: η war falsch. Statt
η = 1822 · 10−7 Poise waren 1832 · 10−7 Poise richtig! Mit dieser Korrektur ergibt sich e0 zu:
2.2 Massenspektroskopie
e 0 =1.60217733 · 10 −19 C .
Die relativen Atommassen A r konnten ursprünglich nur mit den Methoden der Chemie bestimmt
werden. Dabei waren die Atomgewichte ungefähr ganzzahlige Vielfache der Atommasse des

2.2. Massenspektroskopie 23
Wasserstoff–Atoms, also A r = Z · A H (z.B. A r (O) ≈ 16). Andererseits fand man jedoch z.B. für
Chlor A r (Cl) = 35.5.
Mit der Entdeckung der Elementarladung ergab sich eine bessere Methode zur Massenbestimmung:
die Massenspektroskopie. Hierbei werden bewegte Ladungen in elektrischen und magnetischen
Feldern abgelenkt. Dieses Verfahren führte zur Entdeckung der Isotopie, diemitder
Entdeckung des Neutrons (Chadwick 1933) erst richtig erklärt werden konnte.
• Ältestes Verfahren: Parabelmethode (J.J. Thomson 1913)
+U 0
K
N
�v B� −
+
E�
Abb. 2.1: Parabelspektrograph, schematisch.
S
l
z
y
x
Dabei durchläuft ein Ionenstrahl aus einer
Gasentladung das elektrische Feld � E eines
Kondensators und das parallel dazu orientierte
Magnetfeld � B. Man erhält auf der
Beobachtungsebene für gleiche Teilchen
(gleiche Ladung und gleiche Masse) mit
unterschiedlicher Geschwindigkeit v eine
Parabel, deren Ursprung im Durchstoßpunkt
des unabgelenkten Strahles
liegt. Dies ergibt sich aus folgender einfacher
Rechnung:
Das in y–Richtung angelegte � E–Feld erzeugt eine Ablenkung in diese Richtung.
F y = q · E ⇒ a y = F y
m
q
1
= E ⇒ y =
m 2 ayt2 ≈ qE
2m
l2 1
∼ .
v2 Ekin Das in y–Richtung angelegte � B–Feld bewirkt eine Ablenkung in x–Richtung. Solange das
Teilchen sich im � B–Feld befindet, wird es auf eine kreisförmige Bahn gezwungen, deren
Ebene senkrecht zur Feldrichtung (y–Achse) liegt.
F x = q · v · B ⇒ a x = F x
m
q
1
= vB ⇒ x =
m 2 axt2 ≈ qvB l
2m
2 1
∼
v2 p .
Die Ablenkung in x–Richtung ist umgekehrt proportional zum Impuls p, man nennt den
ablenkenden Magneten deshalb Impulsfilter. Aus den Ausdrücken für x und y läßt sich v
eliminieren, und es ergibt sich:
y = 2mE
q(B · l) 2 x2 =
2E
(B · l) 2 q x
m
2 .
Alle Punkte mit gleichen q
m liegen also auf einer Parabel. Die Parabelpunkte entsprechen
unterschiedlichen Geschwindigkeiten v.
• Geschwindigkeitsfokussierung (Aston 1918)

24 Kapitel 2. Atomistik der elektrischen Ladung
�E
Blenden
Photoplatte
Abb. 2.2: Massenspektrograph von Aston.
� B
D
Schnelle Teilchen ( ” steifer“) werden in
beiden Feldern schwächer abgelenkt als
langsame. Die Geschwindigkeitsfokussierung
bedeutet Unabhängigkeit der
Ablenkung D von der Geschwindigkeit
v. Durch Berechnung ergibt sich:
D = ε(a + b)
Die Photoplatte muß also in der Ebene liegen, die um den Winkel ε gegen den Primärstrahl
geneigt ist, und diesen in der Mitte des Kondensators schneidet. Durch eine Blende wird
ein mittleres ε festgelegt. Das Auflösungsvermögen dieses Spektrographen beträgt:
m
≈ 130
∆m
• Richtungsfokussierung (Dempster 1918)
S 1
S 2
Abb. 2.3: Sektor–
Massenspektrograph mit Richtungsfokussierung.
Zwei Strahlen mit gleicher Geschwindigkeit v, Ladung q und
Masse m aber unter verschiedenem Winkel haben im � B–Feld
den gleichen Krümmungsradius:
qvB = mv2
r
→ r = mv
qB .
Überkreuzen sich zwei Strahlen in S 1 ,soüberkreuzen sie sich auch in S 2 ! Da das Gerät nicht
nach Geschwindigkeit fokussiert, müssen die Ionen einheitliche Energie besitzen. Deshalb
benötigt man eine Quelle für monoenergetische Ionen.
• Doppelfokussierung (Mattauch 1934, Mattauch–Herzog 1940)
Präzisionsinstrumente
vereinigen Richtungsfokussierung und Geschwindigkeitsfokussierung. Ein Beispiel hierfür
gibt der doppelt fokussierende Massenspektrograph nach Mattauch und Herzog. Das
Auflösungsvermögen eines solchen Spektrographen liegt bei 20 000.
m
u
≈ 105
∆m
≈ 107
∆u
Ergebnisse: Auf Grund sorgfältiger Messungen mit Präzisionsspektrographen sind die relativen
Isotopenmassen heute sehr genau bekannt.
Mit Hilfe der Massenspektrographie ergab sich:
1. Es gibt Isotope, d.h. die Elemente sind chemisch gleich, haben jedoch unterschiedliche
Masse.
2. Massenbestimmung

2.3. Spezifische Ladung e/m von Elektronen 25
3. Man erhält außerdem die Isotopenhäufigkeit: Cl: A =35.5 setzt sich aus A = 35 und
A = 37 zusammen.
4. Die Isotopmassen sind annähernd ganzzahlig.
2.3 Spezifische Ladung e
m
von Elektronen
Freie Elektronen können auf verschiedene Weise erzeugt werden und sollen hier nur kurz erwähnt
werden.
1. Aus einer Gasentladung als Kathodenstrahlen.
2. Durch thermische Emission. Ein im Vakuum hocherhitzter Draht, z.B. aus Wolfram emittiert
Elektronen.
3. Beim Lichtelektrischen Effekt: Hinreichend kurzwelliges Licht befreit Elektronen aus Gasen
oder Festkörpern.
4. Durch Feldemission: Extrem hohe elektrische Felder, wie sie in der Umgebung von Metallspitzen
entstehen, extrahieren Elektronen aus Metallen.
5. Durch β–Strahlen aus radioaktiven Atomkernen.
Die spezifische Ladung des Elektrons mißt man aus dem Verhältnis e
m durch Ablenkung in elektrischen
und magnetischen Feldern, d.h. durch Anwendung der allgemeinen Bewegungsgleichung:
+U
Abb. 2.4: Ablenkung von
Elektronen im Magnetfeld.
�F = m d�v
dt
� �
= −e �E +(�v × B) � .
• Eine der ersten Methoden auf diesem Gebiet stammt von Classen (1907).
Aus dem E–Satz folgt:
Film
m
E
2
B
v2 �
2eU
= eU ⇒ v =
m ,
durch Gleichsetzten von Lorentz– und Zentrifugalkraft folgt:
mv2 r
• Nach gleichem Verfahren arbeitet das Fadenstrahlrohr.
= evB ⇒ v = e
rB ,
m
daraus erhält man das Verhältnis von Ladung und Masse
e
m
2U
=
r2 .
B2 • Ein anderes Verfahren ist der Geschwindigkeitsanalysator: Wien–Filter.

26 Kapitel 2. Atomistik der elektrischen Ladung
Ein Plattenkondensator, in welchem dem � E–
Feld das gekreuzte Magnetfeld der Induktion � B
überlagert ist, wirkt als Wien–Filter für Elektronen
der Geschwindigkeit v = E
B , Elektronen dieser
Geschwindigkeit fliegen geradlinig weiter.
e � E = e(�v × � B)
Abb. 2.5: Funktionsweise eines Wien–
⇒ v =
Filters.
E
B .
Außerhalb des Kondensators wirkt nur das � B–Feld. Im homogenen Magnetfeld wirkt die
Lorentzkraft bei konstanter Geschwindigkeit v stets mit gleicher Kraft senkrecht zu �v.
Daraus resultiert die Kreisbewegung. Aus Zentrifugalkraft und Lorentzkraft ergibt sich:
mv2 m v
= evB → r =
r e B .
An Hand von obiger Figur läßt sich der Kreisradius leicht ermitteln:
Es gilt r2 = a2 +(r − d) 2 . Aus dieser Gleichung können wir dann die Elektronenmasse
m = e B2
r (2.3.1)
E
bestimmen. Der mit dem � E– und � B–Feld überlagerte Kondensator läßt nur Elektronen
einer Energie geradeaus durch! Wien–Filter“.
”
Die Gleichung (2.3.1) muß für relativistische Geschwindigkeiten verändert werden. Es
ist dann m = m0 √ . Also ergeben sich für hohe Geschwindigkeiten kleinere spezifische
1−β2 Ladungen.
• Fokussierung im magnetischen Längsfeld (Busch 1922, Goedicke 1939).
Wir betrachten die Wirkung eines Magnetfeldes auf einen divergenten Elektronenstrahl, der
unter einem bestimmten Winkel α �= 0,90◦ ,dervomE–Feld erzeugt wird, zur Richtung der
Feldlinien des Magnetfeldes einfliegt. Auf das Elektron wirkt die Kraft F = e(�v × � B). Wir
teilen die Geschwindigkeit in die Längskomponente
�
vz und die Komponente v⊥ senkrecht
v2 x + v2 y . Auf das senkrecht zum � B–Feld
zu den Feldlinien auf. Es gilt v = const. � v⊥ =
fliegende Elektron wirkt die Lorentz– und Zentrifugalkraft.
y
x
z
S
∼
E B
b
4 3
1 2
0
1
2
0
3
4
z

2.3. Spezifische Ladung e/m von Elektronen 27
Also:
Abb. 2.6: Fokussierung eines Elektronenstrahls im magnetischen Längsfeld.
�v =(v x ,v y ,v z ) � B =(0, 0,Bz ) � F = e(�v × � B)=e(vy B z , −v x B z , 0)
mv 2 ⊥
r = ev ⊥ B → r = mv ⊥
eB .
Die von den Elektronen benötigte Zeit für einen Umlauf ist
T = 2πr
v ⊥
= 2πm
eB .
Die Zeit T hängt also nicht vom Radius r und nicht vom Einschußwinkel α ab. Alle die
Elektronen, die mit verschiedenen Radialkomponenten der Geschwindigkeit v⊥ gleichzeitig
von einem Punkt ausgehen, kehren deshalb, nachdem sie Kreisbahnen mit verschiedenen
Radien beschrieben haben, gleichzeitig zum Ausgangspunkt zurück.
In Richtung der z–Achse übt das Magnetfeld keine Kraft auf das Elektron aus. Das Elektron
fliegt also in der Zeit T auf der Achse des Solenoids um die Strecke
b = vz · T = 2πvz cos α
e .
· B
Ist der Winkel α klein, so gilt cos α ≈ 1und mit vz ≈ v ergibt sich
b = 2πv
e .
· B
m
Alle aus der Blende mit dem gleichen Betrag der Geschwindigkeit v austretenden Elektronen
durchlaufen auf der Achse des Solenoids die gleichen Entfernungen l in einem Zeitraum,
während die Projektionen dieser Elektronen auf der zur Achse des Solenoids senkrechten
Ebene eine vollständige Kreisbahn beschreiben. Also kann man ein divergentes Bündel von
Elektronen mit gleicher Energie im Abstand l durch ein magnetisches Längsfeld fokussieren.
Wir können also mit Hilfe dieser Versuchsapparatur, ein divergentes Elektronenbündel auf
ein Fluoreszenzschirm fokussieren. Da das Feld � B bekannt ist, können wir sofort e
m bestimmen.
Aus der Energiebilanz folgt mv2
2 = eU be
a und mit v = 2πmB sofort
e
m = 8π2Ua B2 .
b2 Diese Methode führte zu relativ genauen Ergebnissen.
• Laufzeitmethode von Kirchner 1930/31
Abb. 2.7: Aufbau von Kirchner.
m
Beide Kondensatoren liegen am gleichen
Hochfrequenz–Generator mit der
Frequenz ν. Das Elektron hat die En-
ergie eU a = m
2 v2 . Im ersten Kondensator
werden die Elektronen abgelenkt.

28 Kapitel 2. Atomistik der elektrischen Ladung
Es fliegen nur die Elektronen geradeaus, die zum Zeitpunkt des HF–Nulldurchgangs den
Kondensator durchfliegen. Im phasengleichen zweiten Kondensator genauso. Dies ergibt
einen gepulsten Strahl. Die Beschleunigungsspannung U a muß so gewählt werden, daß
⇒
ν =20MHz,U a =1kV,l =50cm.
Heutige Bestwerte:
• e/m 0 =1.75881962 (53) · 10 11 C/kg
l
= nT
v 2
e
m = 2l2ν 2
n2Ua = n
2ν .
Präzisionsmethode
• m 0 =9.1093897 (54) · 10 −31 kg = 5.48579903 (13) · 10 −4 u=0.51099906 (15) MeV/c 2
• 1u=1.6605402 (10) · 10 −27 kg = 1822.8885 m 0 = 931.49432 (28) MeV/c 2
Fast die ganze Masse des Atoms ist mit der positiven Ladung verknüpft!
2.4 me = m(v); Elektromagnetische Masse; Klassischer
Elektronenradius
Bereits bei den ersten Messungen von e
m von β–Strahlen (1901 durch Kaufmann) mit Hilfe
der Thomsonschen Parabelmethode war aufgefallen, daß e
m unterschiedlich für verschiedene β–
Energien ist. Messungen von Bucherer 1909 bestätigten das Ergebnis, daß die Masse von der
Geschwindigkeit abhängt:
me =
m0 �
1 − v2
c2 =
m0 �
1 − β2 .
Hieraus folgt ein bedeutsames Ergebnis:
m 0 dv
F = d d d m0v p = mv = �
dt dt dt 1 − β2 = dt
(1 − β2 .
) 3/2
Bewegt sich ein beschleunigter Körper in der Zeit ∆t = t 2 − t 1 um das Wegstück ∆x = x 2 − x 1 ,
dann beträgt die Energieaufnahme:
∆E =
�x2
x1
Fdx=
�t2
t1
m 0 dv
dt
(1 − β2 vdt=
) 3/2
= (m 2 − m 1 )c 2 =∆mc 2 .
�v2
v1
m0v (1 − β2 dv =
) 3/2
�
m 0 c 2
� 1 − β 2
� v2
v1

2.4. Elektromagnetische Masse m e = m(v); Klassischer Elektronenradius 29
Für v 1 =0istm 1 = m 0 und damit E 0 = m 0 c 2 die Ruheenergie; und mit m 2 = m folgt:
E = mc 2 = m 0 c2
� 1 − β 2 .
Für den Zusammenhang zwischen Energie und Impuls gilt dann
m 2 (1 − β 2 )=m 2 0 |·c 4 ⇐⇒ E 2 − c 2 p 2 = m 2 0 c4 .
=⇒ E =
Dieser Ausdruck hat folgende Näherungen:
�
m 2 0 c4 + p 2 c 2 .
1. Nichtrelativistischer Grenzfall: pc ≪ m0c2 ,d.h.v ≪ c
mc 2 = E = m0c 2
�
1+ p2c2 m2 0c4 ≈ m0c2 �
1+ 1
2
p 2
m2 + ...
0c2 = m0c 2 + p2
= m0c 2m0 2 + 1
2 m0v2 = E0 + Ekin .
2. Hochrelativistischer Grenzfall: pc ≫ m0c2 ; m0 �= 0 (Elektronen)
mc 2 = E =
�
pc 1+ m20 c4
p2 �
= pc 1+
c2 1
2
≈ pc + m2 0 c4
2pc .
3. Hochrelativistischer Grenzfall: m 0 =0(γ–Quanten, Neutrinos?)
mc 2 = E = pc ⇒ E = m 0 c2
� 1 − β 2 �=0.
m2 0c4 p2 �
+ ...
c2 Da mit m 0 = 0 die Energie nicht Null sein darf, muß der Nenner auch Null werden, d.h.
β 2 = 1 ⇔ v = c. Also bewegen sich Teilchen mit der Ruhemasse m 0 = 0 stets mit
Lichtgeschwindigkeit.
Es gelang H.A. Lorentz, die Massenveränderlichkeit des Elektrons aus der Vorstellung der
” elektromagnetischen Masse“ des Elektrons abzuleiten. Bereits 1881 begründete J.J. Thomson
die Vermutung, daß die gesamte Masse des Elektrons elektromagnetischer Natur sei: Wird
nämlich eine masse“lose Ladung in Bewegung gesetzt, muß magnetische Feldenergie aufge-
”
baut werden (die der Beschleunigungsarbeit m
2 v2 entspricht). Wird sie abgebremst, bewirkt die
Schwächung des Magnetfeldes, daß via Induktionsgesetz die Ladung weitergetrieben wird (was
der Trägheit entspricht).
Heute verstehen wir, warum es Lorentz gelang, aufgrund der Hypothese der elektromagnetischen
Masse die richtige Formel zu finden: Die Maxwell–Gleichungen sind Lorentz–invariant.
�

30 Kapitel 2. Atomistik der elektrischen Ladung
Wir wissen heute, daß die relativistische Masse nicht nur für geladene Teilchen, sondern für alle
Teilchen gilt. Deshalb brauchen wir die Hypothese der elektromagnetischen Masse“ nicht mehr.
”
Mit dem Begriff der elektromagnetischen Masse“ ist eng der Begriff des klassischen Elektro-
” ”
nenradius“ verbunden. Er soll an der elektrostatischen Masse“ des Elektrons erläutert werden:
”
Unter der elektrostatischen Masse“ des Elektrons versteht man die Masse, die sich ergibt, wenn
”
man die elektrostatische Feldenergie, die in dem vom Elektron erzeugten elektrischen Feld enthalten
ist, gleich der Ruheenergie des Elektrons setzt:
W el = m 0 c 2
(2.4.1)
1. Annahme: das Elektron sei eine leitende Kugel“, d.h. die Ladung sitzt auf der Oberfläche
”
der Kugel mit Radius R. Dann berechnet sich die Feldenergie zu
� ∞
W el = ε 0
2
= ε 0
2
=
Mit (2.4.1) ergibt sich für R:
R
� e
4πε 0
e 2
8πε 0 R .
R =
E 2 (r)4πr 2 dr mit E(r) =
�2 � ∞
1
4π dr
R r2 e2 1
=
8πε0m0c2 2 ·
e 2
4πε 0 m 0 c 2
e
4πε 0 r 2
(2.4.2)
2. Annahme: das Elektron sei eine ” homgen geladene Kugel“ mit Radius R. Dann ergibt sich
für den Außenraum die gleiche Feldenergie, für den Innenraum kommt noch hinzu
W el,i = ε 0
2
=
= 1
5 ·
Wel,ges = 6
5 ·
Mit (2.4.1) ergibt sich damit:
� R
E
0
2 (r)4πr 2 dr mit E(r) =
e2 8πε0R3 � R
r
0
4 dr
e2 8πε0R e 2
8πε 0 R .
R = 3
5 ·
e 2
4πε 0 m 0 c 2
Man definiert nun den ” klassischen Elektronenradius“ r 0 :
r0 = 1 e
4πε0 2
m0c2 =2.8·10−13 cm .
e
· r
4πε0R3 (2.4.3)

2.4. Elektromagnetische Masse m e = m(v); Klassischer Elektronenradius 31
Aus der Ableitung folgt, daß es sich hierbei um eine reine Rechengröße handelt. Kann man den
Elektronenradius messen? Die Antwort lautet: im Prinzip ja. Man kann z.B. den Wirkungsquerschnitt
für die Streuung von Röntgenstrahlen bestimmen. Dies gelang J.J. Thompson, der
den Wirkungsquerschitt mit
σ = 8π
3
�
e 2
4πε 0 c 2 m 0
�2
= 8π
3 r2 0
berechnete. Die modernen Experimente mit höchstenergetischen Elektronen, gestreut an Elektronen,
haben keine innere Struktur des Elektrons ergeben; insbesondere keine Abweichung von
der Punktladung für alle r ≥ 10 −18 m=10 −16 cm,
d.h. r e ≤ 10 −16 cm .

Kapitel 3
Licht als elektromagnetische
Welle, Wechselwirkung mit
Materie
3.1 Maxwell–Gleichungen und elektromagnetische
Wellen
Die Maxwell–Gleichungen lauten:
�
�
�Ed� A = Q
ε0 �Bd� A = 0
�
�
�Ed�s = − d
�
dt
�Bd�s = µ 0 I + ε 0 µ 0
�Bd� A
�
d
dt
Im Fernfeld — weitab von Ladungen Q und Strömen I —läßt sich aus den Maxwell–Gleichungen
eine Wellengleichung für den � E– und dem � B–Vektor ableiten: Die elektromagnetische Wellen.
Die Ableitung soll hier kurz vorgeführt und die daraus resultierenden Konsequenzen zusammenstellt
werden. Dazu müssen wir von der Integral– auf die Differentialschreibweise übergehen. Die
Maxwell–Gleichungen lauten dann:
div � E = ϱ
ε 0
rot � E = − ∂ � B
∂t
div � B = 0 rot � B = µ 0 �j + ε 0 µ 0
mit der Ladungsdichte ϱ : ϱ · V = Q,
der Stromdichte �j : �j · � A = I
32
∂ � E
∂t
�Ed � A

3.1. Maxwell–Gleichungen und elektromagnetische Wellen 33
und den Differentialoperatoren:
div � A = � ∇· � A
rot � A = � ∇× � A
grad φ = � ∇φ
und ∇ � =
∂
∂x � �x + ∂
∂y � �y + ∂
∂z � �z.
Weitab von Ladungen ϱ und Strömen �j lauten die Maxwell–Gleichungen in Komponenten:
∂Ez ∂y − ∂Ey ∂z = −∂B x
∂t
∂Ex ∂z − ∂Ez ∂x = −∂B y
∂t
∂Ey ∂x − ∂Ex ∂y = −∂B z
∂t
∂Bz ∂y − ∂By ∂z = ε0 µ ∂Ex 0
∂t
∂Bx ∂z − ∂Bz ∂x = ε0 µ ∂Ey 0
∂t
∂By ∂x − ∂Bx ∂y = ε0 µ ∂Ez 0
∂t
Die Fortschrittsrichtung sei z. Wir suchen ebene Wellen, also ist die xy–Ebene eine Ebene
gleicher Phase, d.h. in dieser Ebene hat jeder Punkt den gleichen Wert, es findet also keine
= 0). Damit verbleibt:
räumliche Änderung statt ( ∂
∂x
− ∂Ey ∂z = −∂B x
∂t
∂Ex ∂z = −∂B y
∂t
= ∂
∂y
0 = − ∂Bz ∂t ⇒ Bz = const.
− ∂B y
∂z = ε0 µ 0
∂Bx ∂z = ε0 µ 0
0 = ε 0 µ 0
∂Ex ∂t
∂Ey ∂t
∂Ez ∂t ⇒ Ez = const.
Wir wollen statische Felder nicht zulassen, deshalb muß B z = E z =0sein: � E und � B haben keine
Komponenten in z–Richtung, somit bilden � E und � B ein Transversalfeld. Wir wählen die x–y
Koordinaten so, daß der � E–Vektor in der E x –Richtung schwingt. Dann ist E y = 0 und damit
Bx = const. Diese Konstante ist Null, da sonst statische Komponenten vorliegen. Der � B–Vektor
schwingt in der y–Ebene, � B und � E stehen also senkrecht aufeinander.
Da die meisten Komponenten wegfallen, lassen sich die obigen Gleichungen umformen in
− ∂B
∂z = ε 0 µ 0
∂E
∂z
= −∂B
∂t
∂E
∂t
− ∂2B ∂z∂t = ε0 µ ∂
0
2E ∂t2 ∂2E ∂z2 = − ∂2B ∂t∂z
|· ∂
∂t
|· ∂
⎫
∂z
⎪⎬
⎪⎭
∂2E ∂z2 = ε0 µ ∂
0
2E .
∂t2 Dies ist die Eulersche Wellengleichung. Daraus folgt für das Vakuum
ε 0 µ 0 = 1
c 2

34 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
und für eine in Materie fortschreitende Welle ergibt sich
Mit n = c
v
als Brechungsindex erhält man
εε 0 µµ 0 = 1
v
1
= 2 �2 .
�
c
n
n = √ εµ (Maxwell–Relation).
Die LösungdieserWellengleichungist die ebene Welle:
� �
z
� �
E = E0 cos ω ∓ t + δ
c
= E 0 cos (kz ∓ ωt + δ)
E = E0e i (kz ∓ ωt + δ)
B ergibt sich dann aus:
und
mit ωz
c
= 2πν · z
c
= 2π
λ
z
· z = = k · z
¯λ
∂B
∂z = −ε0 µ ∂E
0
∂t = ∓ε0 µ 0ωE0 sin
�
ω
�
z ∓ ωt + δ
c
∂B
= −∂E
∂t ∂z =+ω 0
c E0 sin
�
ω
�
z ∓ ωt + δ
c
Deshalb muß B die Form haben
B = ± 1
c E0 cos
�
ω
�
z ∓ ωt + δ
c
B = ±B0e i(kz∓ωt+δ)
= ±B 0 cos
�
ω
�
z ∓ ωt + δ
c
Damit sind � E und � B frequenz– und phasengleich und sie bilden mit � �z ein Rechtssystem.
Vakuum
E 0 = c · B 0
B 0 = √ ε 0 µ 0 E 0 = 1
c · E 0
Intensität und Energiestrom berechnen sich dann wie folgt:
E0 =
Materie
c
n · B0 B 0 = √ εε 0 µµ 0 E 0 = n
c · E 0
Energiedichte: uel = εε0 2 E2 ; umag = 1
B
2µµ 0
2 ; uel = umag .
Die Gesamtenergiedichte der elektromagnetischen Welle ist dann:
uges = uel + umag = 1
2 · εε0E2 + 1
B
2µµ 0
2 = 1
B
µµ 0
2 = εε0E 2 .

3.1. Maxwell–Gleichungen und elektromagnetische Wellen 35
Energieflußdichte: S = v(uel + umag )= 1
EB = εε0vE µµ 0
2
= c
√ εε0E εµ 2 = 1
EB =
µµ 0
c
B
µµ 0
2 = Energie
Zeit · Fläche
Intensität: I = S (t)
Energiestromvektor � S =
�= zeitlicher Mittelwert von S
1
µµ 0
�E × � B (Poyntingvektor)
Die Intensität, ausgedrückt durch die Amplituden E 0 und B 0 ,ergibtsichzu
I = S (t) = | � S| (t)
I = 1
2µµ 0
Abb. 3.1: Zum Veranschaulichung des Impulstransports
einer elektromagnetischen Welle.
= 1
|
µµ 0
� E × � B| (t)
= 1
E0B0cos µµ 0
2 [kz ∓ ωt + δ] (t)
E0B0 = 1
�
εε0
E
2 µµ 0
2 0
�
c2 εε0
= B
2 µµ 0
2 0
(3.1.1)
Neben dem Energietransport tritt bei elektromagnetischen
Wellen auch ein Impulstransport auf. Verantwortlich
dafür ist das an das � E–Feld gekoppelte
�B–Feld. Der Impulstransport läßt sich anhand Abbildung
3.1leicht klarmachen. Erreicht die Welle die
Ladung q, die sich in Ausbreitungsrichtung befindet,
so wird diese in Bewegung gesetzt.
Dies hat zur Folge, daß nun die Ladung auch eine Geschwindigkeitskomponente quer zur Ausbreitungsrichtung
bekommt. Aufgrund dieser Geschwindigkeit übt das � B–Feld die Lorentzkraft
F L auf die Ladung aus. Diese zeigt in Ausbreitungsrichtung. Es gilt
F L = qv x B y = 1
c qv x E x .
Fällt also eine elektromagnetische Welle auf eine Fläche, so ist damit eine Kraftwirkung, d.h.
ein Impulstransport verbunden. Diese Erscheinung bezeichnet man als den Maxwell’schen
Strahlungsdruck. Da � E– und � B–Feld periodische Funktionen der Zeit sind, bilden wir den
zeitlichen Mittelwert
�F L = 1
c qE dx
x
dt
= 1
c
dWA .
dt
Es wirkt also eine Kraft auf die Fläche A, die der absorbierten Leistung dWA
dt
proportional ist.
dWA
dt ist die mittlere übertragene (absorbierte) Leistung, die dem Feld entzogen wird. Dividieren
wir diese Kraft durch die durchstrahlte Fläche A⊥z, sostehtlinkseinDruck,derMaxwell’sche
Strahlungsdruck, rechts die absorbierte Intensität
F L
A = p rad
1 1 dWA 1
= =
c A dt c S.

36 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Andererseits ist
F L
A
1 ∆p ∆p ∆x
= · = ·
A ∆t V ∆t = pV · c.
Man nennt ∆p
V ≡ pV die mittlere Impulsdichte der elektromagnetischen Welle. Der Vergleich der
letzten beiden Gleichungen liefert:
Maxwellscher Strahlungsdruck prad = 1
c S = mittlere Impulsstromdichte pV · c.
∗ 3.2 Die Erregung elektromagnetischer Wellen
Soviel zur Wiederholung. Offenbar hat die Erregung einer elektromagnetischer Welle etwas mit
Ladungen und Strömen, also bewegten Ladungen zu tun.
Jetzt soll kurz die mikroskopische“, die atomistische“ Begründung für die Erregung einer elek-
” ”
tromagnetischen Wellen referiert werden. Dazu werden wir zwei neue Begriffe kennenlernen,
die Sie später in der theoretischen Elektrodynamik ausführlich besprechen werden: Das Vektorpotential
� �
Ad�s � = �BdAund die zeitliche Retardierung. Mit diesen Hilfsmitteln lassen sich
geschlossene Ausdrücke für den � E– und den � B–Vektor angeben, die das Nah– und Fernfeld
enthalten.
Der mathematische Aufwand für die Herleitung des � E– und � B–Feldes einer beliebig bewegten
Ladung ist sehr groß, so daß sie vom Leser bei der ersten Lektüre ohne weiteres übergangen
werden kann und es deshalb genügt, sich nur für die Ergebnisse (3.2.8) und (3.2.9) zu interessieren.
�a sei ein beliebiger Vektor.
Wie man leicht durch Ausdifferenzieren prüfen kann, gilt:
⇐⇒
�div rot�a � = 0
∇· � �∇×�a = 0.
Nun ist div � B =0 (Maxwellgleichung), also� B =rot� A wobei � soll. Dann folgt aus
A das Vektorpotential darstellen
rot � E = − ∂ � B
∂t
=
∂
−
∂t rot � �
A =rot − ∂ � �
A
,
∂t
wegen − ∂
�
rot�a =rot −
∂t ∂�a
�
∂t
⇒
�
rot �E + ∂ � �
A
∂t
= 0, wegen rot�a +rot�b =rot(�a + �b) .
Damit läßt sich der Vektor ( � E + ∂ � A
∂t
0):
�E + ∂ � A
∂t
) als der Gradient einer Größe schreiben (wegen rot grad φ =
= − grad φ ; wobei φ ein (zeitabhängiges) skalares Potential sei.
�E = − ∂ � A
∂t
− grad φ

∗ 3.2. Die Erregung elektromagnetischer Wellen 37
Die Rotation von � A ist durch � B festgelegt, über die Divergenz von � A kann man zweckmäßig
verfügen:
div � A = − 1
c2 ∂φ
∂t
Lorentz–Konvention.
Wie man ebenfalls durch Ausdifferenzieren prüfen kann, gilt:
rot rot�a = graddiv�a−∆�a |
� �
∇× � �∇×�a = � � �
∇ �∇�a −∇ 2 div grad b = ∆b |
�a
� �
∇�
�∇b = ∇ 2 b
∆=∇2 = ∂2 ∂2 ∂2
+ +
∂x2 ∂y2 Dann folgt
ϱ
=div
ε0 � �
E =div − grad φ − ∂ � �
A
∂t
∂z 2
⇐⇒ ∆φ − 1
c 2
Laplace–Operator
= − div grad φ − ∂
∂t div � A = −∆φ + 1
c2 ∂2φ ∂t2 ∂2φ ϱ
= −
∂t2 ε0 (3.2.1)
und rot � B =rotrot� A =graddiv� A − ∆ � A = − 1 ∂φ
grad
c2 ∂t − ∆ � A. (3.2.2)
Andererseits gilt nach Maxwell:
rot � B = µ 0 �j + ε 0 µ 0
∂
∂t � ∂
E = µ 0�j − ε0 µ 0
2A� ∂t2 − ε0 µ ∂
0 grad φ. (3.2.3)
∂t
aus (3.2.2) und (3.2.3) folgt ∆ � A − 1
c2 ∂2A� ∂t2 = −µ 0�j = −µ 0ϱ�v . (3.2.4)
Wir erhalten also vier Potentialfunktionen um die elektromagnetischen Felder � E und � B zu
beschreiben: Ein skalares Potential φ und ein Vektorpotential � A (bestehend aus 3 Funktionen).
Jetzt versteht man den Begriff Vektor ” potential“. Beide ” Potential“–gleichungen entsprechen
den vier Maxwellgleichungen, da sie ja aus ihnen folgen. Wie sehen die Lösungen aus?
• Ist φ zeitunabhängig: Aus (3.2.1) ergibt sich
∆φ = − ϱ
ε 0
Poisson–Gleichung der Elektrostatik
Wir haben hier nun den Spezialfall φ unabhängig von t, d.h.ϱ unabhängig von t. In der
Elektrostatik kennen wir aber φ aus der Kenntnis der Feldstärke � E = 1
4πε0
��r ′ )(mitr = | �
�r 0 − � �r ′ |).
� ϱ(P ′ )
r 2 dV ′ ( � �r 0 −

38 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Abb. 3.2: Zur Veranschaulichung der
Wirkung von P ′ auf P.
So ist das Potential am Punkt P das von einer Ladung im
Volumenelement dV ′ mit der Ladungsdichte ϱ(P ′ ) erzeugt
wird:
φ(P ) = φ(x, y, z) = 1
4πε0 φ =
1
4πε0 r
� ϱ(x ′ ,y ′ ,z ′ )
r
dV ′
��� ′ ′ ′ ϱ (x ,y ,z )
dx ′ dy ′ dz ′
mit r = � (x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(z − z ′ ) 2
• Ist ϱ überall im Raum Null (leerer = ladungsfreier Raum), so erhalten wir die Wellengleichung:
∆φ = ∂2φ 1
+ ···=
∂x2 c2 die z.B. durch die ebene Welle φ gelöst wird.
• Lösung der allgemeinen Gleichung:
φ(x, y, z, t) =
1
4πε0 �A(x, y, z, t) = µ 0
4π
∂2φ ,
∂t2 ��� ′ ′ ′ ′ ϱ(x ,y ,z ,t )
dx
r
′ dy ′ dz ′
��� ′ ′ ′ ′ ϱ(x ,y ,z ,t )
· �v(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ) dx ′ dy ′ dz ′
r
(3.2.5)
(3.2.6)
Jetzt betrachten wir als Ladung q ein Elektron, eingesperrt in seinem Volumen ∆τ mit dem
Radius r 0 = 1
4πε0
e 2
m0c 2 (klassischer Elektronenradius). Dann müssen wir über dieses Volumen
integrieren. Sei r ≫ r 0 . Nach diesen Formeln unterscheiden sich die Beträge des Volumenelements
dV ′ = dx ′ dy ′ dz ′ zu den Potentialen im Aufpunkt P (x, y, z) vom statischen Fall lediglich
dadurch, daß für ϱ und ϱ · V nicht die momentanen Werte einzusetzen sind, sondern die Werte,
die in dem um die Laufzeit r
r
c zurückliegenden Augenblick (also t − c )indV ′ geherrscht haben.
Die Beiträge des Quellpunktes zu den Potentialen treffen im Aufpunkt P erst nach der Zeit r
c
ein. Deshalb heißen die, aus (3.2.6) bestimmten Werte die retardierten Potentiale und t ′ = t − r
c
die retardierte Zeit. Nun würde jeder meinen, daß das Integral von ϱ über so eine ” Punkt“ladung
einfach die Gesamtladung q ist, also
φ = 1 q
4πε0 r .
Dies ist aber falsch! Da sich das Elektron bewegt und die Laufwege von einem Punkt P ′ 1
nach P und von einem anderen Punkt P ′ 2
in ∆τ
in ∆τ nach P unterschiedlich sind, vergrößert sich
scheinbar das Volumen ∆τ und somit wegen q = ϱ · V auch die Ladung. Es gilt (ohne Rechnung)
q eff = ϱ · ∆τ =
q
1 − �v·�r
rc
.

∗ 3.2. Die Erregung elektromagnetischer Wellen 39
Damit erhalten wir als Lösung der beiden Potentialgleichungen
�
φ(x, y, z, t) =
1 q
4πε0 r − �v·�r
�
c t ′ =t− r
�A(x, y, z, t) =
c
µ �
0 q�v
4π r − �v·�r
�
c
die sogenannten
Lienard–Wiechert–Potentiale.
t ′ =t− r
c
Die Größen �v und �r sind zur retardierten Zeit t ′ = t − r
c zu nehmen. Daraus � E und � B: (s =
s (x, y, z, x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ , ˙x ′ , ˙y ′ , ˙z ′ )=r − �v·�r
c )
�
�E(x,
q
y, z, t) = −
4πε0 r ˙ �v
s2 � �
�r �v r
+ −
c2 r c s3 �
1+ �r · ˙ �v
c
�B(x, y, z, t) = µ 0q �
˙�v × �r �v × �r
+
4π cs2 s3 �
1+ �r · ˙ �v v2
−
c2 c2 ��
c 2
2 − v2
t ′ =t− r
c
��
t ′ =t− r
c
Aus der obigen Formeln erkennt man leicht, daß � E⊥ � B ist und � E, � B und �r ein Rechtssystem
bilden.
In der Näherung v
c ≪ 1folgt mit s ≈ r und � �r = �r
r :
�E =
q
4πε 0
�B = µ 0 q
4π
�
− ˙ �v
rc2 + � �r
r2 �
˙�v × �r �
cr + �v × � �r
r2 �
Wir betrachteten nun die Felder in zwei Zonen:
�
1+ �r · ˙ �v
c2 ��
t ′ =t− r
c
t ′ =t− r
c
• Nahzone: maßgeblich sind Terme mit 1
r2 :
�E
q ��r
N ≈
4πε0 r2 Coulomb, (3.2.7)
�B N ≈ qµ 0 �v ×
4π
� �r
r2 Biot–Savart. (3.2.8)
Wir erhalten also das zu erwartende elektrostatische Feld (Coulomb) des Dipols sowie das
quasistatische Magnetfeld eines Stromelements (Biot–Savart).
• Fern– ( = Wellen–)zone: maßgeblich sind Terme mit 1
r :
�E
q
F =
4πɛ2c2 �
− ˙ �v
r + � �r( � �r · ˙ �
�v)
r
�B F = µ 0 q
4πc
Zunächst sieht man: � E F und � B F ∼ ˙ �v = �a.
� �
˙�v × �r �
r

40 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Nur beschleunigte Ladungen erzeugen elektromagnetische Wellen!
Zur Umformung von � EF betrachten wir die Relation
� �
�a × �b × �c = �b(�a · �c ) − �c (�a · �b) .
Nennt man � �r = �a, � �r = �b und ˙ �v = �c, so gilt mit � �r · � �r =1:
� �
�E F = ��r × ( �r �× �v) ˙
θ
P
E F
Abb. 3.3: Elektrisches und magnetisches
Feld am Ort P.
=
B F = qµ 0
4πc
q
4πɛ0c2 1
r
q
4πɛ0c2 | ˙ �v|
sin θ
r
| ˙ �v|
r
sin θ =
q
4πɛ0c3 | ˙ �v|
sin θ.
r
E(t) = qa⊥ (t′ )
4πε0c2 1
r
B(t) = qa⊥ (t′ )
4πε0c3 1
r
Ist a⊥ konstant, so läuft ein mit 1
r
�E, � B,�r rechtshändig (3.2.9)
abnehmender E– (und
B–) Vektor längs �r mit der Geschwindigkeit c!
Physikalisch bedeutet dies, daß senkrecht zur Bewegung der Ladung der maximale Empfang
(maximales � E– und � B–Feld) sich einstellt. In Richtung der Bewegung der Ladung ist � B und � E
Null (da θ =0 ◦ ). (Strahlungscharakteristikum des Hertzschen Dipols, siehe Kapitel 3.3)
Der Poyntingvektor im Vakuum � S = 1
µ0 ( � E × � B) ist anhand (3.2.9) immer in Richtung des
Fahrstrahls �r radial von der Quelle nach außen gerichtet. In Polarkoordinaten ausgedrückt, hat
�S nur eine r–Komponente. Die Quelle strahlt deswegen Energie in den Raum ab. Für die
Energieflußdichte S ergibt sich
S(r, θ, t) =ε0cE 2 �
q
= ε0c 4πε0c2 �2 2 ′ a (t )
r2 sin 2 θ ∼ sin2 θ
r2 .
S(r, θ, t) gibt die Energie an, die in Richtung des Fahrstrahls �r mit dem Polarwinkel θ pro
Zeit– und Flächeneinheit durch eine im Abstand r zur Flußrichtung orientierte Einheitsfläche
strömt. Die insgesamt in der Zeiteinheit abgestrahlte Energie, also die Strahlungsleistung Prad einer beschleunigten Ladung q, erhält man durch Berechnung des Energieflusses durch eine
geschlossene Hüllkugel um die Ladung.
�
�
Prad (t) = S(r, θ, t) dA = S(r, θ, t)r 2 ��
dΩ= Sr 2 sin θdθdφ
�
q
= 2πε0c 4πε0c2 �2 a 2 (t ′ )
�π
sin 3 θdθ
0

3.3. Dipolstrahlung 41
Prad (t) = 2
3
3.3 Dipolstrahlung
3.3.1 Elektrische Dipolstrahlung
q 2
4πε 0 c 3 a2 (t ′ ) Larmorsche Strahlungsformel (3.2.10)
Eine positive Ladung führe auf der z–Achse um eine negative Ladung mit gleichem Absolutwert
Schwingungen aus. Ein solches System stellt einen linearen Oszillator dar. Elektrisch ist dieses
System ein Dipol, dessen elektrische Eigenschaften durch einen Vektor, das Dipolmoment �p = q�r
charakterisiert wird. In unserem Fall stellt q·z(t ′ )=p(t ′ ) ein sich zeitlich änderndes Dipolmoment
dar mit
Abb. 3.4: Zur Abstrahlung eines
Dipols.
mit t ′ = t − r
c
P
und k = 2π
λ
= ω
c .
Damit:
z(t ′ ) = z0 sin ωt ′ ,
a(t ′ ) = −ω 2 z0 sin ωt ′ .
E(r, θ, t) = qz0ω2 4πε0c2 sin θ
r
= qz 0 ω2
4πε 0 c 2
sin θ
r
B(r, θ, t) = 1
E(r, θ, t)
c
sin ωt ′
sin (ωt − kr)
Damit erhält man für die Strahlung eines harmonisch schwingenden Dipolmoments:
E(r, θ, t) =
B(r, θ, t) =
Die Intensität errechnet sich vermöge
S(r, θ, t) =ε0cE 2 �
p0
=
p
�
0 ω
�2 sin θ
sin (ωt − kr)
4πε0 c r
p
�
0 ω
�2 sin θ
sin (ωt − kr)
4πε0c c r
4πε 0
I = S(r, θ, t) (t)
= cε0 � 2 �ω
c
p2 0 /2
(4πε0 ) 2
Entsprechend die Strahlungsleistung (abgestrahlte Energie/Zeit)
cp 2 0
Prad (t) = 2
3 4πε0 � 4
ε 0 c sin2 θ
r 2 sin 2 (ωt − kr)
.
�
ω
�4 sin
c
2 θ
r2 . (3.3.1)
�
ω
�4 sin
c
2 (ωt − kr)

42 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
(t) 1 cp
Prad =
3
2 �
0 ω
�4 4πε0 c
Was bedeuten diese Ergebnisse für den Hertzschen Dipol?
1. I ∼ 1
r2 2. I ∼ sin 2 θ
Abb. 3.5: Strahlungscharakteristik
des Dipols.
. (3.3.2)
Die graphische Darstellung in dem Polardiagramm der
Abbildung 2 wird Strahlungscharakteristik des Dipols
genannt. Man trägt dabei Pfeile in Richtung vom Ursprung
des Koordinatensystems ab, deren Längen
I(r, θ)
I(θ) =
I(r, π/2) =sin2θ betragen, also proportional zum Energiefluß in dieser Richtung. Die Charakteristik zeigt
anschaulich, daß in Schwingungsrichtung des Dipols keine und senkrecht zum Dipol maximale
Intensität abgestrahlt wird.
3. Die Strahlung ist linear polarisiert (vgl. Abbildung 3.6):
Dipol
�B
�E
Ausbreitungsrichtung
�r
Abb. 3.6: Zur Polarisation der Strahlung.
4. Betrag:
I = I0 · sin2 θ
r2 → I0 = 1
5. Strahlungsfeld: Nah– und Fernfeld
2
cε0p2 0
(4πε0 ) 2
�
ω
�4 c
Nungibtesnocheineandere Möglichkeit, elektrische Dipolstrahlung zu erzeugen:
(3.3.3)
Ein in der xy–Ebene umlaufender (damit zeitlich veränderlicher)
Dipol:
Diesen umlaufenden Dipol kann man in zwei in x– und y–Richtung
mit 90 ◦ planarer Differenz schwingende Dipole zerlegen. So ergibt
sich die Gesamtfeldstärke � E des Dipols laut Vektoraddition aus
der Feldstärke � E 1 des in Richtung der x–Achse schwingenden
Dipols und der Feldstärke � E 2 ⊥ � E 1 ,desiny–Richtung schwingenden
Dipols ( � E 2 = �r × � E 1 )(�r: Ausbreitungsrichtung). Also Abb. 3.7: Ein in der xy–Ebene
umlaufender Dipol.

3.3. Dipolstrahlung 43
�z
θ
θ
�x
�y
′
�E(r, θ, t)
P
�E 1
�r
Abb. 3.8: Zur Berechnung des elektrischen
Feldes in P.
=
p
�
0 ω
�2 sin θ
4πε0 c
′
sin (ωt − kr)
r
� E1 �
+ p �
0 ω
�2 1
4πε0 c r sin
�
ωt − kr + π
�
2
�
��r × � =
�
E1 �
p
�
0 ω
� �
2 cos θ
sin (ωt − kr)
4πε0 c r
� E1 �
+ 1
�
cos (ωt − kr) ��r ×
r � ��
E1 � ,
wobei das Koordinatensystem so gewählt wird, daß �r in der zx–Ebene liegt.
p
I(r, θ) =ε0c 2 0
(4πε0 ) 2
�
ω
�4 c
� 2 cos θ
r2 sin 2 (ωt − kr)+ 2cosθ
r2 sin (ωt − kr) · cos (ωt − kr)
+ 1
r2 cos2 �
(ωt − kr)
Wir erhalten folgende Ergebnise:
1. I ∼ 1
r 2
2. I ∼ 1+cos 2 θ
3. Die Strahlung ist
4. Betrag:
I(r, θ) =ε 0 c
p2 0
(4πε0 ) 2
• in z–Richtung zirkular polarisiert (θ =0◦ ),
• in der x, y–Ebene linear polarisiert ⊥ z (θ =
90◦ ),
• dazwischen (0

44 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
3.3.2 Magnetische Dipolstrahlung
Eine weitere Form der Dipolstrahlung ergibt sich, wenn sich nicht ein elektrisches, sondern ein
magnetisches Dipolmoment (m = I · A) zeitlich ändert, z.B. durch periodische Schwingungen
eines Kreisstroms.
m(t) =m 0 sin ωt = I 0 A sin ωt
mit A als die vom Kreisstrom I umflossene Fläche.
Das führt zu Ausdrücken für � E und � B, die analog denen bei elektrischen Dipolstrahlung sind,
nur daß in den Ausdrücken anstelle von p0 jetzt m0
c steht und im Feld � E– und � B–Vektor ihre
Plätze tauschen:
(t) 1 m
Prad =
3
2 �
0 ω
�4 . (3.3.4)
4πε0c c
Dipol
Abb. 3.11: Strahlungscharakteristik und Polarisation eines magnetischen Dipols.
Analog für den in der xy–Ebene rotierenden magnetischen Dipol.
Ausbreitungsrichtung
�r
3.3.3 Unterschied zwischen elektrischer und magnetischer Dipolstrahlung
In beiden Fällen ist die Strahlungscharakteristik gleich, und in beiden Fällen bilden � E, � B, �r ein
Dreibein. Bei Betrachtung der beiden Strahlungsfelder stellen wir dennoch einen Unterschied
fest.
Abb. 3.12: Strahlungsfeld des elektrischen und des magnetischen Dipols.
Betrachten wir zunächst das Strahlungfeld des elektrischen Dipols. Der � E–Vektor zeigt dort im
rechten und linken Halbraum in die gleiche Richtung. Der � B–Vektor dagegen wechselt beim
Übergang vom rechten in den linken Halbraum das Vorzeichen. Beim Strahlungsfeld des magnetischen
Dipols finden wir unter vertauschten Rollen das gleiche Bild.
Damit kann man beide Strahlungsfelder durch eine Spiegelung am Ursprung (Paritätstransformation)
unterscheiden. Dabei müssen wir folgendes beachten: Spiegelt man einen polaren Vektor

3.3. Dipolstrahlung 45
am Ursprung, so dreht sich bei diesem das Vorzeichen um (vgl. Abbildung 3.13). Spiegelt man
einen axialen Vektor am Ursprung, so erhalten wir den gleichen Vektor wieder (vgl. Abbildung
3.14).
Wir erinnern uns: polare Vektoren sind durch Betrag und Richtung charakterisiert, axiale dagegen
durch Betrag, Richtung und Drehsinn.
Abb. 3.13: Spiegelung des � E–Vektors am Ursprung als
Beispiel einer Spiegelung eines polaren Vektors. Abb. 3.14: Spiegelung des Drehmoments � T = �r × � F
am Ursprung als Beispiel einer Spiegelung eines axialen
Vektors.
Spiegelt man nun unter Beachtung, daß � E ein polarer und � B ein axialer Vektor ist, beim magnetischen
Dipolfeld den rechten Halbraum am Ursprung, so gelangt man zu einem Bild, das mit
dem Bild des linken Halbraums des magnetischen Strahlungsfeldes übereinstimmt (vgl. Abbildung
3.16). Man ordnet deshalb dem Feld der magnetischen Dipolstrahlung die Parität +1zu
(gerade Parität).
Spiegelt man beim elektrischen Dipol den rechten Halbraum am Ursprung, so gelangt man zu
einem Bild, das mit dem Bild des linken Halbraums des elektrischen Strahlungsfeldes nicht übereinstimmt,
sondern bei dem man erst die Vorzeichen sowohl von � E als auch von � B vertauschen
muß, ehe man Übereinstimmung bekommt. Das elektrische Strahlungsfeld erhält deshalb die
Parität −1(ungerade Parität, vgl. Abbildung 3.15).
Abb. 3.15: Zur Veranschaulichung der Paritätstransformation
beim elektrischen Strahlungsfeld.
Abb. 3.16: Zur Veranschaulichung der Paritätstransformation
beim magnetischen Strahlungsfeld.
Merkregel: Auf � B–Vektor (axialer Vektor) achten: Wenn im Strahlungsfeld � B links und rechts
in die gleiche Richtung zeigt: Positive Parität. Wechselt � B beim Vergleich von rechts und links
sein Vorzeichen: negative Parität. (vgl. Abbildung 3.12)
3.3.4 Strahlung beschleunigter Ladungen
Nun wollen wir der Frage nachgehen, ob elektromagnetische Wellen als Folge einer beschleunigten
Ladung beobachtet werden können. Die Antwort ist bereits bekannt: Hertzscher Dipol, HF– ,
Rundfunktechnik. Die schwingende Ladung eines HF-Stromes ist eine beschleunigte Ladung.

46 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Wie steht es aber mit der Strahlung von makroskopisch“ beschleunigten Ladungen?
”
Betrachten wir einen Linearbeschleuniger (Van de Graaff). Es gilt:
F = eE = e U
= ma , l ist die Wegstrecke im Beschleuniger.
l
a = e U
m l � t0 =
�
2l
a =
�
2l2 (e/m) · U
Ist v
c ≪ 1gilt die Larmorsche Strahlungsformel und die abgestrahlte Energie in der Zeit t0 beträgt:
Wrad = Prad · t0 = 2 e
3
2
4πε0c3 · a2 · t0 = 2 e
3
2 � � 3
2 e U
· · · (2l)
4πε0c3 m l
1
2
und wir erhalten für das Verhältnis
W rad
E kin
= 2
3
e 2
4πε 0 c 3 ml
� � 1
2 2eU
≈ 5.3 · 10
m
−20
für e = 1.6 · 10−19 C; mp = 1.67 · 10−27 kg; U = 5MV; l = 2 m. Der Energieverlust der
beschleunigten Ladung durch Abstrahlung ist für diesen Beschleunigertyp also zu vernachlässigen.
Beschleunigt (oder besser: verzögert) man Elektronen auf sehr, sehr kleinen (atomaren)
Abständen, dann wird ein beachtlicher Teil der kinetischen Energie in Strahlung umgewandelt.
Man erhält die Bremsstrahlung. Die empirisch ermittelte Strahlungsausbeute beträgt
etwa 1%, d.h. sie ist etwa 17 Größenordnungen größer als beim Van de Graaff–Beschleuniger.
U (1/2)
m (3/2) liefert einen Faktor von etwa 104 , also muß l einen Faktor von etwa 1013 bringen:
l ≈ 10−13 m=10−11 cm! Die Abbremsung geschieht also innerhalb des Atoms(10−8 cm): (Erster
Hinweis auf Atomkerne!) Dies war jedoch eine sehr grobe Abschätzung, da v
c ≪ 1nicht erfüllt
ist. Wir haben es hierbei mit hochrelativistischen Elektronen zu tun.
�a
v
c ≪ 1
v
c ≈ 1
Bewegungsrichtung
Abb. 3.17: Strahlungscharakteristik für nicht– und
hochrelativistische Elektronen.
Wie sieht dann die Strahlungscharakteristik aus?
Die Antwort ist: Wir erhalten für hochrelativistische
Elektronen eine verbogene Diplokeule.
Für v
c ≪ 1, d.h. im nichtrelativistischen Grenzfall,
strahlt das Teilchen senkrecht zur Bewegungsrich-
tung ab. Für v
3.4 Spektroskopische Ergebnisse
c
≈ 1also im relativistischen Gren-
zfall, nahe der Lichtgeschwindigkeit, strahlt das
Teilchen demnach die elektromagnetische Energie
direkt in Bewegungsrichtung ab.
Zunächst einige spektroskopische Ergebnisse:
Lichtstrahlung läßt sich thermisch oder elektrisch anregen: Gase, Dämpfe und Festkörper emittieren
und absorbieren Licht. Die Form der Spektren hängt von den Anregungsbedingungen“
”
ab (Druck, Temperatur, Stromstärke u.ä.).

3.4. Spektroskopische Ergebnisse 47
1. Emissionsspektren
(a) Atomspektren sind Linienspektren (Gasentladung, Lichtbogen, Metalldämpfe, Edelgase).
(b) Ionenspektren (Funken).
(c) Molekülspektren sind Bandenspektren. Sie bestehen aus Gruppen sehr vieler eng
beieinanderliegender Spektrallinien.
(d) Festkörper und Gase unter hohem Druck senden ein kontinuierliches Spektrum aus.
2. Absorptionsspektren: z.B. bei Atomen: Sie sind gekennzeichnet durch linienhafte Absorption,
die an den gleichen Stellen wie bei der Emission auftreten: Frauenhofersche Linien,
also Linien, die im kontinuierlichen Spektrum wegen Absorption fehlen. (Kirchhoff 1859)
3. Spektralbereiche: Sichtbares Licht, UV-Spektroskopie (Quarz-Optik), Vakuum-UV (λ <
2000 A Luftabsorption), IR-Spektroskopie (Ionenkristall–Linsen), Röntgenspektroskopie.
4. Spektralapparate
(a) Prismen–Spektrograph
Abb. 3.18: Frauenhofersche Anordnung.
Bei hinreichend engem Spalt kann eine Beugungsfigur
durch die Prismenfassung entstehen.
Das erste Minimum ergibt sich bei
sin γ = λ
B .
Dadurch wird das Auflösungsvermögen des
Prismas begrenzt. Die spektrale Auflösungsgrenze
ist dann erreicht, wenn die benachbarte
Wellenlänge λ + dλ gerade in dieses Minimum
fällt.
Abbildung des Eingangsspalts über das
Prisma auf den Schirm. Aufgrund der
Dispersion n = n(λ) (Abhängigkeit
des Brechungsindex von der Wellenlänge)
wird monochromatisches Licht unterschiedlicher
Wellenlänge unterschiedlich
gebrochen.
1. Min.: sin γ = λ
B
Abb. 3.19: Beugungsfigur beim Spalt.

48 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Abb. 3.20: Zum Auflösungsvermögen eines Prismenspektrographen.
Der optischen Weg von EA = s ist gleich
dem optischen Weg CD2 = s2 , da
die Strecke EC auf der gleichen Wellenfront
liegt, wie die Strecke AD2 zu einem
späteren Zeitpunkt. Weil die Strecke EA
innerhalb des Prismas verläuft, gilt für die
optische Weglänge EA · n2 = s · n2 = s2 .
Ebenso erhalten wir für s1 : s1 = s·n1 . Die
Differenz der optischen Weglängen D1D2 ist in guter Näherung gleich s1 − s2 =
s(n1 − n2 ) = s · dn mit n1 = n2 + dn.
Aus Abbildung 3.20 erhalten wir sin γ =
D1D2
= B vgl. Abb. 3.18).
AD2
Durch die Definition des Auflösungsvermögen hatten wir erhalten sin γ = λ
B . Durch
Gleichsetzen und Division durch dλ erhalten wir das spektrale Auflösungsvermögen
λ
= sdn
dλ dλ .
= s·dn
B (AD 2
s ist die Basislänge des verwendeten Prismas. Das spektrale Auflösungsvermögen
eines Prismas ist also gleich dem Produkt aus seiner Basislänge und der Dispersion
des Prismenmaterials. Es ist unabhängig vom brechenden Winkel.
Um zum Beispiel die Na–D–Linie gerade noch getrennt wahrzunehmen, wollen wir
die Basislänge des zu verwendenden Prismas berechnen: Na–D–Linien: λ1 = 5890 A,
λ2 = 5896 A. =⇒ λ
dλ =103 . Die Größe dn
dλ beträgt für Flintglas ca. 1000 cm−1 .Damit
ergibt sich die Basislänge:
� s =
103 103 =1cm
cm−1 (b) Interferenzgitter: Im Strahlengang von Abbildung 3.18 wird das Prisma durch ein
Gitter ersetzt.
Wie schon beim Prismenspektrograph
können zwei Wellenlängen (λ, λ + dλ)
gerade noch getrennt wahrgenommen
werden, wenn das Hauptmaximum der
einen Wellenlänge mit dem ersten
Minimum der Anderen zusammenfällt.
Dann gilt
g sin α1 = mλ g sin α3 =(m +1)λ
g sin α2 = mλ + λ
N
g sin α4 =(m +1)λ − λ
N
Abb. 3.21: Beugungsfigur am Gitter.
m(λ + dλ) =mλ + λ
N
=⇒
λ
= N · m
dλ
Das ist das Auflösungsvermögen beim
Gitter.

3.4. Spektroskopische Ergebnisse 49
Bestrahlt man ein Gitter mit einem Bündel weißem Licht, so entsteht beispielsweise
das Maximum erster Ordnung für rotes Licht unter einem größerem Winkel als für
blaues Licht.
Ein Prisma macht nur ein Spektrum, ein Gitter
macht viele Spektren sich überlappender Ordnungen!
Man definiert den nutzbarer Wellenlängenbereich
∆λ als den Bereich, in dem zu jeder Richtung
(sin α) nur eine Wellenlänge gehört. Dies ist
gerade der Bereich, bei dem die letzte Linie“ der
”
Ordnung m gerade in das letzte Minimum vor der
Abb. 3.22: Überlapp zweier Spektren. ” erster Linie“ der Ordnung m +1fällt!
Dann gilt:
(c) Interferometer
Abb. 3.23: Strahlengang im Interferometer.
m(λ +∆λ) =(m +1)λ − λ
N
∆λ = λ
m
mit λ
N
≪ (m +1)λ
Das Auflösungsvermögen und damit die Meßgenauigkeit
läßt sich wesentlich erhöhen, wenn
das Ausgangsstrahlenbündel in viele Teilbündel
zerlegt wird, die einen von Bündel zu
Bündel zunehmenden festen Gangunterschied
aufweisen, bevor sie wieder vereinigt werden.
Eines der bekanntesten Vielstrahlinterferrometer ist das Fabry–Perot–Interferrometer.
Es besteht aus zwei hochreflektierenden Spiegeln, von denen der Eine halbdurchlässig
ist. Die beiden Spiegel stehen variabel im Abstand d zueinander und bilden also einen
offenen optischen Resonator aus.
Die auf das Interferrometer unter dem Winkel ϑ treffende Strahlung wird durch die
Vielfachreflexion zwischen den Spiegeln in viele Teilbündel aufgespalten. Der von
Bündel zu Bündel fortschreidende Gangunterschied δ der durchgehenden Strahlung
beträgt
δ =2nd cos ϑ,
wobei n der Brechungsindex des Mediums zwischen den Spiegeln ist. Mit einer
Linse werden die austretenden parallelen Strahlenbündel in der Brennebene vereinigt.
Es entstehen sehr scharfe Interferenzmaxima, die man aufgrund der Symmetrie der
Anordnung als helle konzentrische Kreise auf dunklem Untergrung betrachtet (Kurven
gleicher Neigung). Die Interferenzen sind um so schmäler, ja häufiger das Bündel
zwischen den Spiegeln reflektiert wird und miteinander interferrierende Teilbündel
erzeugt werden. Die Auflösung mit diesem Vielstrahlinterferometer ist sehr hoch. Die
Ordnung der Interferrenzen beträgt etwa m ≈ 10 4 − 10 5 , wohingegen der nutzbare
Wellenlängenbereich ∆λ ≈ 10 −4 λ sehr klein ist, was eine Vorzerlegung des Lichts
notwendig macht.
Mit diesem Gerät können also feine Linsenspektren und Linienbreiten vermessen werden.

50 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Was hat man nun beobachtet?
Für das sichtbare H–Spektrum fand Balmer 1885 empirisch die Serienformel für λ:
Seriengrenze: λ = C = 3645.6A.
Hα : λ = 6562.7A = C 32
32 9
=
− 22 5 C
Hβ : λ = 4861.3A = C 42
42 4
=
− 22 3 C
Hγ : λ = 4340.5A = C 52
52 25
=
− 22 21 C
Hδ : λ = 4101.7A = C 62
62 9
=
− 22 8 C
Rydberg gab 1890 der Balmerformel die künftige Gestalt:
ν := 1 ν
=
λ c
mit
�
4 1 1
= −
C n2 n ′2
�
n ′ =3, 4,... n=2; ν Wellenzahl,
4
C = R H = 109677.6cm−1 : Rydberg–Konstante für Wasserstoff.
Die Seriengrenze für n ′ →∞ergibt sich zu ν ∞ = 1
4 R.

3.4. Spektroskopische Ergebnisse 51
Abb. 3.24: Spektralserien des Wasserstoffs.
Abb. 3.25: Termschma für die Linien des Wasserstoffspektrums.
Die obigen Schaubilder zeigen die Linien des Wasserstoffspektrums, die in den weiter unten
genannten Serien zusammengefaßt werden. Das Termschema des Wasserstoffs wird im Ramen
der Bohrschen Theorie noch ausführlicher behandelt werden und soll an dieser Stelle nur erwähnt
werden. Neben der schon erwähnten Balmerserie ergeben sich noch die von:
�
1 1
Th. Lyman (1906) : ν = RH −
12 n ′2
�
�
1 1
F. Paschen (1908) : ν = RH −
32 n ′2
�
�
1 1
Brackett (1922) : ν = RH −
42 n ′2
�
�
1 1
Pfund (1924) : ν = RH −
52 n ′2
�
n =1 n ′ =2, 3,... UV,
n =3 n ′ =4, 5,... IR,
n =4 n ′ =5, 6,... IR,
n =5 n ′ =6, 7,... IR.
D.h. die Wellenzahlen ν (gemessen in cm −1 = Kayser) sind Differenzen von Termen:
T n = R H
n2 und Tn ′ = RH .
n ′2

52 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
1908: Ritzsches Kombinationsprinzip: Die Differenz der Wellenzahlen (Frequenzen) zweier Linien
einer Serie ist gleich der Wellenzahl (Frequenz) einer Linie, die im gleichen Atom in einer anderen
Serie tatsächlich auftritt.
(T n1 − T n ′ 1
) − (T − T n1 n ′′ )=(T − T
1
n2 n ′ ) .
2
Es sei noch darauf hingewiesen, daß die Entdeckung der Lyman– und Pfund–Serie mit enormen
Meßschwierigkeiten verbunden war.
Wasserstoff ist das einfachste (Einelektronen) Atom. Chemisch identisch ist der schwere Wasserstoff
(Deuterium), der von Urey im H–Spektrum entdeckt wurde, da wegen RD �= RH die
Linien im Spektrum etwas verschoben sind. Es gilt jedoch die gleiche Serienformel.
Geht man vom Ein– zum Zweielektronensystem über (Helium), so findet man gleich ein sehr
kompliziertes Spektrum. Es ist nur erklärbar durch zwei getrennte Termschemata. Man glaubte
zunächst an zwei Sorten Helium: Ortho– und Parahelium. Jedoch in Funken (und bei astronomischen
Beobachtungen) fand man ein He + –Spektrum und Serien (z.B. Fowler–Serie, Pickering–
Serie u.a.), die ähnlich den Wasserstoffserien sind. Ebenso bei Li ++ –Spektren. Diese Ergebnisse
bestätigten die Bohrsche Vorstellung, daß die Spektren aller Atome bzw. Ionen mit nur einem
Elektron gleich sein müßten, bis auf den Faktor Z2 und der Rydbergzahl. Also sollte das Spektrum
des H–Atoms zugleich die Spektren von He + ,Li ++ ,Be +++ oder allgemein aller Ionen, die
nur ein Elektron besitzen, erklären. Also gilt
ν = R · Z 2
�
1 1
−
n2 n ′2
�
für wasserstoffähnliche Spektren.
mit RH �= R + He
�= R ++ Li
�= usw.
Diese Aussage wurde zusammengefaßt im Spektralen Verschiebungssatz wasserstoffähnlicher
Spektren von Kossel und Sommerfeld 1916:
Das Spektrum eines beliebigen Atoms ist sehr ähnlich dem Spektrum des einfach
positiv geladenen Atoms, das im Periodensystem folgt.
Chemisch verwandt mit dem Wasserstoff sind Alkali–Atome (ein ” Leuchtelektron“). Die Spektren
sind aber deutlich komplizierter: Es treten Haupt– und Nebenserien auf. Es gilt:
ν = RNa · (Z − σ) 2
�
1
−
(n + s) 2
1
(n ′ + p) 2
�
n ′ = n +1,n+2,...
Messungen mit besserer Auflösung zeigen, daß Einelektronenatome Dublett–Struktur, Paraheliumatome
Singulett–, Orthoheliumatome Triplett– Struktur besitzen. Dies deutet auf eine Feinstruktur
der Spektrallinien hin (vgl. Kapitel 6.5).
Bringt man eine Lichtquelle in ein elektrisches oder magnetisches Feld, so erfolgt eine Aufspaltung
der Spektrallinien. Im elektrischen Feld nennt man diese Beobachtung Stark–Effekt und
im magnetsichen Feld spricht man vom Zeeman–Effekt, den wir im folgenden noch abhandeln
werden.

3.5. Thomsonsches Atommodell, Atome als Primärstrahler 53
3.5 Thomsonsches Atommodell, Atome als Primärstrahler
3.5.1 Das Thomsonsche Atommodell
Man stellte sich das Atom als statisches System vor, in dem die Elektronen in einer Wolke von
positiver Elektrizität schwimmen. Der Radius dieser Kugel sollte etwa der des Gesamtatoms
sein. Thomson selber stellte sich das Atom als einen positiv geladenen Pudding vor, in dem die
Elektronen wie Rosinen eingebettet waren und Schwingungen ausführen durften.
Es gilt folgende Bewegungsgleichung für die schwingenden Elektronen:
Abb. 3.26: Zum Thomsonschen Atommodell.
F = 1
�
4πε0 Z · e
4π
3 r3
4π
3 R3
� �
· − e
r2 �
= − Z · e2r = m¨r
4πε0R3 Das Volumenverhältnis 4/3πr3
4/3πR3 gibt dabei den Bruchteil der Coulombkraft des Gesamtatoms an,
die auf das Elektron wirkt. (Da F bei einer homogen geladenen Vollkugel linear mit dem Abstand
vom Mittelpunkt anwächst.)
Die Lösung obiger Differentialgleichung ist die Harmonische Schwingung mit
ω 0 =
�
Ze 2
4πε 0 R 3 m
Mit e =1.6 · 10−19 C, m =0.91 · 10−30 kg, 4πε0 = 1
9 · 10−9 C/m 2
V/m
16 1
ω0 =1.6 · 10
s ⇐⇒ ν 1
0 =2.5 · 1015
s
� λ0 = c
ν0 =1.2 · 10 −7 m=1200A
, Z = 1(H) ergibt sich
Dies würde in etwa der stärksten Wasserstofflinie: Lα :
λ = 1215 A entsprechen.
Abb. 3.27: Serienspektrum mit
Konvergenzgrenze.
So gut, so schön; aber: Serienspektren mit Konvergenzgrenze sind nicht erklärbar!
Andererseits konnte das Thomson–Modell auch das natürliche Licht als Folge von
Dipolschwingungen erklären. Bei Schwingungen der eingebetteten Elektronen vieler ungeordneter
Atome ergibt sich eine inkohärente Überlagerung. (Keine Phasenbeziehung!)
Aufgrund der in Kapitel 3.3 gemachten Überlegungen erhalten wir für die Intensität der
Strahlung:
� � 2 2
I = I0 sin θ +1+cosθ =2I0 , unabhängig von θ.
D.h. isotrop, außerdem nicht polarisiert, ganz entsprechend der Beobachtung.
Wie groß ist das Verhältnis von elektrischer zu magnetischer Dipolstrahlung?

54 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Ein zeitlich veränderliches Dipolmoment entspricht einem zeitlich veränderlichem Strom I =
I0 · cos ωt, also
˙p = dq
dt l = Il = I0l cos ωt
=⇒ p = 1
ω I0l sin ωt � p 1
0 =
ω I0l. Damit ergibt sich das Verhältnis der Strahlungsleistungen (vgl. (3.3.2) und (3.3.4)) zu
Prad (mag. D.) 1
=
Prad (elekt. D.) c2 m2 0
p2 =
0
1
c2 (I 0 A) 2
1
ω 2 I 2 0
l2 ≈ ω2
c 2 l2 =
� �2 2πl
λ
Identifiziert man l mit dem Atomdurchmesser (≈ 1A) und λ mit der Lichtwellenlänge λ
2π =
6000
2π A ≈ 103 A, dann gilt:
Prad (mag. D.)
≈ 10−6
Prad (elekt. D.)
d.h. die magnetische Dipolstrahlung kann gegenüber der elektrischen Dipolstrahlung vernachlässigt
werden!
Ein großer Erfolg des Thomson–Modells war die Deutung des (normalen)Zeeman–Effekts (1896)
durch H.A. Lorentz.
3.5.2 Der Zeeman–Effekt
Bringt man eine Lichtquelle (z.B. eine Cd–Lampe) in ein schwaches Magnetfeld � B, so beobachtet
man statt der einen Spektrallinie (z.B. 6440 A–Linie von Cd) folgendes:
1. Bei Beobachtung senkrecht zu � B findet man 3 Linien, alle linear polarisiert, und zwar
(a) die unverschobene Linie, die parallel zu � B polarisiert ist (π–Linie),
(b) zwei um ω = ± e·B
2m verschobene Linien, die senkrecht zu � B polarisiert sind (σ–Linien).
2. Bei Beobachtung parallel zu � B findet man zwei Linien, beide sind zirkular polarisiert (rechts
und links) und beide sind um ω = ± e·B
2m in der Frequenz verschoben. Die unverschobene
Linie beobachtet man nicht.
B N B
S
Spekt. App.
Transvers. B
Spekt. App.
Longit. B
ν 0
σ π σ
B =0
Abb. 3.28: Aufbau und Beobachtung beim klassischen Zeeman–Effekt.
⊥ � B
Transversal
�
Longitudinal
� B

3.6. Wechselwirkung von Licht mit Materie, Atome als Sekundärstrahler 55
Der Effekt ist klein, man braucht zu seiner Untersuchung Spektralapparate sehr hoher Auflösung.
Erklärung: Man kann einen beliebig im Raum schwingenden Atomdipol in eine lineare
Schwingung in z–Richtung und in eine lineare Schwingung in der xy–Ebene zerlegen. Schaltet
man jetzt das Magnetfeld in z–Richtung ein, so erfährt das senkrecht zu � B schwingende Elektron
durch die Lorentzkraft e�v × � B eine Drehung seiner Bewegung. In einem um � B mitrotierenden
Koordinatensystem wird die Lorentzkraft von der Corioliskraft kompensiert:
evB =2mvω L � ω L = eB
2m Larmorfrequenz.
In diesem rotierenden System macht das Elektron dieselbe Bewegung (Frequenz) wie im ruhendem
System ohne Magnetfeld. Die lineare Schwingung läßt sich in zwei Kreisschwingungen
gleicher Frequenz (halbe Amplitude) zerlegen. Ein ruhender Beobachter sieht dann Umläufe
mit ω = ω0 ± ωL . (Die Zentrifugalkraft kann vernachlässigt werden, da mω2 Lr ≪ 2mvωL d.h.
ωL ≪ 2 v
r =2ω0 .)
Parallel zu � B beobachtet man (Longitudinal):
• die beiden (verschobenen) zirkular polarisierten Linien.
Senkrecht zu � B beobachtet man (Transversal):
• Eine linear polarisierte unverschobene Linie, die parallel zu � B polarisiert ist (π–Licht) und
die parallel zu � B nicht ausgestrahlt wird.
• Zwei senkrecht zu � B polarisierte Linien (σ–Licht), frequenzverschoben, da man ” seitlich“
auf die Kreisströme blickt.
Aus dem normalem Zeeman–Effekt kann e/m bestimmt werden! Die Erklärung des Effekts mit
Hilfe von schwingenden Elektronen war somit eine Bestätigung für das Thomson–Modell.
3.6 Wechselwirkung von Licht mit Materie, Atome als
Sekundärstrahler
3.6.1 Beugung, Brechung, Dispersion, Absorption, Resonanzfluoreszenz,
Lebensdauer
Werden die Elektronen der Atome (z.B. thermisch, in Gasentladungen) angeregt, dann erfolgt
aufgrund der Dipolschwingungen eine Emission von elektromagnetischen Wellen, die
Primärstrahlung. Erfolgt die Anregung durch diese elektromagnetischen Wellen, so führen die
Elektronen der Atome erzwungene Schwingungen aus. Man erhält die Sekundärstrahlung. Die
Strahlung ist kohärent zwischen Anregung und Ausstrahlung, d.h. die Phasenbeziehung zwischen
Primär– und Sekundärstrahlung ist zwischen Anregung und Ausstrahlung fest.
Welche Phänomene können mit diesem Modell erklärt werden?
Gegeben sei ein Einkristall, d.h. geordnete Sekundärquellen mit d ≈ 1A. Als Primärstrahlung
werde Licht mit λ ≈ 1A, d.h. Röntgenstrahlung verwendet.

56 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Die Sekundärstrahlung interferiert wenn d sin α = z · λ, wennalsodieBragg–Bedingung erfüllt
ist. Wir erhalten viele Ordnungen: Röntgenbeugung.
In der 0. Ordnung tritt auch Interferenz zwischen der Primär– und Sekundärstrahlung auf.
Was ergibt sich nun für sichtbares Licht (λ ≈ 5000 A)? d sin α = zλ ist nur erfüllbar für z =0,
d.h. nur für die 0. Beugungsordnung (durchgehender Strahl). Da aber im sichtbaren Bereich
die atomaren Eigenfrequenzen der schwingenden Atome liegen, beobachtet man Resonanz
bei der erzwungenen Schwingung. Wie wir aus der klassischen Mechanik wissen, beträgt die
Phasenverschiebung zwischen erzwungener Schwingung und Erregerschwingung in der Resonanz
90◦ . Da der durchgehende Strahl eine Überlagerung einer Primärwelle mit der Summe aller
Sekundärwellen ist, ergibt sich eine Phasenverzögerung der aufsummierten Welle gegenüber der
ursprünglicher Primärwelle. Sie wirkt sich als Herabsetzung der effektiven Phasengeschwindigkeit
aus. Dieses Phasenverhalten, das abhängig von der Frequenz ω ist, ist Ursache für die Dispersion.
Die Lichtgeschwindigkeit wird kleiner:
v = c
n
Dies ist zugleich die Ursache für die Lichtbrechung. Die Abhängigkeit n = n(ω) nenntman
Dispersion. Im Bereich hoher Frequenzen (Röntgengebiet ω ≫ ω0 ) gilt n ≈ 1;
d.h. Röntgenbeugungsordnungen zeigen keine Brechung!
Allgemein gilt für die DGL einer erzwungenen Schwingung mit Dämpfung:
m¨x + γ ˙x + Dx = eE 0 e −iωt′
� x(t ′ )= eE 0
m
e −iωt′
ω 2 0 − ω2 − iγ ω
m
mit F (t ′ )=e · E(t ′ )=e · E 0 e −iωt′
mit ω 0 =
Damit wird das elektrische Dipolmoment des Atoms:
p(t ′ )=e · x(t ′ )= e2 E 0
m
Aus der Beziehung für die elektrische Polarisation
� D
m Eigenfrequenz.
e−iωt′ ω2 0 − ω2 − iγ ω .
m
P (t ′ )=N · p(t ′ )=ε 0 (ε − 1)E(t ′ )
N Teilchenzahl/cm 3 , erhalten wir für den Brechungsindex:
n = √ ε =
�
1+
Ne 2
ε 0 m(ω 2 0 − ω2 − iγ ω
m ) = � 1+χ el
Der Brechungsindex ist also komplex!
�
�
�
n = �1+ Ne2 (ω2 0 − ω2 + iγ ω
m )
�
ε0m (ω2 0 − ω2 ) 2 + � γω
m
mit χ el : der elektrischen Suszeptibilität.
� 2 � = n ′ + in ′′
(3.6.1)

3.6. Wechselwirkung von Licht mit Materie, Atome als Sekundärstrahler 57
Die Feldstärke am Ort z ergibt sich zu:
�E = � E o e −iωt′
= � z −iω(t− Eoe v )
�E = � zn′
Eoe −iω( c − t) n′′ −ω e c z
Damit ist dann die Intensität am Ort z:
⎫
⎪⎬
⎪⎭
mit v = c
n und t′ = t − z
v
(zeitliche Retardierung siehe Kapitel∗ 3.2).
I ∼| � E| 2 2ωn′′
∼ e
− c z = e −αz
α = 2ωn′′
c
α = Absorptionskoeffizient
Der Realteil n ′ gibt uns den normalen“ Brechungsindex v =
” c
n ′ an und der Imaginärteil n ′′ ist
verknüpft mit einem Absorptionskoeffizienten α. Dies läßt sich im folgenden zeigen:
Ist in n = √ 1+A die Größe A ≪ 1(z.B. Teilchendichte klein) kann man die Taylorentwicklung
der Wurzel nach dem 2. Glied abbrechen. In der Nähe der Resonanzstelle (ω ≈ ω0 )ist(ω2 0 −ω2 )=
(ω0 − ω)(ω0 + ω) ≈−2ω0 (ω − ω0 ) und ωγ ω0γ γ
m ≈ m ,sowie
m =Γω .
Dann erhält man für kleines N aus einer Taylorentwicklung von n nach N
n ≈ 1+ 1 ···
2 ··· = n′ + in ′′ .
n ′ = 1 + Ne2 ω
2ε0m 2 0 − ω2
(ω2 0 − ω2 ) 2 + � � ωγ 2
m
−→ 1 − Ne2 ω − ω0 4ε0ω0m (ω − ω0 ) 2 + � �2 Γω
2
(3.6.2)
α = 2ωn′′
c =
Ne2ω2γ cε0m2 �
(ω2 0 − ω2 ) 2 + � � �
ωγ 2
m
−→ Ne2 Γω 4ε0cm (ω − ω0 ) 2 + � �2 Γω
2
(3.6.3)
Tragen wir (3.6.2) und (3.6.3) in Abhängigkeit von ω auf, so erhalten wir Abbildung 3.29.
Die Breite der Resonanz Γω entspricht gleichzeitig dem Gebiet der anomalen Dispersion
Abb. 3.29: Resonanzkurven (Lorentzkurven)für α und Dispersionskurve für den Brechungsindex.
Befinden wir uns im Resonanzfall, so ist die Erregerfrequenz (Absorptionsfrequenz) gleich der
Eigenfrequenz des Atoms (Emissionsfrequenz). Absorbiert also eine Substanz die gleiche Frequenz,
die sie emittiert, so nennt man diese Erscheinung Resonanzfluoreszenz.
.

58 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Bringt man die Resonatoren aus dem Lichtfeld heraus (allgemein aus dem Anregungsbereich
heraus), so entsteht eine freie gedämpfte Schwingung:
Die Intensität ist dann
m¨x + γ ˙x + Dx =0 mitLösung: x(t ′ γ
−
)=x0e 2m t′
e iω0t′
.
I(t ′ ) ∼ x 2 (t ′ γ
−
)=I0e m t′
e iω0t′
t′
−
= I0e τ e iω0t′
,
wobei τ = m
γ
= 1
Γ ω
die mittlere Lebensdauer darstellt.
Die Fouriertransformation (Fourierintegral) des Zeitverhaltens liefert ein Frequenzspektrum. Als
Ergebnis erhalten wir eine Emissionslinie endlicher Breite:
Γ ω = γ
m .
Die Emissionslinie hat die gleiche Breite wie die Absorptionslinie. Die Breite, verknüpft mit der
mittlere Lebensdauer, ergibt die klassische Unschärferelation:
τΓ ω =1 .
Wir setzten die Reibungskraft proportional zu ˙x (R = γ ˙x) an, da die Ursache für die ” Reibung“
die Strahlungsdämpfung ist. Die Arbeit der Dämpfungskraft ergibt sich zu
Die mittlere Leistung ist dann
Mit
P (t′ ) 1
=
t ′
t ′
�
0
dW = Rdx = R ˙xdt ′ .
(t
der Strahlungsleistung Prad ′ ) 2
=
3
1
t ′
t ′
�
0
¨x 2 dt ′ = 1
t ′
t ′
�
0
¨x¨xdt ′ =
R ˙xdt ′ , die ja gleich (3.6.4)
e 2
4πε 0 c 3
1
t ′
t ′
�
˙x¨x| t ′ − ˙x¨x| 0
t ′
� �� �
→ 0
da ˙x, ¨x endl. variiert; t ′ groß
und durch Gleichsetzten von (3.6.4) und (3.6.5) ergibt sich somit
1
t ′
t ′
�
0
R ˙xdt ′ = − 2
3
e 2
4πε 0 c 3
1
t ′
t ′
�
o
˙x ...
xdt ′ � R = − 2
3
0
¨x 2 dt ′
− 1
t ′
e 2
4πε 0 c 3
t ′
�
0
sein soll. (3.6.5)
˙x · ...
xdt ′
e 2 ω 2
... 2
x =
3 4πε0c3 ˙x,
� �� �
γ

3.6. Wechselwirkung von Licht mit Materie, Atome als Sekundärstrahler 59
da mit ˙x = ˙x0 sin ωt ′ � ...
x = −ω2 ˙x 0 sin ωt ′ = −ω2 ˙x gilt. Wir erhlaten dann für die mittlere
Lebensdauer:
τ = m
γ
= 1
Γ ω
= 3 4πε0c 2
3m e2ω2 Mit den Werten für die Konstanten und für ω (λ = 5000 A) ergibt sich eine Abklingzeit an
Kathodenstrahlen mit:
τ =10 −8 s .
3.6.2 Doppelbrechung, optische Aktivität, Faraday–Effekt
Mit der Vorstellung der erzwungenen schwingenden Atomdipole lassen sich die Phänomene
der Reflexion und Brechung (Fresnelsche Formeln), derTotalreflexion (endliches Eindringen in
” dünneres“ Medium) und des klassischen Tunneleffekts zwangslos erklären, ebenso die Polarisation
des reflektierten Lichts unter dem Brewster–Winkel.
Weitere Polarisationseffekte:
• Die Doppelbrechung erklärt sich aus räumlicher Anisotropie der Rückstellkräfte. Dies gilt
für Kristalle, die in einer Richtung eine höhere Symmetrie aufweisen als in den Anderen.
Diese ausgezeichnete Richtung nennt man optische Achse. (Bsp.: Ist ein Molekül rotationssymmetrisch,
so ist die Rotationsachse die optische Achse). Durch die unterschiedlichen
Rückstellkräfte ergeben sich für verschiedene Schwingungsrichtungen unterschiedliche Resonanzstellen,
damit unterschiedliche Brechungsindizes, d.h. unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten.
Betrachten wir konkret eine Lichtquelle, repräsentiert durch in alle drei Raumrichtungen
schwingende Atomdipole, in einem optischen Kristall mit der z–Achse als optische Achse.
Stellen wir uns die schwingenden Atomdipole als Ladungen vor, die durch Federn gekoppelt
sind, so bedeutet der oben genannte optisch anisotrope Kristall, daß die Federn in x– und y–
Richtung gleich stark sein sollen, jedoch die Feder in z–Richtung eine andere Federkonstante
besitzen soll.
Abb. 3.30: Zur Ausbreitung der elektromagnetischen
Welle.
.
Aufgrund der unterschiedlichen Federkonstanteninderxy–Ebene
bzw. in der xz– und yz–
Ebene schwingt der Dipol, der entlang der optischen
Achse abstrahlt, mit einer anderen Frequenz
als diejenigen Dipole, die in der xz– bzw.
yz–Ebene schwingen.
Zur Ausbreitung der elektromagnetischen Welle
in z–Richtung tragen nur die x– und y–
Federn bei, die ja beide die gleiche Federkonstante
und somit gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeiten
besitzen.
In allen anderen Richtungen der xz–Ebene tragen alle drei Federn bei.
Wir bezeichnen den Strahl, dessen � E–Vektor senkrecht zu der Ebene schwingt, die aus der
Ausbreitungsrichtung �k und der optischen Achse ausgespannt wird, als ordentlicher Strahl
(in Abbildung 3.30 durch einen Punkt (•) gekennzeichnet); den Strahl, dessen � E–Vektor

60 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
parallel zu der Ebene schwingt als außerordentlicher Strahl (in der Abbildung durch einen
Strich (−) gekennzeichnet).
Die z–Richtung heißt optische Achse. Auf ihr liegen die beiden Berührungspunkte der
ordentlichen Lichtkugel und des ausserordentlichen Lichtellipsoids.
Trifft nun Licht von außen senkrecht auf die
Oberfläche eines optisch anisotropen Kristalls,
so erhalten wir folgende Fälle:
– Die optische Achse liegt parallel zur Einfallsrichtung:
Keine Aufspaltung in zwei
Abb. 3.31: Optische Achse parallel zur Einfallsrich-
Strahlen.
tung.
– Die Optische Achse liegt senkrecht zur Einfallsrichtung: Zwei Strahlen laufen mit unterschiedlichen
Phasengeschwindigkeiten hintereinander her, die senkrecht zueinander
polarisiert sind.
Als Spezialfall erhalten wir hier das λ/4–Plättchen, bei dem die Phasendifferenz nach
Austritt aus dem doppelbrechenden Material genau π/2beträgt. Wir erhalten zirkular
polarisiertes Licht.
Abb. 3.32: Optische Achse senkrecht zur Einfallsrichtung.
Abb. 3.33: Doppelbrechung bei einem λ/4–
Plättchen.
– Bei schrägem Auffall auf einen Kistall mit
schräg liegender optischer Achse: Zwei
Strahlen, die senkrecht zueinander polarisiert
sind und unterschiedlich gebrochen
werden.
Abb. 3.34: Optische Achse schräg zur Einfallsrichtung.
• Optische Aktivität: Darunter versteht man die Drehung der Schwingungsebene des linear
polarisierten Lichtes in optisch aktiven Kristallen (Quarz) oder optisch aktiven Lösungen
(Zuckerlösung). Die Erklärung dafür sind die verschiedenen Brechungsindizes und aufgrund
der Dispersion die unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten für rechts– und
linkszirkular polarisiertes Licht. Es sei z.B. n +

3.6. Wechselwirkung von Licht mit Materie, Atome als Sekundärstrahler 61
Abb. 3.35: Optische Aktivität. Drehung des � E–Vektors um den Winkel α.
Zunächst:
E = E z = e i(kx−ωt)
Zerlegung in zwei zirkular polarisierte Wellen:
E + ⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
mit
E − ⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
k + = 2π
λ + = n+ · ω
c
k − = 2π
λ− = n− · ω
c
Nach Durchlaufen der Länge l gilt:
E z = E + z (l)+E− z (l) = E 0
2
E + z = E 0
2 ei(k+ x−ωt)
E + y = E 0
2 ei(k+ x−ωt+ π
2 )
E − z = E 0
2 ei(k− x−ωt)
E − y = E 0
2 ei(k− x−ωt+ π
2 )
; n + = n − ∆n; k + = n ω
c
− ∆nω
c
; n − = n +∆n; k − = n ω
c +∆nω
c .
�
ω
ei(n c l−ωt)
= E 0 e i(...) cos
entsprechend E y = E 0 e i(...) sin
ω
e
−i(∆n c l) ω
+ e
i(∆n c l)�
�
∆n · ω
c l
�
,
�
∆n · ω
c l
�
.

62 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Die resultierende Welle, die wiederum linear polarisiert ist, erhält man durch Vektoraddition
von E + und E − . Hierzu drehen wir die schneller laufende Welle E + auf ihrer
Schraubenlinie um die Strecke zurück, die sie aufgrund ihrer größeren Ausbreitungsgeschwindigkeit
gewonnen hat. Die resultierende Welle ist nun aber um den Winkel α
gegenüber der Polarisationsebene beim Eintritt der Welle in die optische aktive Substanz
gedreht.
Ey =tanα =tan(∆n
Ez ω
l) α =∆nωl
Rotationsdispersion ,
c c
wobei ∆n proportional zur Konzentration der Lösungen ist.
Die Optische Aktivität kann man auch künstlich erzeugen, wenn man eine normale Substanz
durchstrahlt und parallel dazu ein � B–Feld einschaltet: Faraday–Effekt. Das � B–Feld
bewirkt auf die senkrecht dazu schwingende Dipole eine Larmorpräzession (Zerlegung in
zwei rotierende Elektronen → ein ruhender Beobachter sieht die Frequenzen verschoben,
d.h. aus einer Resonanzstelle wurden zwei!).
Damit ist
∆n = dn dn
∆ω =
dω dω ωL wobei ωL die Larmorfrequenz ist.
Mit dω 2πc
dλ = − λ2 folgt ∆n = −λ2 dn
2πc dλ ω λ2 dn eB 2πc
L , also gilt α = − 2πc dλ 2m cλ l oder
α = − e
2mc λdnlB
= V · l · B .
dλ
V ist dabei die Verdetsche Konstante (= − e λ dn
m 2c dλ )
Damit läßt sich für Substanzen, die den normalen Zeeman–Effekt zeigen, mit Hilfe des
Faradayeffekts e
m bestimmem.
• Der elektro–optische Effekt (Kerr-Effekt 1875)
Für Interessierte nachzulesen in Feynman Band I, S. 451.
3.6.3 Lichtstreuung, Streuung von Röntgenstrahlen
• Lichtstreuung
Röntgenbeugung und Lichtbrechung (gebrochener Strahl = 0. Beugungsordung) sind
Interferenzphänomene. Ihr Zustandekommen setzt einen hohen Ordnungsgrad der
Sekundärquellen (Atome) voraus. Zur Berechnung der Intensitäten (z.B. Fresnelsche Gleichungen)
muß man die Amplituden addieren und quadrieren: kohärente Überlagerung des
Sekundärlichtes (+ kohärente Addition des Primärlichtes in der 0. Ordnung!).
Ist die Ordnung der Sekundärquellen durch eingelagerte und statistisch (also willkürlich)
verteilte Fremdatome gestört, so löschen sich bei diesen Sekundärquellen bei der Amplitudenüberlagerung
die Interferenzterme heraus (Phasendifferenz nicht konstant, zeitliches
Mittel gleich Null) und die Gesamtintensität ist die Summe der Einzelintensitäten:
Inkohärente Überlagerung der Sekundärstrahlung (aber kohärent, d.h. phasenstarr in Bezug
auf das Primärlicht: Erzwungene Schwingung). Diese Erscheinung nennt man Streuung.
Fassen wir also nochmals zusammen:

3.6. Wechselwirkung von Licht mit Materie, Atome als Sekundärstrahler 63
Die Wechselwirkung von Licht mit unregelmäßig verteilten Sekundärquellen
nennt man Streuung. Die Lichtstreuung tritt also auf bei Einbau von
Fremdatomen in Einkristalle (Dotierungen), bei Zusätzen in Flüssigkeiten (kolloidale
Verklumpungen: Tyndall–Effekt), bei Zusätzen in Gasen (z.B. Rauch),
und letztlich auch bei Gasen überhaupt (thermische Bewegung sorgt für eine
statistische Verteilung).
Die Lichtstreuung an Teilchen wird zur Bestimmung der Größe und Konzentration von
Teilchen ausgenutzt. Zur Beschreibung der Brechung in Gasen geht die mittlere Teilchendichte
N ein, zur Beschreibung der Streuung die Schwankung (Varianz) (N − N) 2 .
Schickt man Licht in ein streuendes Medium, so wird die Intensität geschwächt (Extinktion).
Nun ist
Abb. 3.36: Zur Intensitätsabnahme.
Die Intensitätsabnahme ∆I längs eines kurzen
Wegstückes ∆x ist proportional zur einfallenden
Intensität I und zur Länge von ∆x. κ heißt
Extinktionskoeffizient.
∆I = −κI∆x I = W P
=
A · t A
κ = −∆I
I∆x
1. die eingestrahlte Intensität I = 1
2ε0cE2 0 (vgl. (3.1.1)),
2. die Intensitätsabnahme ∆I gleich der gestreuten Intensität, die sich aus der
Strahlungsleistung Hertzscher Dipole berechnen läßt (3.3.2). Da (mit N = Teilchendichte)
in ∆x insgesamt N · A · ∆x Dipole angeregt werden, gilt
Energie
Fläche·Zeit
∆I := − Prad A · NA∆x = −PradN∆x [∆I] =
= − 1 cp
3
2 �
0 ω
�4 N∆x [Prad ] =
4πε0 c
Energie
Zeit
Damit ergibt sich der Extinktionskoeffizient
κ =
� �
ω 4
c N∆x
1 cp
3
2
0
4πε0
1
2ε0cE2 0∆x = 8π
3
κ = 8π3
3ε2 � �2 p0
0 E0 N
(4πε0 ) 2
�
p0
E0 N · 1
.
λ4 � 2 �ω
Diese starke Frequenzabhängigkeit κ ∼ 1
λ 4 wird als Rayleigh–Streuung bezeichnet.
Betrachtet man ein Gas mit seinen statistisch verteilten Molekülen, so muß auch im saubersten
Gas Streuung erfolgen. Für die elektrische Polarisation � P gilt:
�P = ε 0 (ε − 1) � E = N · �p =⇒
p0 E0 c
� 4
= ε 0
N (ε − 1)=ε 0
N (n′2 − 1),

64 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
damit gilt κ = (n′2 2 − 1)
6 πNc4 ω4 = 8π3 M
· ·
3 ϱNA (n′2 − 1)
λ4 (3.6.6)
mit N = ϱNA
M und M als Molmasse. Je kleiner λ ist, desto mehr Licht wird also gestreut.
Daraus läßt sich das Himmelsblau erklären (blaues Licht wird stärker gestreut als rotes).
Mißt man den Extinktionskoeffizienten κ, so kann aus (3.6.6) die Avogadrokonstante NA aus der Lichtstreuung bestimmt werden.
• Streuung von Röntgenstrahlen
Wie beim sichtbarem Licht sind auch die gestreuten Röntgenstrahlen linear polarisiert:
Barkla–Streuung.
Von J.J. Thomson wurde damit auch der Extinktionskoeffizient der Röntgenstrahlung
bestimmt. Es hatte sich experimentell gezeigt, daß der sogenannte Massenstreukoeffizient
(bei mittleren Härten der Röntgenstrahlung) einen materialunabhängigen Wert besitzt:
κ
ϱ
κ
experimentell:
ϱ =0.2cm2 /g .
Zur Berechnung müssen wir berücksichtigen, daß
1. alle Elektronen der Atome zur Röntgenstreuung beitragen: N → N · Z ,
2. ω ≫ ω0 und ω ≫ γ
m ist. Dann ergibt sich aus (3.6.1) in 1. Näherung
Und somit wird mit (3.6.6)
κ = 8π
�
(Z · N)
3
n ′2 = 1 + ZNe 2
ε 0 m(−ω 2 )
⇐⇒ (n ′2 2 Z
− 1) = 2 N 2e4 . 4
e 2
4πε 0 mc 2
�2
ε 2 0 m2 ω
= 8π
3 r2 0 · (ZN)=σ · Z · N , (3.6.7)
da man einen Absorptionskoeffizienten schreiben kann als κ =(ZN) · σ. Also lautet der
Streuwirkungsquerschnitt
σ St. Rö. = 8π
3 r2 0 .
r 0 ist der klassische Elektronenradius und σ der Thomson–Querschnitt.
Mit N = ϱNA
M
wird der Massenstreukoeffizient zu
κ 8π
=
ϱ 3 r2 0 · N Z
A ·
M
cm2 Z
=0.4 ·
mol M =0.4
� �
Z
cm
M
2 g −1 .
Der Vergleich mit dem experimentellen Befund κ
ϱ =0.2cm2 /g liefert
� �
Z
=
M
Z
=0.5 J.J. Thomson. (M = Molzahl; A = Massenzahl)
A

3.7. Impuls und Drehimpulstransport im elektromagnetischen Strahlungsfeld 65
Diese Formel besagt, daß bei leichten Elementen (mit Ausnahme von Wasserstoff) die
Ordnungszahl gleich der Hälfte des Atomgewichts sein muß. Eine solche Beziehung ist am
Anfang des Periodensystems tatsächlich annähernd erfüllt. Die physikalischen Ursachen
dafür sind in der Natur der Kernkräfte zu suchen. (Kern besteht aus Protonen und Neutronen).
3.7 Impuls und Drehimpulstransport im elektromagnetischen
Strahlungsfeld
Wie wir aus Kapitel 3.1wissen, führt ein elektromagnetisches Strahlungsfeld einen Impuls mit
sich.
Die absorbierte Strahlung überträgt also auf den Absorber einen Strahlungsdruck. Analog:
senkrecht reflektierte Strahlung überträgt auf einen Spiegel den doppelten Druck.
Außerdem führt zirkular polarisiertes Licht einen Drehimpuls mit sich.
Wir betrachten ein Plättchen aus doppelbrechendem Material.
Abb. 3.37: Plättchen aus doppelbrechenden Material.
Senkrecht dazu soll Licht auffallen. Der � E–
Vektor des Lichts erzeugt ein induziertes elektrisches
Dipolmoment �p, das wegen n x �= n y
nicht mehr kollinear zu � E ist. Das Drehmoment
�T beträgt dann:
�T = �p × � E.
Das Drehmoment pro Volumeneinheit ist dann:
d� T
dV = � P × � �
E = ε0 (ε − 1) � E × � �
E = ε0 (ε � E) × � E
mit Polarisation � P = d�p
dV und � E = const. (d.h.
d � E
dV =0).
d � T
dV ist nur ungleich Null, wenn ε ein Tensor ist, d.h. εx = n2x �= εy = n2y , d.h. anisotropes
(doppelbrechendes) Material vorhanden ist. Dies ist hier der Fall und so erhalten wir mit � E =
(Ex ,Ey , 0) und εxy = εxz = εyz =0:
dTz dV = ε � 2
0 nx (ExEy ) − n 2 y (EyEx )� = ε0ExEy (n 2 x − n2y ) .
Die Welle, die in z = 0 auftrifft, hat die Komponenten Ex = E cos ωt ; E x0 y = E cos(ωt − α)
y0
mit
α = 0 : linear polarisierte Welle
α = π
2
: rechts zirkular polarisierte Welle
α = − π
2
: links zirkular polarisierte Welle

66 Kapitel 3. Licht als elektromagnetische Welle, Wechselwirkung mit Materie
Nach Durchlaufen der Strecke z im Medium ist dann
mit E x0 = E y0 = E 0 .
Ex =
z
E cos ω(t − n x0 x
c ) = Ex0 cos(ωt − φx )
Ey =
z
E cos ω(t − n y0 y
c − α) = Ey0 cos(ωt − φy − α)
dTz dV = ε0E2 0 (n2x − n2 y )cos(ωt − φx ) · cos(ωt − φ =
y − α)
1
2 ε0E2 0 (n2x − n2y ) � cos(2ωt − φx − φy − α)+cos(φx−φy− α) �
(3.7.1)
Nun wollen wir das gesamte Drehmoment, das der Quader � in Abbildung � 3.37 erfährt im zeitlichen
Mittel berechnen. Dazu mitteln wir (3.7.1) zeitlich cos(...t)=0 , integrieren über z von 0 bis
l und multiplizieren noch mit der durchströmten Fläche A:
�
(t)
Tz = A
0
l
dTz dV dz = Aε0c 2ω (nx + ny )E2 � �
2π
0 sin
λ (nx − n � �
y )l − α +sinα
Die einfallende Intensität beträgt
I = vε0εE2(t) = c
n ε0 · n2E2(t) = 1
2 cε �
0 nxE 2 x0 + nyE2 �
y0 wegen E2 (t) = 1
2E2 0
= cε0E2 0
(nx + ny ).
2
Damit beträgt die Leistung P (t) auf die Fläche A:
Für das mittlere Drehmoment ergibt sich dann
P (t) = I · A = cε 0 A
2 (n x + n y )E2 0 .
(t) P
Tz = (t) � �
2π
sin
ω λ (nx − n � �
y )l − α +sinα .
Wegen T = ∆L
∆t beträgt der in der Einwirkungszeit ∆t übertragene Drehimpuls ∆L, derdem
Strahlungsfeld entzogen sein muß (Drehimpulserhaltungssatz):
(t)
∆W
∆L =
ω
∆L = P (t) ∆t
ω
[...]
� �
2π
sin
λ (nx − n � �
y )l − α +sinα
.

3.7. Impuls und Drehimpulstransport im elektromagnetischen Strahlungsfeld 67
∆W ist die in der Einwirkungszeit ∆t durch das Plättchen gestrahlte Energie.
λ
4 –Plättchen
(n x − n y )l = λ
4
λ
2 –Plättchen
(n x − n y )l = λ
2
zur Erklärung:
⎧
⎨
austretendes Licht:
2π
⎩ λ (nx − ny )l − α :
⎧
[...]:
⎨ austretendes Licht:
2π
⎩ λ (nx − ny )l − α :
[...]:
Einfallendes Licht
lin. pol. rechts zirk. pol. links zirk. pol.
α =0 α = π
2 α = − π
zirk. pol. lin. pol.
2
π π
2 − 0= 2
1+0=1
π π
2 − 2 =0
lin. pol.
0+1=1
π π
2 + 2 = π
0 − 1=−1
lin. pol. links zirk. pol.
π − 0=π
0+0=0
π − π
rechts zirk. pol.
π
2 = 2
1+1=2
π + π 3
2 = 2π −1 − 1=−2
Wenn linear pol. Licht übergeht in linear pol. Licht: kein Drehimpulsübertrag.
Wenn linear pol. Licht übergeht in zirkular pol. Licht: Drehimpulsübertrag Betrag 1.
Wenn zirkular pol. Licht übergeht in linear pol. Licht: Drehimpulsübertrag Betrag 1.
Wenn rechts zirk. pol. Licht übergeht in links zirk. pol. Licht: ∆L–Übertrag Betrag 2.
Nur zirkular polarisiertes Licht überträgt einen Drehimpuls!
Experiment von Rich.A.Beth(1936).
Wird zirkular polarisiertes Licht absorbiert, so übernimmt der Absorber den Drehimpuls.
∆L = ∆W
ω
Die Formel gilt für alle Frequenzen. Das Experiment wurde 1949 von Carrara im Radiowellenbereich
wiederholt. Es gilt auch für Wechselstrom: Drehstrommotor (Synchronmotor). Dort
absorbiert der Rotor die Leistung der zirkular polarisierten Welle des (drehenden) � B–Feldes und
erfährt das Drehmoment
T = P
ω
mit der Leistung P .

Kapitel 4
Licht als Quantenerscheinung
4.1 Strahlung des Schwarzen Körpers, Kirchhoffscher
Strahlungssatz
Gase und feste Körper können auf vielerlei Weise zur Lichtemission angeregt werden. Alle Stoffe
kann man zum Leuchten anregen, indem man sie erwärmt. Man findet allerdings die unterschiedlichsten
Typen von Spektren. Für festes T haben jedoch die Wärmestrahlungsspektren
aller Stoffe eine gemeinsame Einhüllende, die von keinem Stoff überschritten wird und dies ist
das Spektrum des Schwarzen Körpers.
Abb. 4.1: Modell zum Schwarzen
Körper: Körper mit Temperaturbad.
Abb. 4.2: Wärmestrahlungsspektren
verschiedener Stoffe und
Einhüllende.
Dann muß sein:
Wir betrachten einen ” Körper im
Körper“. Äußerer und innerer
Körper stehen über Strahlung
im Temperaturgleichgewicht.
Die Aufrechterhaltung des Gleichgewichts
beruht im Inneren des
Körpers ausschließlich auf dem Austausch
von Temperaturstrahlung
über die Prozesse der Emission und
Absorption.
E(λ, T )dλ = I(λ, T )dλ · A(λ, T ) , (4.1.1)
E(λ, T )dλ = Spektrales Emissionsvermögen � � des Innenkörpers = Gesamt-
Energie
strahlungsleistung Zeit im Intervall zwischen λ und
λ + dλ pro Flächeneinheit ∆A nach allen Richtungen bei
der Temperatur T .
I(λ, T )dλ = Spektrale Intensitätsverteilung = Strahlungsleistung zwischen
λ und λ + dλ, diederFlächeneinheit ∆A des Körpers
aus dem Strahlungsfeld bei Temperatur T aus allen Richtungen
zugestrahlt wird.
68

4.1. Strahlung des Schwarzen Körpers, Kirchhoffscher Strahlungssatz 69
A(λ, T ) = Spektrales Absorptionsvermögen = Bruchteil der einfallenden
Strahlung zwischen λ und λ + dλ, diebeiTvom Körper
absorbiert wird.
Ein Schwarzer Körper ist dadurch definiert, daß sein spekrales Absorptionsvermögen für alle
Wellenlängen identisch Eins ist (A(λ, T ) ≡ 1). Für das spektrale Emissionsvermögen des
Schwarzen Körpers schreiben wir nun E(λ, T )=Es (λ, T ).
Aus (4.1.1) ergibt sich mit Obigem:
Das führt zum Kirchhoffschen Strahlungssatz (1860):
Und daraus:
E s (λ, T )dλ = I(λ, T )dλ . (4.1.2)
E(λ, T )=E s (λ, T ) · A(λ, T ) .
E(λ, T ) ≤E s (λ, T ) .
Der Kirchhoffsche Strahlungssatz sagt aus, daß der Quotient aus dem Emissions– und Absorptionsvermögen
eines beliebigen Strahlers dem Emissionsvermögen Es des Schwarzen Körpers
gleich ist.
Experimentell verwirklicht man einen Schwarzen Körper durch einen Hohlraum mit einem Loch:
Alle Strahlung, die durch das Loch einfällt, wird im Innern des Hohlraumkörpers absorbiert:
Das Loch erscheint als Schwarzer Körper“. Die Strahlung, die den Hohlraum durch das Loch
”
verläßt, ist dann die Strahlung eines Schwarzen Körpers.
Aus der Beziehung (4.1.2) können wir eine Aussage über das spektrale Emissionsvermögen Es des Schwarzen Körpers folgern. Dazu denken wir uns die Wände des schwarzen Innenkörpers
aus linearen harmonischen Oszillatoren aufgebaut.
1. Absorbierte Leistung eines Oszillators mit der Eigenfrequenz ω 0 im Strahlungsfeld mit ω
Abb. 4.3: Anregung eines
in x–Richtung schwingenden
Oszillators unter dem
Winkel ϑ.
P (ϑ, ω) = 1
T
�T
0
F ˙xdt ′ = ω
2π
F = eE 0 cos ωt ′
Für den angetriebenen harmonischen Oszillator gilt folgende
DGL:
mit Γ = γ
¨x + γ
m ˙x + ω2 e
0x =
m E0 cos ωt′ cos ϑ
m = e2ω2 0
(vgl. Kapitel 3.6).
6πε0mc3 Aus obiger Differentialgleichung läßt sich x(t ′ ) und ˙x(t ′ )
berechnen und damit läßt sich die mittlere Leistung, die an
den Oszillator geht als leichte ÜA berechnen:
�
0
2π
ω
eE 0 cos ωt ′ cos ϑ ˙xdt ′ =
(eE0 cos ϑ) 2Γ · ω2 �
2m (ω2 0 − ω2 ) 2 +(Γω) 2�.

70 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
Die Strahlung ist in keiner Richtung ausgezeichnet und unpolarisiert. Daher muß ϑ sicher
alle Werte von 0 bis π annehmen und da die räumlich gemittelte Leistung P proportional
zu cos 2 ϑ ist oder da (räumliche Mittelung)
ist, ergibt sich
cos 2 ϑ = 1
4π
�π
0
P (ω) =
cos 2 ϑ2π sin ϑdϑ= 1
�
2
(eE 0 ) 2 Γω 2
+1
−1
�
6m (ω2 0 − ω2 ) 2 .
2�
+(Γω)
x 2 dx = 1
3
Die Integration über alle Strahlungsfrequenzen ω ergibt dann (Gesamtstrahlung):
�
P =
0
∞
P (ω)dω = πe2 E 2 0 (ω 0 )
12m ,
mit der Energiedichte des Feldes an der Stelle ω = ω 0 (merklicher Energieübertrag findet
nur in der Nähe der Resonanz statt):
u(ω0 )= 1
2 ε0E2 0 (ω πe2
0 ) =⇒ P = u(ω0 )
6mε0 P entspricht der vom Oszillator aufgenommenen Strahlungsleistung.
2. Die Strahlungsleistung, die der Oszillator abgibt ist:
P rad = 1
3
cp 2 0
4πε 0
� �
ω0 4
c
mit p 0 = e · x 0 .
Für den harmonischen Oszillator ist: W HO = W kin + W pot = m
2 ω2 0 x2 0
P rad = 2
3 ·
e 2 ω 2 0
4πε 0 mc 3 W HO .
Da beim Schwarzen Körper thermisches Gleichgewicht zwischen abgestrahlter und
aufgenommener Leistung gelten soll (P = P rad ), ergibt sich:
πe2 u(ω0 )=
6mε0 2
3 ·
e 2 ω 2 0
4πε 0 mc 3 W HO ⇐⇒ u(ω 0 )= ω2 0
π 2 c 3 W HO .
Diese Ausdrücke sind natürlich eine Funktion der Temperatur T . Man erhält so einen Zusammenhang
zwischen der mittleren totalen Energie W HO eines Oszillators, der bei der Temperatur T
mit ω 0 schwingt, und der Energiedichte u(ω 0 ,T) im Zwischenraum
u(ω0 ,T)= ω2 0
π2c3 WHO (T ) .

4.1. Strahlung des Schwarzen Körpers, Kirchhoffscher Strahlungssatz 71
Um das spektrale Emissionsvermögen E s (λ, T ) auszurechnen, ist es nach (4.1.2) nur notwendig,
die gesamte auftreffende spektrale Intensität auszurechen. Unter Intensität versteht man die
senkrecht auf eine Wand auftreffende Energie pro Zeit mal Fläche, also Leistung pro Fläche. Es
sei ∆A =1dieFlächeneinheit der Wand. Ist die Energiedichte des sich nach allen Seiten mit der
Geschwindigkeit c ausbreitenden Strahlungsfeldes u, soistdiesenkrecht auf die Flächeneinheit
der Oberfläche pro Zeiteinheit auftreffende Energie
Abb. 4.4: Zur Berechnung des spektralen
Emissionsvermögens.
I = c · u ; [I] = Energie
Zeit · Fläche .
Fällt die Energie dagegen unter dem Winkel
ϑ auf die Fläche ∆A, so ist die unter diesem
Winkel auftreffende Energie um den Faktor
cos ϑ kleiner, also
I ϑ = c · u · cos ϑ.
Das ist das Lambertsches Gesetz.
Dann ist die gesamte auf ∆A = 1auftreffende Intensität
Itot = 1
4π
�
Halbraum
c · u cos ϑdΩ= 2π
�
c · u
4π
cos ϑ sin ϑdϑ= c
4 u = E s .
Damit Es (ω0 ,T)= c
4 u(ω0 ,T)= ω2 0
4π2c2 WHO (T ) .
Die in der Literatur gebräuchlichen Ausdrücke ergeben sich durch Umformung:
da
u(ω, T)dω = ω2 dω
π2 W (T )
c3 u(ν, T )dν = 8πν2 dν
c3 W (T )
u(λ, T )dλ = 8πdλ
W (T )
λ4 u(ω, T)dω = u(ν, T )dν ; dω
dν
u(λ, T )dλ = −u(ν, T )dν ; dν
dλ
=2π ; ω =2πν
c c
= − ; ν =
λ2 λ
Es (ω, T)dω = ω2 dω
4π2 W (T )
c2 Es (ν, T )dν = 2πν2 dν
c2 W (T )
Es (λ, T )dλ =
2πc dλ
λ4 W (T )
Abb. 4.5: Spekrale Intensitätsverteilung in
der Hohlraumstrahlung bei verschiedenen
Temperaturen.

72 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
4.2 Strahlungsformeln, Plancksche Quantisierungsvorschrift,
Phasenraum
Setzt man in u(ω, T) ∼ W (T ) die Beziehung aus dem Gleichverteilungssatz
ein, so erhält man:
W (T )= f
2 kT = kT (HO: f =2: E kin + E pot )
u(ν, T ) = 8πν2
c 3 kT ∼ ν2 T
bzw. u(λ, T ) = 8π
kT ∼
λ4 T
λ 4
Strahlungsformel von Rayleigh–Jeans.
Diese rein klassisch hergeleitete Formel gilt jedoch empirisch nur für kleine ν (große λ). Für
∞�
ν →∞wird u(ν, T ) →∞, damit auch das totale Emissionsvermögen S = Esdν →∞. Dies
bezeichnet man als die sogenannte Ultraviolettkatastrophe.
Für kleine Wellenlängen fand Wien nach Messungen von Lummer und Pringsheim die empirische
Formel, die zwei Konstanten c1 und c2 enthält:
u(ν, T )=c 1 ν 3 e −c 2 ν
T .
Bei der Ableitung dieser Formel mußte Wien verschiedene Hypothesen über den Mechanismus
der Ausstrahlung machen und z.B. annehmen, daß die Frequenzverteilung der Strahlung gleich
der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung der Gasmoleküle ist.
Das Versagen der klassischen Physik bei der Ultraviolettkatastrophe“ war ein herber Schlag.
”
Hier setzte Planck 1900 an: Offenbar gilt der Gleichverteilungssatz nicht allgemein (dies war
bereits von den spezifischen Wärmen her bekannt, bei der die experimentell gefundenen Werte
mit der Theorie nicht mehr übereinstimmten).
Max Planck betrachtete einen linearen harmonischen Oszillator im Phasenraum, der von den
kanonischen Koordinaten aufgespannt wird.
Im folgenden betrachten wir einen Massenpunkt im 3–dimensionalen kartesischen Koordinatensystem
mit den Ortskoordinaten x, y, z. Dann ergeben sich aus einer Verallgemeinerung der
klassischen Bewegungsgleichung:
Wpot = W (x, y, z) −→ − ∂Wpot ∂x = Fx =˙px ,... ,
Wkin = m
2 (˙x2 +˙y 2 +˙z 2 ) −→ ∂Wkin ∂ ˙x = m ˙x = px ,... ,
Wkin = 1
2m (p2x + p2y + p2z ) −→ ∂Wkin =
∂px px =˙x,... ,
m
und unter Einführung der Hamiltonfunktion H
H(x, y, z, p x ,p y ,p z )=W pot + W kin
0

4.2. Strahlungsformeln, Plancksche Quantisierungsvorschrift, Phasenraum 73
die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
− ∂H
∂x =˙px , −∂H
∂y =˙py , −∂H
∂z =˙pz ∂H
∂px =˙x,
∂H
∂py =˙y,
∂H
∂pz =˙z
Die Variablen der Hamiltonfunktion heißen kanonische Variablen, sie spannen den Phasenraum
auf. Der Phasenraum wird also durch die Orts– und Impulsvariablen aufgespannt.
Die kinetische Energie läßt sich nun auch schreiben als Wkin = 1
2 (px ˙x + py ˙y + pz ergibt sich für die Wirkungsfunktion:
�T
0
W kin dt = 1
2
�T
0
(p x ˙x + p y ˙y + p z ˙z) dt = 1
2
⎛
�T
�T
�T
⎞
⎝ px dx + py dy + pz dz⎠
.
0
0
.
0
˙z) und damit
Wendet man diesen Formalismus auf den linearen harmonischen Oszillator an, so erhält man
in einem eindimensionalen Phasenraum, der durch die Koordinaten x = x 0 cos ωt und p x =
−mωx 0 sin ωt aufgespannt wird, eine Ellipse.
Abb. 4.6: Quantisierter Phasenraum.
Die Wirkungsfunktion der periodischen Bewegung � p x dx ist
dann die Fläche innerhalb dieser Ellipse. In der klassischen
Physik bildet der Phasenraum ein Kontinuum, d.h. die
möglichen Ellipsen bedecken den (zweidimensionalen) Raum
kontinuierlich.
Revolutionär war Plancks Quantisierungsvorschrift 1 : Es werden
nur solche Ellipsen zugelassen, deren Flächendifferenz zwischen
aufeinanderfolgenden Kurven jeweils h ist.
� px dx = nh n =1, 2, 3,... ” Quantenzahlen“
h ist eine empirische Konstante, sie ist experimentell zu gewinnen ([h] =[W · t] =: Wirkung).
Das bedeutet: Das Volumen des Phasenraumes hat diskrete Werte.
Für den harmonischen Oszillator gilt.
�
pxdx = x0 · mωx0 · π = nh.
Daraus ergibt sich für die Energie des harmonischen Oszillators:
Wn = En = m
2 x20 ω2 = m
2
nh
mωπ ω2 = n h
ω = n�ω = nhν ,
2π
also E n = nhν .
Man beachte, daß die Energie jetzt nur noch gequantelt auftritt.
1Es sei darauf hingewiesen, daß historisch genau dies die Forderung von Planck und En = nhν nur eine
Folgerung daraus war.

74 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
Die erlaubten Energieniveaus eines harmonischen Oszillators haben einen gleichen Abstand hν
zueinander (vgl. Abbilung 4.7). Der Oszillator kann nur diese quantisierten Energien aufnehmen.
Die Wahrscheinlichkeiten für die Besetzung eines Energieniveaus En ist gleich
⎛
⎞
En
nhν
P (En )=αe
− kT = αe
− kT
∞�
⎝
1
P (En )=1=⇒ α =
⎠
�
. En
∞
n=0
n=0 e− kT
Nehmen wir nun an, daß wir eine ganze Anzahl von Oszillatoren haben; einige davon werden
im Quantengrundzustand, einige in angeregten Zuständen schwingen usw. . Was uns nun
interessiert, ist die mittlere Energie all dieser Oszillatoren. Dazu müssen wir die Gesamtenergie
der Oszillatoren berechnen und durch die Gesamtzahl der Oszillatoren dividieren, bzw. die
Wahrscheinlichkeit für die Besetzung eines Zustandes mit der jeweiligen Energie bewichten und
über alle Zustände summieren.
Abb. 4.7: Besetzung der Energieniveaus im
thermischen Gleichgewicht.
E(T )
E(T ) kl = kT
hν = kT
E(T ) qm = hν
e hν
kT −1
Abb. 4.8: Mittlere Energie in der klassischen
Physik und in der Quantenmechanik.
Die Gesetze von
T
Dies ergibt dann den mittleren Energieanteil pro Oszillator
im thermischen Gleichgewicht. Diese mittlere Energie
ist dann:
E(T )=
mit z = hν
kT .
E(T ) = zkT
E(T ) = zkT
∞�
n=0
nhν
nhνe
− kT
∞�
n=0
− dN
dz
N
nhν
e
− kT
e −z
(1 − e −z )
E(T )=
zkT
=
∞�
ne
n=0
−nz
∞�
e−nz n=0
∞�
mit N = e
0
−nz 1
=
1 − e−z 1
/ 2 1 − e−z hν
e hν
kT − 1
Der Ausdruck nach dem Gleichheitszeichen steht an
Stelle von kT der klassischen Physik.
Damit ergibt sich die Planksche Strahlungsformel (1900):
Rayleigh–Jeans hν ≪ kT : 1
und Wien hν ≫ kT : 1
u(ν, T ) = 8πν2
c 3
u(λ, T ) = 8πhc
λ 5
hν
e kT −1
hν
e kT −1
−→ kT
hν
−→ e
hν − kT
.
hν
e hν
kT − 1
1
e hc
λkT − 1

4.3. Quantisierung des Strahlungsfeldes, Unschärferelation, Einstein–Koeffizienten 75
sind darin als Grenzfälle enthalten. Dieser Sachverhalt läßt sich auch sehr gut Abbildung 4.9
entnehmen.
Abb. 4.9: Qualitatives Verhalten des Emissionsvermögens nach
dem Rayleigh–Jeansschen und Wienschen Gesetz. Das Spektrum
eines Schwarzen Strahlers als eine Funktion von �ω.
Der Vergleich mit dem Experiment ergibt
h = 6.6260755 (40) · 10 −34 Js
= 4.1356692 (12) · 10 −15 eVs.
Aus dem Planckschen Strahlungsgesetz
folgt der bereits vorher von Wien 1893
gefundene Wiensche Verschiebungssatz:
λ max · T =const.=0.29 cm K
(d.h.: λ max ∼ 1/T) und das bereits aus thermodynamischen Überlegungen bekannte Stefan–
Boltzmannsche Gesetz:
∞�
Es (ν, T )dν = σ · T 4 mit σ = 2π5k4 0
15h 3 c 2 =5.67 · 10−8 Wm −2 K −4 .
4.3 Quantisierung des Strahlungsfeldes,
Unschärferelation, Einstein–Koeffizienten
Max Planck hatte in seiner Ableitung der Strahlungsformel nur den (materiellen) harmonischen
Oszillator quantisiert. Einstein erweiterte die Vorstellung durch die Quantisierung des
Strahlungsfeldes (Lichtquanten):
Die Träger des elektromagnetischen Feldes sind die Photonen. Zur Ableitung der Planckschen
Strahlungsformel betrachtet man die Wechselwirkung zwischen den Atomen der Wand mit dem
Strahlungsfeld (Photonenfeld).
Harmonischer Oszillator,
Zustände der Wandatome
E2 =(n +1)hν
E 1 = nhν
hν
(induzierte)
Absorption eines
Quants
hν
spontane Emission,
(freie Schwingung)
inkohärent
hν
2hν
induzierte Emission
eines Quants,
(erzwungene Schwingung)
kohärent
atomare Besetzungszahlen
im thermischen Gleichgewicht
N2 ∼ e − E2 kT
N 1 ∼ e − E 1
kT
Abb. 4.10: Absorption, spontane und induzierte Emission zwischen zwei Energieniveaus.
Ein Atom mit zwei Energiezuständen E 1 und E 2 kann nach Einstein auf drei verschiedene Arten
mit elektromagnetischer Strahlung in Wechselwirkung treten:
• Absorption eines Lichtquants bringt das Atom aus dem tieferen Zustand E 1 in den energetisch
höheren Zustand E 2 . Dabei verschwindet ein Lichtquant der Energie ∆E =
E 2 − E 1 = hν aus dem Strahlungsfeld.
• Emission spontan aus dem Zustand E 2 . Dabei wird ein Lichtquant der Energie ∆E an das
Strahlungfeld abgegeben.
.

76 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
• Emission erzwungen durch das Strahlungsfeld. Für diese erzwungene oder induzierte Emission
sind also primäre Lichtquanten erforderlich.
Na-Dampf-Lampe
Absorption
(erzwungene
Schwingung)
(erzwungene
Schwingung)
induzierte Emission
Na-Dampf
durchgehendes Licht
geschwächt
(freie Schwingung)
spontane Emission
angeregte Na-Atome fallen heraus
Abb. 4.11: Versuchsaufbau zur Darstellung der Wechselwirkung der
Na–Atome mit elektromagnetischer Strahlung.
Diese drei Wechselwirkungsarten
können wir zum Beispiel im Versuch
von Abbildung 4.11 erhalten. Der Natriumdampf
absorbiert das Licht einer
Natriumdampflampe und emittiert das
gleiche Licht als Resonanzlicht in alle
Richtungen. Fallen angeregte Na–
Atome aus dem Strahlungsfeld heraus,
so führen sie freie Schwingungen aus
(spontane Emission) (vgl. Kapitel 3.4).
Wir betrachten nun ein System von N
Atomen, wobei die Anzahl der Atome
im Zustand E 1 bzw. E 2 gleich N 1 bzw.
N 2 ist. Das System sei im thermischen
Gleichgewicht mit der Umgebung.
Die Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld sei nur in Form von Absorption oder Emission der
Strahlung in diskreten Energiequanten hν = E2 − E1 möglich. Das Strahlungfeld habe die
Strahlungdichte u(ν, T ). Die Zahl der Prozesse je Zeiteinheit ist der Besetzungszahl N1 und der
Strahlungdichte u proportional.
Damit ist die Zahl der Übergänge durch Absorption (N1 → N2 )
dN 1→2 ∼ N 1 · u(ν, T )dt
= N 1 · B 12 · u(ν, T )dt.
Der Proportionalitätsfaktor B12 heißt Einstein–Koeffizient und mißt die Wahrscheinlichkeit eines
Übergangs je Zeit– und Strahlungsdichteeinheit.
Die Zahl der Übergänge durch spontane Emission (N2 → N1 ) ist dann der Besetzungszahl N2 proportional.
dN sp
2→1 = N2 · A21dt A 21 ist ebenfalls ein Einsteinkoeffizient und mißt die
Wahrscheinlichkeit eines spontanen Übergangs je Zeiteinheit.
Ferner ergibt sich analog zur Absorption für die induzierte
Emission von 2 nach 1
dN ind
2→1 = N2 · B21 · u(ν, T ) · dt.
Im thermischem Gleichgewicht ist dann
dN1→2 = dN sp ind
2→1 + dN2→1 E 2 ,N 2
E 1 ,N 1
B 12 A 21 B 21
Abb. 4.12: Zwei Energieniveaus
verbunden mit den
Übergangswahrscheinlichkeiten B12,
B21 und A12.
N1B12 · u(ν, T )=N2 (A21 + B21u(ν, T )) mit [A] =1;[B] = m3
. (4.3.1)
Js

4.3. Quantisierung des Strahlungsfeldes, Unschärferelation, Einstein–Koeffizienten 77
Daraus folgt dann:
B12u(ν, T )
A21 + B21u(ν, T ) = N2 .
N1 Da thermisches Gleichgewicht herrscht, kann das Verhältnis der Besetzungszahlen gemäß Kapitel
4.2 geschrieben werden als
N2 =
N1 e− E2
kT hν
= e
− kT .
E1
e
− kT
A21 Somit ist u(ν, T )=
B12e hν .
kT − B21 Zur Bestimmung von A und B benützt man die Grenzbedingung, daß für T →∞auch u(ν, T ) →
∞ gehen muß, also
B12 = B21 = B ,
d.h.: Die Wahrscheinlichkeiten für induzierte Emission und Absorption sind gleich.
Damit ergibt sich:
u(ν, T )= A 1
. (4.3.2)
B
e hν
kT − 1
Außerdem muß für hν ≪ kT (d.h. für kleine Frequenzen) das experimentell bestätigte
+ ... folgt
Rayleigh–Jeanssche Gesetz gelten. Mit der Reihenentwicklung e hν
kT =1+ hν
kT
8πν2 A kT
kT =
c3 B hν .
A = 8πhν3
c 3 B ; für gegebenes B: A ∼ ν 3 . (4.3.3)
Das entspricht dem Kirchhoffschen Gesetz E ∼ A , wonach die Wahrscheinlichkeiten für spontane
Emission und Absorption einander proportional sind. Außerdem gilt: Die induzierte
Übergangswahrscheinlichkeit nimmt bei festem B mit ν3 zu!
Setzt man (4.3.3) in (4.3.2) ein, so folgt die Plancksche Strahlungsformel
u(ν, T )= 8πν2
c 3
hν
e hν
kT − 1
Man sieht also, daß die Quantisierung des linearen harmonischen Oszillators in Verbindung mit
der Quantisierung des Strahlungsfeldes zur richtigen Strahlungsformel führt.
Welche Eigenschaften besitzen die so eingeführten Photonen (Lichtquanten)?
Durch Vergleich mit den Formeln der klassischen Elektrodynamik folgt sofort der Impuls und
Drehimpuls (Spin) der Photonen.
Es gilt gemäß Kapitel 3.1:
c�p V = 1
c � S
mit der Impulsstromdichte �p V und der Energiestromdichte � S.
.

78 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
Im Photonenbild geschieht der Transport durch N Photonen pro Volumen V . Es gilt:
�p V =
N · pPh
V
somit:
c · NpPh
V
Der Impuls der Photonen beträgt also
p Ph = EPh
c
= hν
c
�S = c ·
N · EPh
V
1 N · EPh
= · c ·
c V
in Übereinstimmung mit der
Relativitätstheorie.
Aus E = mc2 = hν folgt die relativistische Masse der Photonen:
mrel = hν h
=
c2 λ · c .
Andererseits gilt:
p Ph = h h c h
ν = = = � · k .
c c λ λ
Damit erhalten wir folgenden Zusammenhang zwischen Impuls und Wellenlänge: �p Ph = � · �k Ph .
Aus diesem Photonenimpuls läßt sich natürlich sofort der Strahlungsdruck verstehen.
Der Drehimpuls läßt sich gewinnen aus der Beziehung
L = W
(vgl. Kapitel 3.7).
ω
Im Photonenbild ist dann N · LPh = N·EPh
ω und
L Ph = hν
ω
= hν
2πν
h
= =1· � .
2π
Da nur zirkular polarisiertes Licht Drehimpuls transportiert, besitzen Photonen einen Spin von
1 · � entweder parallel (rechts–zirkular polarisiertes Licht) oder antiparallel (links–zirkular polarisiertes
Licht) zur Ausbreitungsrichtung. Linear polarisiertes Licht trägt keinen Drehimpuls!
Also wird linear polarisiertes Licht erzeugt durch die (kohärente) Überlagerung von je 2 Photonen
mit Spin nach vorn und nach hinten.
Ein weiteres Ergebnis der Photonenvorstellung sind die Unschärferelationen:
• Orts–Impuls–Unschärfe:
Abb. 4.13: Zur Veranschaulichung der Unschärferelation
am Spalt.
Ein Photon fliege in horizontaler Richtung (y).
Senkrecht zu seiner Flugrichtung sei ein Spalt
mit d =∆x aufgestellt. Trifft das Photon auf
diese Blende, so ist der Durchflugort irgendwo
innerhalb ∆x. Aus dem Wellenbild wissen wir,
daß für das 1. Beugungsminimum gilt:
sin ϕ = λ
d .
Nach dem Spalt besitzt das Photon also eine
Impulskomponente in x–Richtung, die irgendwo
innerhalb ∆p x = p sin ϕ liegt.

4.4. Photoeffekt, Röntgenbremsstrahlung, Compton–Effekt 79
Mit p = h
λ
folgt dann die Heisenbergsche Unschärferelation:
∆x · ∆p x ≈ h .
Ein Ergebnis, das wir aus der Quantisierung des Phasenraums erhalten haben.
• Energie–Lebensdauer–Unschärfe:
Aus der klassischen Unschärferelation τ·Γω = 1folgt durch einfache Multiplikation mit � die
Heisenbergsche Unschärferelation: τ · Γω · � = � (mittleren Lebensdauer τ, Halbwertsbreite
der Spekrallinie Γω .)
τ · Γ=� Γ=�Γ ω =∆E
Aus der Energieunschärfe erhalten wir die natürliche Linienbreite.
4.4 Photoeffekt, Röntgenbremsstrahlung,
Compton–Effekt
• Photoeffekt
Der Photoeffekt wurde 1888 von Hallwachs entdeckt. Die Erklärung im Wellenbild setzt
eine Ansammlung von Energie“ voraus. Die Erklärung im Photonenbild erfolgte 1905
”
durch Einstein:
Beim Photoeffekt werden aus einer negativ geladenen Metallplatte Elektronen freigesetzt,
die durch ein Elektrometer nachgewiesen werden können (es entlädt sich). Klassisch würde
man erwarten, daß das elektrische Feld � E für die Beschleunigung und Ablösung verantwortlich
ist, daß also bei höherer Intensität die Energie dieser Photoelektronen zunimmt.
Das ist aber nicht der Fall. Die Energie der Elektronen hängt nur von der Frequenz
des einfallenden Lichts ab, jedoch ist ihre Anzahl der Lichtintensität proportional. Photoelektronen
treten nur aus, wenn die Frequenz des einfallenden Lichts größer als eine
bestimmte materialabhängige Grenzfrequenz ist. Dieser Sachverhalt läßt sich nur erklären,
wenn man das Licht als aus einzelnen Lichtquanten oder Photonen bestehend betrachtet.
Nach Einstein kann man sich Licht als einen Teilchenstrahl
vorstellen, der aus Photonen der Energie E = hν
besteht, die sich mit der Geschwindigkeit c bewegen. Ihre
Ruhemasse ist m0 = 0, ihr Impuls p = hν h
c = λ . Jeweils
ein Photon kann ein Elektron aus dem Metall herauslösen,
dazu ist die Austrittsarbeit WA notwendig. Ein
Lichtquant muß mindestens diese Energie besitzen, um
ein Elektron herauslösen zu können.
Abb. 4.14: Gegenspannung UG als Funktion
der Frequenz ν.
Über die Gegenspannungsmethode erhält man Auskunft über die kinetische Energie der
freigesetzten Elektronen.

80 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
hν = W A + m
2 v2 = W A + eU G
U G = Gegenspannung
Die Steigung der Geraden, die man beim Auftragen von Umax gegen die Frequenz ν des Anregungslichts
erhält, kann zur Präzisions–Messung des Verhältnisses h
e verwendet werden.
Für den Steigungswinkel α gilt
tan α = h
e .
• Röntgenbremsstrahlung
Beschießt man eine Antikathode mit Elektronen, die die Beschleunigungsspannung U0 durchlaufen haben und zerlegt das emittierte Röntgenlicht spektral, so beobachtet man
– immer ein Kontinuum — die
Kα Röntgen–Bremsstrahlung
Kβ – und ist die Beschleunigungsspannung
größer als ein vom Material
der Antikathode abhängiger
bestimmter Wert, so erhalten wir
zusätzlich ein Linienspektrum —
die charakteristische Strahlung.
Letzteres werden wir in Kapitel 5.7
erklären und soll hier nicht weiter
erwähnt werden.
Z ählrate
λ min
Die Grenzwellenlänge des Röntgen–Bremskontinuums ist
gegeben durch
Charakteristische
Linien
Bremskontinuum
λ =2d sin ϑ
Abb. 4.15: Charakteristisches Röntgenspektrum.
eU0 = m
2 v2 = hνGrenz = hc
.
λGrenz Abb. 4.16: Ablenkung der Bahn eines
Elektrons im Feld eines Kerns.
Eine Erklärung im Wellenbild ist nicht möglich. Klassisch würde man erwarten, daß das
Spektrum sich bis zu beliebig hohen Frequenzen erstreckt. Man beobachtet jedoch eine
Grenzwellenlänge.
Das heißt, daß die hochenergetische oder kurzwellige Grenze des Röntgenspektrums λGrenz durch das Energieäquivalent eU0 gegeben ist. Das Bremsspektrum kommt dadurch zustande,
daß Elektronen, die nahe an Atomkernen vorbeifliegen, im Felde so abgelenkt
und abgebremst werden, daß sie eine Hyperbelbahn beschreiben. Eine (positv oder negativ)
beschleunigte Ladung strahlt nach der klassischen Elektrodynamik elektromagnetische
Strahlung ab. Die so erzeugte Strahlung heißt daher Bremsstrahlung. Der Energieverlust
des einfliegenden Elektrons kann je nach Abstand der Hyperbelbahn vom Atomkern
zwischen Null und einer oberen Grenze variieren. Das Bremsstrahlungsspektrum ist daher
kontinuierlich. Das Abbremsen erfolgt durch Stoß zwischen Elektronen und den Metallatomen
(Ionen), wobei im allgemeinen das Elektron sehr viele Stöße erleidet, bevor es
völlig abgebremst ist. Im günstigsten Fall jedoch kann das Elektron beim ersten Stoß
vollständig abgebremst werden und seine gesamte kinetische Energie einem Lichtquant

4.4. Photoeffekt, Röntgenbremsstrahlung, Compton–Effekt 81
mitgeben. Man erhält dann ein Röntgenquant der Energie
hν Grenz = eU 0 .
Während beim normalen lichtelektrischen Effekt mit monochromatische Wellenstrahlung
Korpuskeln ausgelöst werden, werden hier von Korpuskeln einheitlicher Geschwindigkeit
eine Wellenstrahlung erzeugt (inverser Photoeffekt).
• Comptoneffekt
Den direkten Beweis für den Photonencharakter der γ–Strahlung brachte der Compton–
Effekt 1922–23. Bei einer Streuung von Röntgenstrahlen im harten Röntgengebiet
beobachtete Compton, daß zusätzlich zu der spektral unverschobenen Streustrahlung noch
eine spektral verschobene Komponente auftritt. Für die Wellenlängenverschiebung ∆λ
besteht ein einfacher Zusammenhang mit dem Streuwinkel ϑ:
∆λ = λ c (1 − cos ϑ) (siehe Abbilung 4.17)
mit der Comptonwellenlänge λ c = 0.024 A. Die Wellenlängenverschiebung ∆λ ist unabhängig
von der Primär–Wellenlänge. Die Intensität der Compton–Streuung hängt vom
Streumaterial ab. Für leichte Materialien Z ist sie besonders groß wegen der geringen Absorption.
Klassisch konnte man sich diese Wellenlängeverschiebung nicht erklären, da sie
im Beugungsbild nicht auftreten dürfte.
Eine Erklärung ergibt sich, wenn wir den Comptoneffekt als elastischen Stoß zwischen
Photon und Elektron betrachten. Energie und Impulssatz müssen erfüllt sein. Wir rechnen
relativistisch. Der Impuls des Elektrons vor dem Stoß sei Null und seine Ruheenergie
E = m 0 c 2 .
Man beobachtet die Energie und die Impulse in x-y–Richtung vor und nach dem Stoß:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
hν hν′
=
c c cos ϑ + m0v � cos ψ
1 − β2 hν ′
c sin ϑ = m0v � sin ψ
1 − β2 �
⎫
⎪⎬
⎪⎭
Impulserhaltung
Energieerhaltung
m 0 c 2 + hν = hν ′ + m 0 c2
� 1 − β 2
Daraus ergibt sich:
mit
λ ′ − λ =∆λ = 2h ϑ
sin2
m0c 2 =2λ ϑ
c sin2
2 ;
Abb. 4.17: Zur Erklärung des
Compton–Effekts.
λ c = h
m 0 c =2.4262 · 10−10 cm Compton–Wellenlänge des Elektrons
und hν c =
h · c
λ c
= h · c
h/m 0 c = m 0 · c2 =511 keV Ruhenergie des Elektrons.

82 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
d.h. die Quantenenergie einer Strahlung mit Compton–Wellenlänge λc ist gleich der Ruheenergie
des Elektrons.
Die unverschobene Linie ergibt sich durch Streuung an inneren Elektronen, die fest gebunden
sind: Rückstoß auf das ganze Atom.
– ∆λ materialunabhängig
– ∆λ unabhängig von λ: Im sichtbaren Bereich ist ∆λ
λ =2· λc λ ≈ 10−5 nicht meßbar.
Beim Compton–Effekt erfahren Elektronen einen Rückstoß. Es gilt:
Ekin = m0c 2
�
�
1
� − 1
1 − β2 = hν − hν ′
Daraus ergibt sich dann:
ε 2ε sin2 2
Ekin = h · ∆ν =
1+2γsin mit der reduzierten γ–Energie ε.
2 ϑ
2
hν =
2ε cos2 ψ
(1+ ε2 ) − ε2 cos2 hν
hν ε =
ψ m0c2 = λc λ ,
Das Planksche Wirkungsquantum h tritt stets in Verbindung mit anderen Naturkonstanten auf.
Daraus ergeben sich verschiedene Methoden der h–Bestimmung:
1. Strahlungsformel h/k
2. Photoeffekt, Röntgenbremsstrahlung h/e
3. Compton–Effekt h/m 0 c
4. Rydberg–Konstante me 4 /8ε 2 0 h3 c
5. Elektronenbeugung h/ √ e · m
Die letzten beiden Möglichkeiten werden später noch behandelt.
∗ 4.5 Dualismus Welle — Teilchen
Fazit: Licht verhält sich als Welle oder als Lichtquant. Je nach Experiment zeigt es die verschiedenen
Eingeschaften: Dualismus von Welle und Teilchen.
Aber:
Für große λ (kleine ν) ist das Wellenbild adäquater,
jedoch für kleine λ (große ν) ist das Quantenbild adäquater.
Wie bringt man beide Bilder zusammen? Die Wechselwirkung von Lichtquanten in einem elektro–
magnetischen Strahlungsfeld mit Materie geschieht statistisch“, man spricht von Quantenfluk-
”
tuationen. Wie zum Beispiel beim

∗ 4.5. Dualismus Welle — Teilchen 83
• Photoeffekt: Hier haben wir eine kontinuierliche Lichtstrahlung mit statistischem Elektronenaustritt.
(Nachweis durch Joffe in der UdSSR: Beobachtung der statistischen
Ladungsänderung eines Bi–Kügelchens in einem Millikan–Kondensator.)
• Fluoreszensstreuung: Röntgenfluoreszenz, beobachtet durch Bothe (Schüler von Geiger):
unabhängige Röntgenquanten, d.h. keine Koinzidenz.
Umgekehrt:
• Comptoneffekt (Geiger und Bothe): Koinzidenz zwischen Elektron und γ–Quant.
• Beugung: Die Beugung ist ja ein echtes Wellenphänomen. Wawilow (UdSSR) konnte
in einem Experiment nachweisen, daß die Beugungsfigur tröpfchenweise, also statistisch
entsteht und damit im Photonenbild erklärbar ist.
Ein schönes Beispiel für den dualen Charakter des Lichts bildet wieder die Betrachtung der
spektralen Energiedichte des elektro–magnetischen Feldes im Wellen– und im Photonenbild, d.h.
die Ableitung der Planckschen Strahlungsformel.
Im Wellenbild ist diese Energiedichte gegeben als
u(ν, T )=ϱ(ν) · W (T )
mit ϱ(ν) als spektrale Zustandsdichte, W (T ) als mittlere Energie pro Zustand. Ein Hohlraum mit
dem Volumen V sei von ideal reflektierenden Wänden umgeben und auf konstanter Temperatur
gehalten. Da seine Wände bei beliebigen Temperaturen elektromagnetische Wellen (Licht oder
Infrarotstrahlung) aussenden, besteht in seinem Inneren ein elektromagnetisches Feld, das in ein
System stehender Wellen verschiedener Frequenzen und Richtungen zerlegt werden kann. Jede
der stehenden Wellen stellt dabei einen Elementarzustand des elektromagnetsichen Feldes dar.
Zahl der stehenden Wellen = Zahl der Elementarzustände = Zahl der Eigenschwingungen
Zahl der stehenden Wellen
ϱ(ν) =
Frequenzintervall und Volumen
Um ϱ(ν) bestimmen zu können, müssen wir also nun die Zahl der stehenden Wellen im Volumen
” abzählen“:
• 1–dimensionaler Fall: Gegeben eine Saite mit Länge a. Bedingung für eine stehende Welle
ist a = n · λ
2 mit n =1, 2, 3,.... 2a
Somit ist n = λ
, und damit
2aν = c die Zahl der Eigenzustände
(Eigenschwingungen) Z(ν) =n = 2aν
c
ϱ(ν) = 1 dZ(ν) 2
· =
a dν c .
• 3–dimensionaler Fall: Zur Vereinfachung wollen wir annehmen, daß das Volumen die Form
eines Würfels mit der Kantenlänge a hat. Die Bedingung für eine stehende Welle ist für
jede Raumrichtung a = ni · λi
2 mit ni =1, 2, 3,..., i = x, y, z und damit n 2a
i = . Wir
λi
bilden im n–Raum, der aus diskreten Punkten besteht:
n i = 2a
λ i
= ak i
π

84 Kapitel 4. Licht als Quantenerscheinung
Abb. 4.18: Zur Berechnung
von ϱ(ν).
den Vektor �n mit:
n = |�n| =
�
= a
π
n 2 x + n2 y + n2 z
�
k 2 x + k2 y + k2 z
= a
π |�k| = 2aν
.
c
Da der Raum dicht mit Punkten belegt ist, gehen wir wiederum zum Kontinuum über,
d.h. wir betrachten das Volumen des Würfels. Dieses Volumen können wir in einer sehr
guten Näherung durch das Volumen einer Kugel mit dem Radius n = 2aν
c ersetzen. Da nur
positive nx , ny und nz vorkommen, füllt der ursprüngliche Kubus jedoch nur 1
8 der Kugel
aus. Damit
und
Z ′ (ν) = 1 4π
·
8 3 · n3 = 1 4π
·
8 3 · 8a3ν 3
c3 ϱ ′ (ν) = 1
a3 dZ ′ (ν)
dν
4πν2
= .
c3 4π
=
3 · a3ν 3
c3 Da jeder Frequenz ν zwei Wellen mit zueinander senkrechter Polarisationsebene
entsprechen, es also zwei Polarisationsmöglichkeiten gibt, folgt:
ϱ(ν) = 8πν2
c 3
In der klassischen Wellenoptik tragen E und B zum elektromagnetischen Feld bei, sie entsprechen
den Freiheitsgraden und gehen beide quadratisch in die Energie ein; also gilt nach dem Boltzmannschen
Gleichverteilungssatz:
E(ν, T )=2· 1
kT = kT .
2
Damit ergibt sich mit Hilfe der klassischen Theorie u(ν, T )dieFormelvomRayleigh–Jeans
u(ν, T )= 8πν2
kT .
c3 Im Photonenbild können wir die Zahl der Zustände (Zahl der Elementarzellen im Phasenraum)
viel schneller abzählen. �p ist der Impulsvektor, �r der Ortsvektor. Es interessieren nur die Beträge,
Orts– und Impulsraum sind unabhängig, so daß folgt:
mit de Broglie p = h hν
λ = c :
ϱ ′ (ν) = 1
V · d(n3 ) ν2
=4π
dν c3 n 3 =
4π V · 3
h3 n 3 = V 4π
3
· p3
· ν3
c 3
,
.
mit den 2 Polarisationsmöglichkeiten:

∗ 4.5. Dualismus Welle — Teilchen 85
ϱ(ν) = 8πν2
c 3
�
�
�pd�r = V ·
Um E(T ) im Photonenbild zu berechnen, setzt man
0
p
4πp 2 dp = n 3 h 3 ,
; dies ist identisch mit der klassischen Abzählung.
E(ν, T )=N Ph (ν, T ) · E Ph = N Ph (ν, T ) · hν
an. Behandelt man Photonen als unterscheidbare Teilchen“ mit Energie hν, so ist nach der
”
klassischen Boltzmannstatistik
N Ph hν
(ν, T ) ∼ e
− kT ,
damit Wien: u(ν, T ) ∼ 8πν2
c3 hν
· hν · e
− kT .
Fazit: Man kommt also im reinen Wellenbild mit dem Gleichverteilungssatz zur Formel von
Rayleigh–Jeans, im Photonenbild mit der Boltzmannstatistik zur Formel von Wien. Beide
geben nicht die ganze Wahrheit wieder, sie liefern nur die jeweiligen Grenzfälle.
Wie wir gesehen haben, ergibt sich im Wellenbild und im Photonenbild dieselbe spektrale Zustandsdichte
ϱ(ν). Also liegt der Fehler in der mittleren thermischen Energie. Im Wellenbild hat
nach Planck der Gleichverteilungssatz keine Gültigkeit mehr. Dies korrigierte Planck in der
Herleitung seiner Strahlungsformel. Da Photonen nicht abzählbar (nicht unterscheidbar) sind,
darf im Photonenbild die Boltzmannstatistik nicht angewendet werden.
Die Antwort darauf gibt die Quantenstatistik für Teilchen mit geradzahligem Spin (Bose–
Einstein–Statistik).

Kapitel 5
Das Atommodell nach
Rutherford, Bohr, Sommerfeld
Vorbemerkung: Bevor wir mit der Darstellung der Atommodelle beginnen, sei der Leser darauf
aufmerksam gemacht, daß die Autoren sich an die historische Entwicklung der damals gefundenen
Atommodelle halten. Die erzielten Ergebnisse sind deshalb nicht falsch, sie liefern jedoch meist
nur die halbe Wahrheit. Die ” ganze“ Wahrheit wird uns erst die Quantenmechanik liefern. Diese
Tatsache sollte dem Leser stets bewußt sein und er wird deshalb an den entsprechenden Stellen
darauf hingewiesen.
5.1 Rutherfordsches Atommodell, Rutherfordsche
Streuformel
Durch Rutherfords Messung des Wirkungsquerschnitts beim Stoß zwischen α–Teilchen (He–
Kernen) und Atomen kamen Zweifel an der Richtigkeit des Thomson–Modells auf: Geiger und
Marsden fanden heraus, daß der Großteil der α–Teilchen unter sehr kleinen Winkeln gestreut
wurde. Es gab jedoch auch Streuung unter großen Winkeln und sogar Rückwärtsstreuung. Da
α–Teilchen sehr schwer sind (mehr als 7000 mal schwerer als Elektronen) und da sie in diesem
Experiment hohe Geschwindigkeiten hatten, mußten also starke Kräfte auf sie eingewirkt haben,
um solch ausgeprägte Ablenkungen zu verursachen. Rutherfords Idee war nun, daß diese Streuung
eine Streuung am Coulombpotential eines Atomkerns war. Im sehr kleinen (punktförmigen)
positiv geladenen Kern sei fast die gesamte Masse des Atoms vereinigt, um den sich die Elektronen
wie Planeten um den Kern bewegen. Das Coulombpotential würde dann eine Zentralkraft
bewirken und nach der klassischen Mechanik müßte die Bahnkurve dann ein Kegelschnitt sein
(Keplerproblem). Da es sich um eine Streuung handelt, erhalten wir also eine Hyperbel.
Dieses Modell führt zur Rutherfordschen Streuformel (5.1.1), wenn man ausschließlich die
Coulombabstoßung zwischen der Kernladung und der Ladung der α–Teilchen berücksichtigt.
Wir berechnen jetzt mit diesem Modell die Abhängigkeit der Streuwahrscheinlichkeit vom
Ablenkwinkel.
Zur Bestimmung von a in Abbildung 5.1benutzen wir den Energie– und Drehimpulserhaltungssatz.
v ∞ sei die Geschwindigkeit des Teilchens im Unendlichen und v P die Geschwindigkeit
86

5.1. Rutherfordsches Atommodell, Rutherfordsche Streuformel 87
in P . Z sei die ” Kern“–Ladungszahl.
• Der Energieerhaltungssatz liefert
m
2 v2 m
∞ =
2 v2 P + Z1Z2e2 m
=
4πε0 (a + ε) 2 v2 P + Z1Z2C a + ε
• der Drehimpulserhaltungssatz
Abb. 5.1: Rutherfordstreuung, Skizze für die Modellrechnung.
mv ∞ b = mv P (a + ε) =⇒ v P = v ∞
a + ε b.
Durch Einsetzen von v P in den Energiesatz ergibt sich
1
2 mv2 1
∞ =
2 mv2 ∞
b 2
(ε + a) 2 + Z 1 Z 2 C
Erweitert man mit (ε + a) 2 , so gewinnt man durch Umformen
und daraus a = Z1Z2C mv2 .
∞
C = e2
=1.44 MeVfm,
4πε0 Eigenschaften der Hyperbel:
Gleichung: x2 y2
− =1
a2 b2 Asymptote: y = ∓ b
a x
cot ϑ/2 = b
a
a + ε .
mv 2 ∞ · a(ε + a) =Z1Z2C(ε + a)
=⇒ cot(ϑ/2) = mv2 ∞ b
Z 1 Z 2 C
a 2 + b 2 = ε 2
Daraus folgt dann der Stoßparameter mit Z 2 = 2 (He–Kerne) b = Z1C
E∞ cot(ϑ/2) mit E ∞
Für den differentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ b
=
dΩ sin ϑ
� �
�
�
db �
�
�dϑ�
= m
2 v2 ∞ .

88 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
wie er in Kapitel 1.5 hergeleitet wurde, ergibt sich dann mit obigem (Z1 = Z):
dσ
dΩ = ZC/E∞ · cot(ϑ/2)
·
sin ϑ
ZC
�
1
·
E∞ 2 (1+ cot2 �
(ϑ/2))
· cos(ϑ/2) · sin−1 (ϑ/2) 1
·
2cos(ϑ/2) · sin(ϑ/2) 2 ·
1
sin 4 (ϑ/2)
dσ
= Z2 C 2
E 2 ∞
dΩ = Z2 1Z2 2e4 8(4πε0 )
E 2 ∞
2 · 1
·
1
sin 4 (ϑ/2)
Abb. 5.2:
Theoretischer Verlauf der Coulombstreuung
nach Rutherford.
Korrekturen an der Streuformel:
1
sin 2 (ϑ/2) = Z2C 2
4E2 ·
∞
, die Rutherfordsche Streuformel 1911. (5.1.1)
Größenordnung: dσ Z2 1
dΩ ≈ 1.3 Z2 2
E2 1
∞ sin4 mbarn, wobei
ϑ/2
E in MeV und 1mbarn = 10−27 cm2 . Prüfung des
Rutherford–Gesetzes durch Geiger und Marsden
1913.
1. Bei Streuwinkeln ϑ3 · 10 −10 cm: Die Abschirmung durch innere
Atomelektronen wird merklich.
2. Streufolien müssen dünn sein, sonst Mehrfachstreuung.
3. Bisher M K in Ruhe, d.h. M K ≫ m α , andernfalls Übergang ins CM–System:
E CM
∞
�v CM =
= µ
2 v2 ∞ , µ = m α · M K
m α + M K
m α
�v
MK + mα L α
→ E CM
∞ = MK E
MK + mα L ∞
Aus der Gültigkeit des Rutherfordgesetzes auch bei großen Winkeln folgt die Aussage über die
Kernausdehnung, bzw. die Aussage über die Gültigkeit des reinen Coulombpotentials.
Für ϑ =180 ◦ ,d.h.b = 0 erhalten wir die Umkehrbahn und damit den kleinsten Abstand δ 0 des
streuenden Teilchens vom Kern aus der Energiebilanz.
Abb. 5.3: Bahnkurve von α–
Teilchen beim zentralen Stoß.
E ∞ = E pot = m
2 v2 ∞ = Z 1 Z 2 C
δ 0
� δ 0 =1.44 MeV fm Z 1 Z 2
E ∞
So erhalten wir für das Rutherfordsche Experiment mit den Werten E ∞ =5.5 MeV an Silber
(Z 1 = 79): δ 0 ≈ 3 · 10 −12 cm.
Beim obigen Experiment hat die Rutherfordsche Streuformel noch Gültigkeit. Bei der Streuung
sehr schneller α–Teilchen (E > 6 MeV) um große Winkel ϑ, (bei annähernd zentralem Stoß)
.

5.2. Das Bohrsche Wasserstoff–Atom, wasserstoffähnliche Spektren 89
beobachtet man jedoch deutliche Abweichungen von der Rutherfordformel. Hier ist die Grundvoraussetzung
der Theorie, das Coulombsche Kraftgesetz, nicht mehr erfüllt. α–Teilchen und
Kern kommen sich so nahe, daß neue Kräfte wirksam werden, die Kernkräfte. Dies nennt man
die anomale Rutherfordstreuung. Man definiert den Kernradius rK als den Abstand, bei dem
die Wirkung des Kernkraftpotentials mit der des Coulombpotentials vergleichbar wird (also den
Bereich, in dem es eine deutliche Abweichung vom Coulombpotential gibt).
Aus Messungen an Au folgerte man, daß der Kern die Größe von ca. 10−15 m hat.
Messung an vielen Kernen ergab: r K = r 0 · A 1
3 mit r 0 ≈ 1.25 fm .
Chadwick bestimmte 1920 aus dem Verhältnis der gestreuten zu den direkt durchfliegenden
α–Teilchen das Z 1 der Folienkerne.
Nach dem Rutherford’schen Atommodell für das Einelektronensystem (H, He + ,Li ++ ) gilt für
die Energie des Elektrons mit der Masse me = m auf der Kreisbahn r
E = Epot + Ekin = − Z1e2 m
+
4πε0r 2 (rω)2 . (5.1.2)
Für das umlaufende Elektron gilt das Kräftegleichgewicht FZ = FC , daher ist
(5.1.3) in (5.1.2) eingesetzt liefert:
Z 1 e 2
E = − 1
2 4πε0r Abb. 5.4: Energie des Elektrons.
mω 2 r = Z1e2 4πε0r2 � m(rω)2 = Z1e2 . (5.1.3)
4πε0r , sowie ω =
�
Z 1 e 2
4πε 0 mr 3
wie im Thomson–Modell.
Es folgt außerdem mit r =10 −8 cm die richtige Größenordnung
der Ionisationsenergie. Für Z 1 = 1 : E = −7.2eV
(gemessen: E exp = −13.5eV.)
Offene Fragen:
1. Warum fallen die Elektronen, da sie doch bei ihrer (beschleunigten) Kreisbewegung dauernd
Energie abstrahlen, nicht in den Kern?
2. Wie kommt es zum stabilen Atomradius?
3. Wie kommen die beobachteten Spektrallinien zustande?
5.2 Das Bohrsche Wasserstoff–Atom, wasserstoffähnliche
Spektren
Hier setzte nun Niels Bohr (1913) an, indem er die Vorstellung des Rutherfordschen Atommodells
mit der Plankschen Quantisierungsvorschrift für den harmonischen Oszillator und mit
der Einsteinschen Photonenvorstellung verband.

90 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
Für Elektronen, die sich auf Kreisbahnen bewegen, ergibt sich in Polarkoordinaten (r, ϕ): ˙r =0,
˙ϕ = ω. Im folgenden sei Z = Z 1 . Es herrscht ein Kräftegleichgewicht zwischen Coulomb– und
Zentrifugalkraft, also:
Ze 2
4πε 0 r 2 = mω2 r.
Für die Energie gilt: W = Wpot + Wkin = − Ze2 1
+
4πε0r 2 mr2ω 2
� W = − 1 Ze
2
2
4πε0r .
Um die Quantisierungsvorschrift zu formulieren, müssen wir zunächst den generalisierten Impuls
bestimmen.
Wir betrachten ein zweidimensionales Problem und wählen als generalisierte (unabhängige)
Koordinaten r, ϕ = qi (i = 1, 2). qi = qi (x, y) sind Funktionen von kartesischen Koordinaten.
Damit ist die potentielle Energie eine Funktion von generalisierten Koordinaten
(Wpot = Wpot (qi )). Die zwei Gleichungen qi = qi (x, y) nach x, y aufgelöst, nach t differenziert
und in Wkin eingesetzt liefern eine homogene, quadratische Funktion der ˙q i mit Koeffizienten,
die von qi abhängen:
Wkin = �
C(qi )˙q
i
2 i
=⇒ ∂W kin
∂ ˙q i
=2C(qi ) · ˙q i ⇐⇒ C(qi )= 1
2˙q i
=⇒ Wkin = 1 � ∂Wkin ˙q i .
2 ∂ ˙q
i i
∂W kin
∂ ˙q i
Der Vergleich mit W kin = 1
2 p x ˙x liefert die Definition der generalsierten Impulse p i
Dann läßt sich zeigen, daß mit der Hamiltonfunktion H = H(q i ,p i ) wieder die
Hamilton–Gleichungen − ∂H
∂q i
Für die Wirkungsfunktion ergibt sich:
�
W kin dt = 1
2
Im Falle der Kreisbahn ist damit
= p˙i ,
�
�
i
∂H
∂p i
p i dq i .
= q˙i q i = r, ϕ −→ ˙r =0, ˙ϕ = ω
p ϕ = ∂W kin
∂ω = mr2 ω = L (Drehimpuls)
gelten.
und unter Berücksichtigung der Quantisierungsbedingung folgt
�
pdq = mr 2 ω · 2π = nh (n =1, 2, 3,... Hauptquantenzahl).
∂Wkin = ∂ . ˙qi

5.2. Das Bohrsche Wasserstoff–Atom, wasserstoffähnliche Spektren 91
� mr 2 ω = L = n h
= n�
2π
!Vorsicht!
in der Interpretation für das H–Atom !
Wie wir in 5.4 zeigen werden, ist dies nur ein Sonderfall der von Sommerfeld modifizierten
Drehimpulsquantelung (Annahme von Bohr: Kreisbahnen).
Aus der Quantisierungsbedingung m2r4ω 2 = n2�2 und dem Kräftegleichgewicht mr3ω2 = Ze2
4πε0 ,
n also mr =4πε0 2 2
�
Ze2 folgt der Bahnradius
rn = 1
Z 4πε0 �2 me2 · n2 ,
und für Z =1,n = 1ergibt sich der 1. Bohrscher Radius des Wasserstoff–Atoms
a 0 =4πε 0
Daraus folgt die Energie auf der n.ten Bahn
Abb. 5.5:
Energieniveauschema.
� 2
me 2 =0.528 · 10−8 cm .
Wn = − (Ze2 ) 2m (4πε0 ) 2 1
·
2�2 n2 = −Z2hcR∞ · 1
n2 mit der Rydberg–Konstanten R ∞
R ∞ =
Die Geschwindigkeit des Elektrons auf der n.ten Bahn ist
Dies läßt sich auch schreiben als
v n
c
= Z · α · 1
n
e2 1
mit α = =
4πε0�c 137
e 4 m
(4π) 3 ε 2 0 �3 c = 109 737.3cm−1 .
vn = ωrn = n�
= Z
mrn e2 1
·
4πε0� n .
Für die Umlauffrequenz des Elektrons auf der n.ten Bahn ergibt sich
ν n = v n
2πr n
= Z 2
, der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstanten.
me4
32π 3 ε 2 0
�3 · 1
n3 = Z22cR∞ · 1
n
Wir erhalten negative Gesamtenergien, da es sich um Bindungsenergien handelt; d.h. wenn sich
das Elektron vom Kern entfernt, so muß es Energie aufnehmen, bei Annäherung verliert es diese
Energie wieder. Versucht man jedoch, bei einem solchen Modell die Emission und Absorption von
Licht mit den bekannten Gesetzen der klassischen Elektrodynamik zu verstehen, so stößt man
auf grundlegende Schwierigkeiten. Klassisch sollten Bahnen mit beliebigem Radius und damit
eine kontinuierliche Folge von Energiewerten für das Elektron im Feld des Kerns möglich sein.
Würde man die in den Spektralserien in Erscheinung tretenden Energieniveaus jedoch als Werte
3 .

92 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
für die Energie des Elektrons ansehen, so müßte man annehmen, daß nur diskrete Energiewerte
möglich sind. Wie sollte man sich also die offenen Fragen beim Rutherfordschen Atommodell
erklären?
Um diese Diskrepanz zu den Gesetzen der klassichen Physik zu vermeiden, stellte Bohr, in
Form der nach ihm benannten Postulaten, Forderungen für das von den Gesetzen der klassischen
Physik abweichende Verhalten der Elektronen im Atom auf.
1. Bohrsches Postulat: Die durch die Quantisierungsbedingung ausgezeichneten Bahnen sind
stationäre (zeitunabhängige) Bahnen, auf denen das Elektron nicht strahlt!
2. Bohrsches Postulat: Die Emission von Licht erfolgt beim Übergang von einer Bahn höherer zu
einer Bahn niedrigerer Energie (bei der Absorption entsprechend umgekehrt). Für die emittierte
Frequenz gilt:
hν = W − W .
n2→n1 n2 n1
Damit läßt sich nun die experimentell gefundene Rydberg–Formel herleiten
ν = ν
c = hνn2→n1 =
hc
Wn2 − Wn1 = T − T = Z n2 n1
hc
2 �
1
R∞ n2 −
1
1
n2 �
2
mit ν = 1 v
λ = c .
Allerdings hat die Rydberg–Konstante R ∞ einen etwas anderen Wert als das experimentelle R H :
M A
r A
S
r e e
Abb. 5.6: Zweikörperproblem.
Damit wird RH = R∞ 1+ me ,
MA
Bei obiger Rechnung lag die Annahme einer unendlich großen
Masse M A des Kerns zugrunde. Dies ist jedoch falsch. Analog
zur Mechanik erhalten wir ein Zweikörperproblem. Bei der
Berücksichtigung der Kernmitbewegung müssen wir also in allen
Gleichungen
r durch r A + r e
und m durch µ = me · MA me =
me + MA (1+ me
MA )
R H = 109 677.6cm −1
R D = 109 707.4cm −1
ersetzen.
RHe + = 109 722.3cm−1 Somit ist das Wasserstoffspektrum erklärt. Wegen der Mitbewegung des Kerns haben verschiedene
Isotope des gleichen Elements etwas unterschiedliche Spektrallinien. Dies führte zur
Entdeckung des Deuteriums. Wegen der unterschiedlichen Rydberg–Konstanten weichen die
Spektrallinien von He + und Deuterium vom Wasserstoff etwas ab. Die Wellenlängendifferenz ∆λ
für die entsprechenden Linien im Spektrum des leichten und des schweren Wasserstoffs beträgt
�
∆λ = λH − λD = λH 1 − λ � �
D
= λH 1 −
λH R �
H
.
RD Wesentliches gemeinsames Charakteristikum der Bohrschen Postulate ist: Man macht nicht Aussagen
über Vorgänge, sondern über Zustände. Der klassische Bahnbegriff wird aufgegeben. Es
wird nicht nach dem zeitlichen Verlauf gefragt, sondern nach dem stationären Anfangs– und
Endzustand.

5.3. Bohrsches Korrespondenzprinzip; Rydberg–Zustände 93
5.3 Bohrsches Korrespondenzprinzip;
Rydberg–Zustände
Die durch die Quantisierung entstehenden Phasenraumzellen mit dem Volumen h 3 liegen für
große Quantenzahlen beliebig dicht: vgl. Abbildung 4.6.
Quantisierter Phasenraum ⇒ Kontinuum für n →∞.
Die Anwendung dieses Sachverhaltes auf die Atomphysik ist das Bohrsche Korrespondenzprinzip:
Für große Quantenzahlen geht die Quantenphysik in die klassische Physik über, d.h.
für große Quantenzahlen liegen die Energieniveaus beliebig dicht nebeneinander, so daß hier von
einem Kontinuum gesprochen werden kann. Das bedeutet konkret, daß die
Übergangsfrequenz ν n+1→n gleich der Umlauffrequenz ν n
νn+1→n = Z 2 �
1
Rc −
n2 1
(n +1) 2
�
= Z 2 Rc 1
n2 �
1 −
≈ Z 2 Rc 1
n2 2
n =2Z2Rc 1
n3 = νn für n →∞.
ist, also
1
(1+ 1
n )2
�
Mit diesem Prinzip ist es möglich, die mit Hilfe der klassischen Physik berechneten Aussagen
über Intensitäten und Polarisationen in die Gesetze der Quantentheorie zu übertragen. Dennoch
sind die Ergebnisse und vor allem die Methode nicht befriedigend.
Atomzustände mit sehr hohen Quantenzahlen nennt man Rydberg–Zustände. Die moderne
Lasertechnik mit ihren fein–durchstimmbaren Laserfrequenzen macht eine Anregung dieser
Zustände möglich. Da sich das eine hoch angeregte Elektron weit weg vom Rumpf der übrigen
Elektronen befindet, sind seine Zustände sehr wasserstoffähnlich.
Charakteristika dieser Rydberg–Atome sind:
1 . Größe der Rydberg–Atome:
a 0 ≈ 0.5 · 10 −8 cm bei n = 1(1. Bohrscher Radius)
r 100 =0.5 · 10 −8 cm · n 2 =0.5 · 10 −4 cm = 0.5 µm (n = 100).
2. Sehr große Lebensdauer τ ∼ 10 −3 s=1ms
3. Sehr kleine Ionisationsenergie,
d.h. Rydberg–Atome werden leicht durch Stöße mit anderen Atomen und durch die thermische
Strahlung der umgebenden Wände ionisiert: Einfluß der Temperatur auf den Ionisationsstrom.
5.4 Ellipsenbahnen nach Sommerfeld; l–Entartung
Die heile Welt des Bohrschen Modells wurde durch die Beobachtung gestört, daß die Linien der
Balmerserie des Wasserstoffs bei höheren spektralen Auflösungen nicht einfache Linien sind; jede

94 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
von ihnen besteht vielmehr aus mehreren Komponenten. Aus derartigen Beobachtungen leitete
Sommerfeld eine Erweiterung des Bohrschen Modells ab. Sommerfeld berücksichtigte (1916),
daß ein Elektron im Coulombfeld nicht nur auf Kreisbahnen, sondern auch auf Ellipsenbahnen
umlaufen kann (wie die Planeten um die Sonne).
Für die Gesamtenergie W = W pot + W kin ergibt
sich klassisch (Keplerproblem)
W = − 1 Ze
2
2
4πε0a .
Die Gesamtenergie W ist nur von der großen Halbachse
abhängig!
Abb. 5.7: Bewegung des Elektrons auf Ellipsenbahnen
um den Kern.
Wir führen nun die generalisierten Koordinaten q1 = ϕ(t); ˙ϕ(t) =ω; q2 = r(t) ein, und schreiben
die Gesamtenergie als
Wkin = m
2 v2 = m
2 (˙r2 +(r ˙ϕ) 2 )= m
2 (˙r2 +(rω) 2 ) ,
damit ergeben sich die generalisierten Impulse zu
pϕ = ∂Wkin ∂ ˙ϕ = mr2 ˙ϕ = mr 2 ω = L = const.
und pr = ∂Wkin = m ˙r.
∂ ˙r
Berücksichtigt man jetzt die Quantisierungsbedingung, so läßt sich das Wirkungsintegral
schreiben als:
�
2
W kin dt =
�
p ϕ dϕ + � p r dr
= n ϕ h + n r h
= mr 2 �
ω2π + prdr ganzzahlig.
n ϕ ,n r
Der Sonderfall der Bohrschen Kreisbahn bedeutet r = const. und somit p r =0=⇒ n r = 0 und
2 � W kin dt = n · h. Allgemein gilt nun
n = n ϕ + n r
n = Bohrsche Hauptquantenzahl.
Die Sommerfeldsche Rechnung liefert (mit a0 = 4πε0�2 : 1. Bohrscher Radius).
me2 1. W = − Z2 Rhc
(n ϕ + n r )
2. a = a 0
Z (n ϕ + n r )2
Ze
= −1 2 2
2
4πε0a

5.4. Ellipsenbahnen nach Sommerfeld; l–Entartung 95
3. b = a 0
Z (n ϕ + n r )n ϕ
4. L = mr 2 ω = √ −2mW · b = a √
0
−2mW · (nϕ + nr ) · nϕ mit p =
Z
√ −2mW und W

96 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
Abb. 5.8: l–Entartung, Termschema stark vereinfacht.
k Nebenquantenzahl
l Bahndrehimpulsquantenzahl
s, p, d, f spektroskopische Bezeichnungen
W n,l = W n
Energiezustände sind entartet (unabhängig
von l).
5.5 Aufhebung der l–Entartung:
Feinstruktur des Wasserstoff–Spektrums
Die Entartung der Energieterme in Bezug auf die Bahndrehimpulsquantenzahl wird aufgehoben,
wenn die Voraussetzungen des Modells in Bezug auf die Energien nicht mehr gelten, das heißt
wenn z.B. ” Störungen“ dazukommen.
Für das H–Atom stellt eine solche Störung die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse
dar, also m e = m e (v). Bei Ellipsenbahnen mit kleinem l (kleiner Halbachse) ist die
Massenveränderlichkeit in der Nähe des Perihels besonders groß. Dies führt zu einer Absenkung
der Energie, denn vergrößerte Masse bedeutet nach Bohr einen kleineren Radius, das wiederum
eine größere (negative) Bindungsenergie.
Die relativistische Korrektur führt also zu einer Abhängigkeit der Energieterme von l (bzw. k).
Die Rechnung, die hier nicht durchgeführt werden soll, liefert (Sommerfeld 1916):
E n,k = − Z2 R H hc
n 2
mit α = e2 1
=
4πε0�c 137
�
1+ α2Z 2
n2 � � �
n 3
− + ...
k 4
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante

5.6. Aufhebung der l–Entartung bei Alkali–Atomen: Schalenstruktur der Elektronenhülle 97
Abb. 5.9: Aufhebung der l–Entartung.
Die relativistische Massenzunahme des Elektrons
führt zu einer Periheldrehung der Ellipsenbahn. Es
ergibt sich im anschaulichen Bild eine Rosetten-
”
bewegung“ des Elektrons um den Kern (Störung
des 1
r –Gesetzes), analog zur Periheldrehung der
Merkurbahn um die Sonne.
Die Aufhebung der Entartung führt also zu einer
Feinstruktur der H–Linien, z.B. die der Hα ,diezum
ersten Mal bereits 1887 von Michelson und Morley
mit einem Gitterspektrographen beobachtet
wurde.
H α :∆λ =0.14 A (bei 6563 A) bzw. ν =0.32 cm −1
Man beobachtet nur die im Termschema eingezeichneten Übergänge. Dies kann durch eine
Auswahlregel erklärt werden:
∆l = ±1
Trotz der Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment ist Sommerfelds Erklärung der
Feinstruktur (Aufspaltung der H–Terme)nur die halbe Wahrheit: Die Spin–Bahn–Kopplung ist
noch nicht bekannt!
5.6 Aufhebung der l–Entartung bei Alkali–Atomen:
Schalenstruktur der Elektronenhülle
Um 1915 waren Atomgrößen und Ionisationsenergien der Elemente annähernd bekannt. Man
erhielt folgende Ergebnisse
1. Alkali–Atome sind besonders groß,
2. ihre Ionisationsenergien für das 1. Elektron sind besonders klein,
3. ihre Ionisationsenergien für das 2. Elektron sind besonders groß.
Für die Ionisationsenergien ergeben sich Zahlenwerte der folgenden Tabelle:
A + A ++ A +++
Außerdem war die Tatsache aus der Chemie
bekannt, daß Alkali–Atome 1Valenz ( =
1H 2He 3Li 10Ne 11Na 18Ar K
1 3.6
24.5 54
5.4 75
21.6 41
5.147
15.8 28
4.3 32
122
64
72
41
46
eV
Leucht)–Elektron besitzen. Es war naheliegend,
die quantisierten Energiezustände des
Bohrschen Modells als Schalen“ zu betra-
”
chten, die der Reihe nach mit Elektronen besetzt
werden. Bei einem Alkali–Atom fängt
eine neue Schale an, mit einem Edelgas ist sie
abgeschlossen.
19

98 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
H He Li Ne Na Ar K Kr Rb X Cs
1 1 1 1 Z1 2 3 0 8 9 36 37 54 55
∆Z 2 8 8 1 8 1 8
n 1 2 3 (4)
Schale K L M (N)
∆Z ist die Zahl der Elektronen pro Schale.
Die genaue Erklärung für den Elektronen–Schalen–Aufbau gab erst das Pauli–Prinzip 1925, das
wir in Kapitel 9 noch behandeln werden. Das Termschema der Alkali–Atome können wir jedoch
qualitativ jetzt schon verstehen.
Abb. 5.10: Form des effektiven Potentials.
Wenn das Valenz– oder Leuchtelektron
eine neue Schale eröffnet, so ergibt sich
ein Quasi–Wasserstoff–Atom. Dieses
Leuchtelektron befindet sich in einem relativ
großen Abstand r vom Kern und
bewegt sich in einem � E–Feld der Kernladung
+Ze, das durch die Z − 1inneren
Elektronen weitgehend abgeschirmt
ist. Wir beschreiben die abschirmende
Wirkung der (Z − 1) Elektronen gemeinsam
mit dem Kernpotential durch ein effektives
Potential V eff für das Leuchtelektron.
Damit reduzieren wir das ursprüngliche Mehrteilchenproblem auf ein Einteilchenproblem. Bewegt
sich also das Leuchtelektron in großer Entfernung r vom Kern, so beträgt seine potentielle
Energie V = −e2
4πε0r . Die auf das Leuchtelektron wirkende Kernladung +Ze ist bis auf eine
Ladungseinheit durch die inneren Elektronen kompensiert. Je näher aber das Elektron an den
Kern gelangt, um so mehr unterliegt es der unabgeschirmten Wirkung der Kernladung. Hier gilt
für die potentielle Energie V = −Ze2 , d.h. das effektive Potential ist nicht mehr proportional zu
1
r .
4πε0r

5.6. Aufhebung der l–Entartung bei Alkali–Atomen: Schalenstruktur der Elektronenhülle 99
E/eV
s p d f H–Atom Nur diese Proportionalität ist aber für
die l–Entartung verantwortlich, wie wir
5p 4d 4f 4
in Kapitel 7.5.3 sehen werden. Som-
5s
-1
4p
fundamental
merfelds Ellipsen tauchen teilweise
3d
3
aber tief in die Abschirmung ein, d.h.
4s
für Elektronen mit kleinen l ist das
-2
sharp diffuse
1
r –Potential nicht mehr gegeben, und
somit ist auch die l–Entartung aufge-
3p
-3
hoben. Da die s–Elektronen den nicht
2
abgeschirmten Kern am stärksten ausgesetzt
sind, sind sie auch am stärksten
-4
principal
gebunden, danach die p–Elektronen
usw. . Dieser Effekt nimmt bei wach-
3s
-5
sender Kernladungszahl Z noch zu.
Für Natrium zum Beispiel liegt das
4s–Niveau schon niedriger als das 3d–
Niveau.
Abb. 5.11: Termschema für Natrium.
Für das Natriumatom erhalten wir das nebenstehende Termschema. Der entscheidende Unterschied
zum Wasserstoff–Atom liegt darin, daß die Aufspaltung in die s, p, d–Terme (Aufhebung
der l–Entartung) im Bereich von mehreren eV liegt, wohingegen beim Wasserstoff diese Aufspaltung
im Bereich von etwa 10−4 eV anzusiedeln ist.
Dieser Effekt ist um so größer, je kleiner die Hauptquantenzahl n ist. Für sehr große n, d.h.
weitab vom Kern, erhalten wir wieder wasserstoffähnliche Zustände, d.h. wieder sehr geringe
Aufspaltung.
Außerdem erlaubt dieses Termschema eine Einordnung der in Spektrallinien der Alkali–Atome
beobachteten Linien in Serien, wenn man als Auswahlregel für optische Übergänge noch die
Vorschrift ∆l = ±1hinzunimmt. Diese Auswahlregel wird in der Quantenmechanik noch
begründet.
Die Serien in den Emissionsspektren der neutralen Alkali–Atome werden durch Serienformeln
erfaßt, die der Balmer–Serienformel ähnlich sind.
Für die beiden Quantenzahlen n und l bestimmten Frequenzen erhalten wir die empirische Serienformel
für Na:
ν ∼
�
1
1
−
(3 − ∆(3, 0)) 2 (n − ∆(n, 1)) 2
ν ∼
�
�
1
1
−
(3 − ∆(3, 1)) 2 (n − ∆(n, 0))
n ≥ 3 principal–Serie (p → s)
2
ν ∼
�
�
1
1
−
(3 − ∆(3, 1)) 2 (n − ∆(n, 2))
n>3 sharp–Serie (s → p)
2
ν ∼
�
�
1
1
−
(3 − ∆(3, 2)) 2 (n − ∆(n, 3))
n ≥ 3 diffuse–Serie (d → p)
2
�
n>3 fundamental–Serie (f → d) .
Allgemein gilt offenbar
�
1
Wn,l ≈
(n − ∆(n, l)) 2
�
.

100 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
n − ∆(n, l) ist im allgemeinen eine nicht ganzzahlige Quantenzahl, n die dem H–Atom
entsprechende ganzzahlige Hauptquantenzahl und ∆(n, l) der zu den Quantenzahlen n und l
gehörende sogenannte Quantendefekt. Die empirisch bestimmten Zahlenwerte für Quantendefekte
sind für s–Elektronen am größten, nehmen mit steigender Bahndrehimpulsquantenzahl l
ab und sind weitgehend unabhängig von der Hauptquantenzahl n. Diese Quantendefekte erfassen
empirisch die unterschiedlichen Abschirmungen, die die s, p, d, ...–Elektronen durch die
Elektronen der inneren Schalen erfahren.
Aber die Theorie von Bohr–Sommerfeld liefert keine Erklärung für Dubletts. Dubletts sind
Doppellinien in den Spektren. Sie kommen dadurch zustande, daß alle Energieterme En,l von
Atomen mit nur einem Valenzelektron in 2 Terme aufgespalten sind. Diese Tatsache kann erst
mit der Spin–Bahn–Kopplung erklärt werden.
5.7 Röntgenspektren, Auger–Effekt
Zur Erinnerung:
• 1895 Entdeckung der Röntgenstrahlen durch Röntgen.
• 1908 Entdeckung der charakteristischen Strahlung (Röntgenspektren) durch Barkla.
• 1912 Vermutung einer atomaren Schalenstruktur von (J.J. Thomson, Rydberg; vor
Bohr!).
• 1912 Entdeckung der Röntgeninterferenzen durch v. Laue.
• 1913 Drehkristallspektrograph von Bragg.
Röntgenstrahlen sind noch kurzwelliger als UV–Licht. Ihre Frequenzen sind also sehr hoch.
Nach der Bohrschen Theorie müssen daher auch die Energieumsetzungen bei Quantensprüngen
beträchtlich sein (1keV – 100 keV). Derart hohe Werte setzen energiereichere Elektronenbahnen
voraus.
Beim Beschuß von Antikathoden aus schweren Atomen mit beschleunigten Elektronen entstehen
Röntgenstrahlen. Dazu zwei Erzeugungsmechanismen:
1. Beschleunigung im Kernfeld, man erhält die Bremsstrahlung. (vgl. Kapitel 4.4)
2. Ionisation innerer Schalen mit anschließender charakteristischer Strahlung (Röntgenspektren).
Charakteristisches Emissionsspektrum: Es wird deshalb so genannt, weil es für das Material
im gleichen Maße charakteristisch ist, wie das optische Emissionsspektrum für ein Gas oder
einen Dampf. Das Spektrum der charakteristischen Strahlung ist ein Linienspektrum. Experimentell
läßt sich das charakteristische Spektrum und das Bremsspektrum nicht trennen. Daher
ist dem charakteristischen Spektrum stets das Bremsstrahlungsspektrum überlagert (vgl. Abbildung
5.12).
Allgemein gilt für charakteristische Spektren: Im Gegensatz zu den optischen Spektren, die sehr
viele Linien mit recht komplizierter Abhängigkeit von der Kernladungszahl Z enthalten und

5.7. Röntgenspektren, Auger–Effekt 101
die einer starken Beeinflußung durch die chemischen Bindung unterliegen, beobachtet man bei
Röntgenspektren eine begrenzte Zahl von Linien, die in einige Serien zusammengefaßt werden
können. Diese Serien konvergieren zu einer kurzwelligen Grenze. Man bezeichnet die Serien mit
K, L, M, N, ..., die Linien innerhalb der Serien mit griechischen Buchstaben beginnend mit α,
d.h. z.B. die Linie des Übergangs von L nach K heißt K α –Linie, von M nach KK β –Linie (vgl.
Abbildung 5.13). Moseley fand im Jahre 1913 ein einfaches Gesetz, das die Frequenzen der
Spektrallinien mit der Ordnungszahl Z des emittierenden Elements verknüpft. Die erste Linie
der K–Serie, die Linie Kα , kann in guter Näherung geschrieben werden als
Kα : ν =(Z − σ Kα K ) 2 �
1 1
Rc −
12 22 �
Moseley: ν = Kα 3
Rc(Z − 1)2
4
und für die erste Linie der L–Serie gilt
Lα : ν =(Z − σ Lα L ) 2 �
1 1
Rc −
22 32 �
; Moseley: ν = Lα 5
Rc(Z − 7.4)2
36
σ K ≈ 1
σ L ≈ 7.4
wobei σ die Abschirmungskonstante der jeweiligen Seriengrenze bedeutet. Die Übergänge zwischen
inneren Schalen sind energiereicher als die Übergänge in äußeren Schalen.
Kossel deutete 1916 die Entstehung der Röntgenlinienspektren anhand des Bohrschen Atommodells
folgendermaßen: Zunächst muß das anregende Elektron ein Atomelektron aus einer
inneren Schale entfernen. Das so entstandene Loch wird durch äußere Elektronen aufgefüllt.
Für diese Auffüllung bestehen folgende Möglichkeiten:
1. Ein Elektron fällt unmittelbar (d.h. unter Überspringen sämtlicher Zwischenstufen) in den
freien Platz der inneren Elektronenbahnen zurück.
2. Es findet ein stufenweises Zurückfallen statt.
Zwischen diesen beiden Fällen gibt es verschiedene Kombinationsmöglichkeiten. Der Gesamtbetrag
der freiwerdenden Energie muß aber beim direkten Übergang gleich sein, wie bei einer
Übergangskaskade. Alle Übergänge, die auf der gleichen inneren Schale enden, treten gemeinsam
auf. Sie bilden zusammen eine Serie.
Damit wurde der Beweis der Schalenstruktur erbracht. Heute: Wichtiges Verfahren zur Z–
Bestimmung (Materialanalyse).
Z ählrate
λ min
K β
K α
Charakteristische
Linien
Bremskontinuum
λ =2d sin ϑ
Abb. 5.12: Charakteristisches Röntgenspektrum.
Abb. 5.13: Schema zur Erklärung der K, L,
M Serien im Röntgenspektrum, Übergänge
von Elektronen aus äußeren Schalen nach der
Ionisation (Erzeugung eines Loches in einer
inneren Schale).

102 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
Auger–Effekt
K L
N
M
Auger–
Elektronen
Abb. 5.14: Augerelektronenemission.
Eine Konkurrenz zur Emission der charakteristischen
Röntgenstrahlung stellt die Emission von Elektronen aus
äußeren Schalen dar. Das Atom gibt seine hohe Anregungsenergie
nicht in Form von elektromagnetischer
Strahlung sondern in Form von Elektronen ab (Auger–
Effekt); dadurch entsteht ein weiteres ” Loch“ in der Elektronenhülle.
Auf diese Weise kann man hochionisierte
Atome erhalten.
Erklärung: Zunächst wird die K–Schale ionisiert. Ein
L–Elektron fällt von der L– indieK–Schale und füllt die
dort entstandene Lücke.
Die frei werdende Energie wird benutzt, um ein zweites L–Elektron aus der L–Schale oder einer
anderen zu entfernen, dieses entweicht aus dem Atom. Im Endeffekt ist die L–Schale also um
zwei Elektronen ärmer geworden, diese werden wiederum von weiter außen liegenden Elektronen
nachgeliefert. Somit kann es zur Emission weiterer Auger–Elektronen kommen. Für die
kinetische Energie der Auger–Elektonen gilt
E kin = hν Kα − E L = E K − E L − E L = E K − 2 · E L
mit E K , E L : Bindungsenergie in der K, bzw.L–Schale.
Man stellt fest, daß die Wahrscheinlichkeit für solche strahlungslose Konkurrenzprozesse zur
Röntgenemission mit steigender Kernladungszahl stark abnimmt, d.h. daß bei leichten Atomen
die Wahrscheinlichkeit der Emission von Auger–Elektronen steigt.
1
.5
η
20 40 60 80
Z
Abb. 5.15: η in Abhängigkeit
der Ordnungszahl Z.
Abbildung 5.15 stellt dies anschaulich dar; wobei η wie folgt
definiert ist:
η =
Zahl der Röntgenlicht emittieren Atome
Zahl der in K, L, ... ionisierten Atome .
5.8 Anregung von Atomen durch Elektronenstoß
Die Ergebnisse der Bohrschen Theorie, insbesondere die Tatsache der diskreten Energieniveaus
im Atom, können experimentell überprüft werden. Diese Überprüfung sollte unabhängig von
den optischen Ergebnissen sein und die richtige Wiedergabe der Spektren zur Folge haben. Eine
Bestätigung bildet z.B. auch die Wiedergabe der Größe des Wasserstoff–Atoms und eine Messung
der Ionisierungsenergie aus der Seriengrenze der Lyman–Serie.
Davon unabhängige Experimente zur Untersuchung der Atomstruktur lassen sich mit Elektronen
durchführen.
Erste Untersuchungen der Wechselwirkung von Elektronen und Materie wurden bereits um 1890
von Lenard durchgeführt. Er stellte fest, daß 50 keV–Elektronen eine 3 µm dicke Al–Folie
(∼ 104 Atomschichten) bzw. 7 mm Luft bei Normalbedinungen mit ca. 80 % Wahrscheinlichkeit
durchdringen. Für die Abschwächung eines Elektronenstrahls (Transmissionsexperiment) gilt
das übliche Schwächungsgesetz (vgl. Kapitel 1.5). Sei N(x) die Anzahl der Teilchen am Ort x.

5.8. Anregung von Atomen durch Elektronenstoß 103
N 0
N(x)
x
Abb. 5.16: Zum Transmissionsexperiment.
Dann gilt: N(x) =N0e −αx α −
= N0e ϱ (ϱx)
α = n · σ,
n ist die Teilchendichte und σ der Wirkungsquerschnitt.
Lenard fand, daß der Massenabsorptionskoeffizient“
” α
ϱ materialunabhängig ist. Der Schwächungseffekt
des Primärstrahls beruht auf der Ionisation der Targetatome. Es kommt nämlich nur
auf die Zahl der Elektronen im Target an. Dafür spricht auch die Tatsache, daß der Zahlenwert
des Wirkungsquerschnitts für β = v
c =0.04 �= Wkin ≈ 400 eV etwa gleich dem geometrischen
Querschnitt ist:
σ(400 eV) ≈ 3 · 10 −16 cm 2
≈ geometrischer Querschnitt des Atoms.
Bei dieser Geschwindigkeit der Elektronen — also der Umlaufgeschwindigkeit der Atomelektronen
—ist v
c
etwa gleich 1
137 .
Mit zunehmender Einschußenergie folgt eine Abnahme des Wirkungsquerschnitts σ:
Abb. 5.17: Abnahme des Wirkungsquerschnitts in
Abhängigkeit von der Energie.
β = v
c W kin (keV) σ(10−16 cm 2 )
0.04 0.4 3.1
0.1 2.6 4· 10 −1
0.2 1 1 .8 · 10 −2
0.3 25 1.5 · 10 −3
0.5 79 1.1 · 10 −4
0.7 204 1.4 · 10 −5
Die Abnahme des Wirkungsquerschnitts beruht auf Verkleinerung der Wechselwirkungszeit für
die Ionisation: Materie wird ” durchsichtiger“. Dieses Ergebnis von Lenard war noch vor
Rutherford bekannt.
Eine Bestätigung der Bohrschen Theorie gelang durch folgende Versuche:
• Lenard untersuchte ab etwa 1902 die Ionisation von Atomen durch Elektronenstoß:
Glühelektronen werden im Raum zwischen Kathode K und Gitter G auf die Energie
W kin = eU G beschleunigt. Im Raum zwischen G und A besteht eine Gegenspannung
|U A | > U G . Die Elektronen können also gegen die negative Anode nicht anlaufen, sie
fallen zurück auf das Gitter G. Ist die kinetische Energie der Elektronen größer als die
Ionisationsenergie des Gases, also eU G ≥ W ionis , erfolgt eine Ionisation der Gasatome.
Die positv geladenen Ionen fliegen nun auf die Anode zu. Diese Ionisationsereignisse werden
als Strom an der Anode gemessen. Der Einsatzpunkt der Anodenstromkurve ist gleich der
Ionisationsspannung.

104 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
UG
− +
KG A
Gas
+ −
UA
IA
IA
eUionis = Wionis
Uionis
Abb. 5.18: Versuchsanordnung von Lenard; Anodenstrom als Funktion der Gitterspannung UG.
In der ” modernen Sprache“ würde man diese Experimente inelastische Elektronenstreuung
an Atomen unter Ionisation der Atome nennen.
• Im Jahre 1913 führten Franck und Hertz zum ersten Male Experimente durch, die nicht
zur Ionisation, sondern zur Anregung der Atome führten: Inelastische Elektronenstreuung
an Atomen unter Anregung.
K G A
U G
Hg 6 mbar
IA
IA
300
200
100
UA
UG
− + + −
≈ 0.5V 5 10
U∆W 2U∆W 3U∆W
Abb. 5.19: Versuch von Franck und Hertz.
Die Glühelektronen werden durch das Gitter beschleunigt.
Zwischen Anode A und Gitter G liegt eine kleine Gegenspannung UA .AnderAnodewird
der Strom IA als Funktion der Beschleunigungsspannung UG bei fester Gegenspannung UA gemessen.
Ist die Gitterspannung UG klein, so erfolgen elastische Stöße zwischen den Elektronen und
den Hg–Atomen.
Ist UG >UA , so steigt der Strom zunächst mit wachsender Spannung UG an. Bei einem
bestimmten Wert von UG = U∆W ≈ 5V (für Hg) sinkt IA jedoch stark ab. Es erreichen
also plötzlich viel weniger Elektronen die Anode A, und diesen Befund kann man nur so
deuten, daß diese Elektronen ihre kinetische Energie in anregenden Stößen an die Hg–
Atome abgegeben haben. Diese Anregung findet am Ort des Gitters statt. Sie besitzen
nun nicht mehr genügend Energie, um gegen die Gegenspannung von 0.5VoltdieAnodeA zu erreichen. Steigert man die Spannung UG weiter, so steigt die Stromstärke IA wieder
an, bis bei 9.8 Volt erneut ein starker Abfall erfolgt. Bei dieser Spannung können die
Elektronen auf ihrem Weg von K bis G zweimal anregen. Der Ort der unelastischen Stoße
ist dann in der Mitte zwischen Kathode und Gitter, und am Gitter selber.
Die Messung ergab U ∆W =4.89 V =⇒ λ = hc
eU ∆W
=2.537 A
Dies entspricht genau der Wellenlänge λ, die man im optischen Spektrum von Hg als
intensive Linie bei Emission und Absorption beobachtet.
UG

5.8. Anregung von Atomen durch Elektronenstoß 105
• Franck, Knipping und Einsporn haben 1920 die Versuchsanordnung verbessert: Durch
Trennung von Beschleunigungs– und Anregungsraum und durch indirekte Heizung erreicht
man eine größere Homogenität der Energien der beteiligten Elektronen und somit eine
Verbesserung des Auflösungsvermögens für den Energieverlust der Elektronen. Mit dieser
verfeinerten Meßanordnung zeigen sich in der Spannungskurve eine Vielzahl von Strukturen.
Diese entsprechen weiteren Anregungsstufen des Atoms.
Zum Versuchsaufbau: Sie verlegten gemäß Abbildung 5.20 die Elektronenbeschleunigung
auf die kurze Wegstrecke K, G 1 und unterdrückten durch Arbeiten bei sehr niedrigem
Gasdruck weitgehend alle anregenden Stöße. Im Gegensatz zu Abbildung 5.19 arbeitet
man hier im Stoßraum G 1 ,G 2 nur mit sehr langsam zunehmender Energie. Mit diesem
verbesserten Versuchsaufbau war es nun möglich, eine verfeinerte Kurve (vgl. Abbildung
5.20) aufzunehmen. Unter den so gefundenen Hg–Energieniveaus befinden sich bei 4.68 eV
und bei 5.29 eV solche, deren Übergänge im Grundzustand nicht beobachtet und deshalb
als ” verboten“ bezeichnet werden. Solche Energiezustände nennt man auch metastabil,
weil sie nicht durch Strahlung in tiefere Zustände übergehen, sondern eine größere Lebensdauer
besitzen. Die Auswahlregeln für Stoßanregung von Atomen sind offensichtlich nicht
identisch mit denjenigen für optische Anregungen.
K
indirekte
Heizung
U G
G 1
Hg
G 2 A
U A
I A
I A
4.68
4.90
5.29
5.78
Abb. 5.20: Verbesserte Versuchsanordnung von Franck, Kripping und Einsporn.
Abb. 5.21: Hg–Termschema.
6.72
Damit war nachgewiesen, daß Atome diskrete Energieniveaus
besitzen, die sich durch einen Elektronenstoß anregen
lassen. Diese Elektronenstoß–Versuche sind damit eine
ausgezeichnete Bestätigung der Bohrschen Theorie. Auch
der direkte Nachweis, daß die angeregten Zustände unter
Emission von Licht wieder zerfallen, gelang Franck und
Einsporn, indem sie die Licht ( = UV–) Quanten per Photoeffekt
an einer Photokathode nachwiesen:
Dabei sahen sie auch die metastabilen Zustände, die zwar kein Licht emittierten, aber ihre
Energie an die Photokathode abgaben, die Sekundärelektronen emittiert.
U G

106 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
metastabieles Atom
G
K
A
U K
hν
0.02 mbar
+0.1V
−U Ph
I Ph
I Ph
4.7 4.9 5.4
Abb. 5.22: Nachweis metastabiler Zustände.
In diesem Zusammenhang ist noch folgender Versuch interessant: Na–Dampf unter
niedrigem Druck kann durch Einstrahlung der gelben Na–Linie (Quantenenergie: 2.11 eV)
zum Leuchten angeregt werden. Die Anregung erfolgt nur, wenn das eingestrahlte Licht exakt
die Quantenenergie 2.11 eV besitzt. Sowohl kleinere, als auch größere Quantenenergien
im sichtbaren Spektrum bleiben für die Anregung unwirksam.
Anders jedoch bei Anregung durch Elektronenstoß: Bei dieser Anregung wird gelbes Na–
Licht emittiert, wenn die Energie der Elektronen gleich oder größer ist als 2.11 eV. Die
Erklärung hierfür lautet: Die kinetische Energie freier Elektronen ist nicht gequantelt!
Nach der Anregung eines diskreten Atomniveaus durch Elektronenstoß kann deshalb
ein beliebiger Betrag an kinetischer Energie dem anregenden Elektron übrig bleiben. Dieser
Betrag kann, wenn er groß genug ist, auch noch zur Anregung eines weiteren Atoms im
Gasgefäß dienen.
∗ 5.9 Energieverlust schneller Ionen in Materie
Auch Ionen (z.B. p + , He ++ ≡ α,...) zeigen eine Wechselwirkung mit den Elektronen der Atome,
wenn sie auf Materie geschossen werden. Hier interessiert man sich nicht für den Einzelprozeß,
sondern für die Folgeprodukte insgesamt. Nachweis von geladenen Teilchen in Teilchendetektoren:
• Nachweis des Lichts nach Anregung durch Photokathode und Multiplier,
• Nachweis der Elektronen (und Ionen) nach Ionisation durch Zählrohre, Halbleiterzähler
u.a. (Teilchendetektoren).
Die ersten Energieverlustformel wurde bereits von Bohr angegeben: Ion mit M, +Ze, �v und
E kin ≫ W ionis : quasifreie Elektronen.
Abb. 5.23: Zur Energieverlustformel.
Der Impulsübertragung auf ein Elektron beträgt: p y =
U K
F = Ze2 ZC
= ;
4πε0r2 r2 F x = − ZC
r 2 cos ϕ; F y
C = e2
=1.44 MeV
4πε0 �
+∞
−∞
F y dt =
�π
0
ZC
= sin ϕ
r2 ZC dt
sin ϕ
r2 dϕ dϕ

∗ 5.9. Energieverlust schneller Ionen in Materie 107
mit b = x tan ϕ � db =tanϕdx+ x
cos2 ϕdϕ =0.
damit ist
dϕ
dx
dt
dϕ
ϕ · cos ϕ
= −sin = −
x
b
r2 �
dt dx 1
= · = −
dx dϕ v
r2
�
= −
b
r2
b · v
p y =
�π
0
ZC
r 2
b
wegen sin ϕ =
�
− r2
�
sin ϕdϕ=
bv
Ze2
2πε0bv .
r
;cosϕ = x
r
p x = 0, da Symmetrie zu x = 0 herrscht. Damit beträgt der Energieübertrag auf ein Elektron
( = Energieverlust des einfliegenden Ions pro Atomelektron — bei festem Stoßparameter b):
Abb. 5.24:
Zur Zahl der Elektronen
am Zylinderrand.
EÜb = p2y Z
=
2me 2e4 8π2ε2 omeb2v 2 .
Die Zahl der Elektronen im Zylinderrand db · dx ist:
d 2 N = n A Z A · 2πb db · dx, wobei n A die Teilchendichte und Z A die
Elektronenzahl pro Atom ist.
Damit erhalten wir einen Energieverlust von: − d 2 E = E Üb · d2 N = Z2 e 4
und einen Energieverlust pro Weglänge von:
−dE
dx = Z2e4 4πε2 omev2 · nAZA · B mit der Bremszahl B =
4πε 2 0 m e v2 · n A Z A
� db
b .
Zur Berechnung der Bremszahl B muß man Atomeigenschaften berücksichtigen:
B =
bmax �
bmin
db
b
b min �=0;b max �= 0 , sonst divergent.
db
b dx
• b max : Es kann gerade noch die Energie übertragen werden, die der niedrigsten Anregungsenergie
im Atomen entspricht. Diese Energie korrespondiert mit der Elektronenumlaufgeschwindigkeit
v e .
b max ist erreicht, wenn v e
r e
= v
,alsobmax =
bmax v
.
ωe • b min : Schließt man den zentralen Stoß aus, so muß der relative Bahndrehimpuls mindestens
1� sein. Damit b min = �
m e v .

108 Kapitel 5. Das Atommodell nach Rutherford, Bohr, Sommerfeld
Wir können nun die Bremszahl B berechnen. Setzen wir dies in die Form für den Energieverlust
pro Weglänge ein, so erhalten wir:
− dE
dx = Z2 e 4
4πε 2 o m e v2 · n A Z A ln m e v2
�ω e
oder − dE
dx ∼ Z2M · nAZA Ekin mit �ω e ≈ I = I 0 Z A und I 0 ≈ 11 eV. Die ist ein Ausdruck für das Bremsvermögen, bzw. den
spezifischen Energieverlust, englisch: Stopping power.

Kapitel 6
Atomare magnetische Momente,
Richtungsquantelung
6.1 Magnetisches Dipolmoment, gyromagnetisches
Verhältnis, Larmorfrequenz
Das magnetische Dipolmoment einer Leiterschleife ist definiert als �µ := I · � A mit � A = A · �n.
Abb. 6.1: Zur Berechnung
der potentiellen Energie einer
Leiterschleife im Magnetfeld.
Abb. 6.2: Zur Berechnung
des Magnetischen
Momentes.
Im Magnetfeld � B wirkt auf �µ ein Drehmoment
�T = �µ × � B mit T = µB sin α.
Damit beträgt die potentielle Energie des Dipolmoments im
Magnetfeld
W pot =
�α
π/2
Tdα = −µB cos α = −�µ · � B . (6.1.1)
Wir wollen nun die Definition des magnetischen Dipolmoments auf
Atome übertragen und berechnen das magnetische Moment einer
Ladung, die gemäß Abbildung 6.2 auf einer Kreisbahn mit der
fließt ein Strom
Geschwindigkeit v umläuft. Bei der Umlaufzeit T = 2π
ω
I = q
T
Andererseits besitzt die umlaufende Masse einen Drehimpuls
qω
1
= , damit ist µ = IA =
2π 2 qr2ω. L = mr 2 ω.
109

110 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Also schreibt sich das magnetische Moment �µ
�µ = q
2m � L = γ � L . (6.1.2)
Bei positiver Ladung q sind die Vektoren �µ und � L zueinander gleich gerichtet. Die Proportionalität
von � L und �µ bezeichnet man als magnetomechanischen Parallelismus und
γ = q
2m
als das gyromagnetische Verhältnis. (vgl. Staudt Experimentalphysik II, Kap. 3.4)
Auf das magnetische Moment �µ wirkt ein äußeres Magnetfeld der magnetischen Flußdichte � B
in der Weise, daß es versucht die Richtungen der Vektoren �µ und � B parallel zu richten, da in
dieser Einstellung die potentielle Energie ihr Minimum hat: Drehimpuls � L und magnetisches
Dipolmoment �µ vollführen eine Präzessionsbewegung:
Abb. 6.3: Vektordiagramm
zur Berechnung der Präzessionsfrequenz
ωp.
�T = �µ × � B ⇐⇒ T = µB sin α
�T = �ω p × � �
L ⇐⇒ T = ωpL sin(π − α)
In Koordinaten:
�µ = (µ x ,µ y ,µ z )
�B = (0, 0,B)
Damit
⎧
⎪⎨
⎪⎩
�
⇒ �ω p = − µ
L � B = −γ � B
=⇒ � T =(µ y B,−µ x B,0) = ˙ � L
˙L x = µ y B = γL y B
˙L y = −µ x B = −γL x B
˙L z = 0 =⇒ L z = const.
Die Differentiation der Komponenten ˙ L x nach t ergibt: ¨ L x = γ ˙ L y B = −(γB) 2 L x . Dies ist die
Differenzialgleichung einer harmonische Schwingung. Eine Lösung erhält man durch den Ansatz
L x = a cos ω p t. Zweimal nach der Zeit differenziert erhalten wir ¨ L x = −ω 2 p a cos ω p t = −ω2 p L x .
Zusammen mit ¨ L x = −(γB) 2 L x ergibt sich ω p = γB.
wegen Ly = ˙ Lx γB und ωp = γB ist
=⇒ L 2 x + L2 y = a2 = const.
=⇒ L 2 x + L2 y + L2 z = L2 = const. .
L x = +a cos ω p t
Ly = −a sin ωpt Lz = const.
Die Präzessionsfrequenz ω p ist gleich der vom Zeeman–Effekt (vgl. Kapitel 3.5) her bekannten
Larmorfrequenz
ω p = γB = qB
2m = ω L .

6.1. Magnetisches Dipolmoment, gyromagnetisches Verhältnis, Larmorfrequenz 111
Sie ist unabhängig vom Einstellwinkel α!
Die Tatsache, daß zur Erklärung der magnetischen Eigenschaften der Materie kreisende Ladungen
nötig sind, ist schon lange bekannt: Ampèresche Ringströme. Mit diesen Strömen lassen sich
leicht Dia– und Paramagnetismus verstehen.
1. Diamagnetismus
Diamagnetische Stoffe besitzen kein permanentes atomares Dipolmoment. In diamagnetischen
Stoffen kreisen die Elektronen paarweise gegensinnig um den Atomkern. Es stehen
immer zwei Bahndrehimpulse � L antiparallel. Das in einem Magnetfeld auftretende Moment
des Stoffes muß deshalb erst beim Einbringen in ein äußeres Feld entstehen.
Um den Diamagnetismus zu erklären betrachten wir im Folgenden zwei unterschiedliche
Modelle, die beide aber zum selben Ergebnis führen.
• Im ersten Modell haben wir es mit einem Induktionsvorgang im Sinne der klassischen
Physik zu tun, bei dem die induzierten Ströme immer solche magnetische Momente
erzeugen, die dem äußeren Feld entgegengesetzt gerichtet sind (Lenz’sche Regel).
Damit ist verständlich, warum in diamagnetischen Stoffen die Flußdichte geringer
ist als die im äußeren Feld, bzw. die Suszeptibilität negativ sein muß. Für die paarweise
und gegensinnig umlaufenden Elektronen führen wir jeweils Einzelbetrachtungen
durch.
Man faßt das Elektron, wie oben erwähnt, als
Stromschleife auf. Bringt man eine solche Schleife
senkrecht zu den Feldlinien in ein Magnetfeld der
Flußdichte B, so ändert sich der umschlossene
Kraftfluß φ um
Abb. 6.4: Zur Erklärung des Diamagnetismus
mit Hilfe der Elektrodynamik.
∆φ = −Br 2 π. (6.1.3)
Findet diese Änderung in der Zeit ∆t statt, so tritt nach dem Induktionsgesetz im
Leiter eine elektrische Feldstärke E auf, wobei � Eds =∆φ/∆t sein muß. Bei einem
kreisförmigen Leiter kann unter Verwendung von (6.1.3) auch 2πrE∆t = −Br 2 π
geschrieben werden. Auf das Elektron in der Schleife wirkt also während der Zeit ∆t
ein Kraftstoß F · ∆t = eE∆t, der eine Impulsänderung m e ∆v = eE∆t hervorruft, die
nach obiger Gleichung die Geschwindigkeitsänderung
∆v = − Ber
= γBr
2me bewirkt. Es resultiert eine Umlauffrequenzänderung
∆ω = ∆v
r = γB = ω L .
Die Ladung kreist schneller oder langsamer.

112 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Abb. 6.5: Zur Erklärung des
Diamagnetismus mit Hilfe
der Kreiseltheorie.
• Im zweiten Modell führen wir für die Elektronen
wiederum jeweils Einzelbetrachtungen analog zu 6.1
durch. Das magnetische Moment �µ vollführt nach Abb.
6.5 eine Präzessionsbewegung mit ω p = qB
2m = ω L ,d.h.
der Ringstrom präzediert um � B. Wir haben damit eine
zusätzliche Kreisbewegung der Ladung um � B, was gleichbedeutend
mit einem zusätzlicher Ringstrom ist. Addieren
wir nun die Ergebnisse der beiden Einzelbetrachtungen,
so erhalten wir ebenfalls ein resultierendes �µ dia .
Es resultiert also bei beiden Betrachtungen ein induziertes
magnetisches Dipolmoment antiparallel zu � B! Mit (6.1.2)
ergibt sich:
�µ dia = I · � A = 1
2 qr2 �ω L = −
�
1
4 q2r 2
�
· 1
m � B
2. Paramagnetismus
Bei Stoffen mit ungepaarten Elektronen können sich die magnetischen Momente der Elektronenbahnen
nicht paarweise kompensieren. Die Atome besitzen ein permanentes magnetisches
Dipolmoment �µ, herrührend vom primären Ringstrom mit Kreisfrequenz ω. In
z–Richtung wirkt nur die Komponente �µ cos ϑ, außerdem kommen — im thermischen Gleichgewicht
— alle Einstellrichtungen gemäß ihrer potentiellen Energie W pot = −�µ � B bewichtet
mit der Boltzmannverteilung vor. Wir bilden den Mittelwert von �µ para :
|�µ para | =
�
|�µ|·cos ϑe−zdΩ Ω
�
e−zdΩ Ω
≈ |�µ|2 · B
3kT
mit z = − �µ � B
kT und dΩ =sinϑdϑdϕ. µ para
= |�µ|·coth µB
kT
− kT
µB
1 ( 2 = qr2ω) 2 �
· B 1
=
3kT 4 q2r 2
�
· (rω)2
1
· B ∼
3kT T
1 ∼ T : Curiesches Gesetz.
(6.1.4)
Die obige Formel für µ para ist nicht die ganze Wahrheit, da über den Raumwinkel Ω kontinuierlich
integriert wurde. Dies ist, wie wir in Kapitel 6.3 sehen werden jedoch falsch:
Richtungsquantisierung
Ein Vergleich beider Effekte zeigt, daß der Paramagnetismus ca. 300 mal stärker ist.
Experimentell ergibt sich für die magnetische Suszeptibilität χmag = µ − 1:
χ dia (N 2 ) = −12 · 10 −6
χ para (O 2 ) = 3450 · 10 −6
6.2 Bohrsches Magneton, g–Faktor
Setzen wir jetzt statt der allgemeinen Ladung q die Ladung des Elektrons ein: q = −e, soergibt
sich
µ = − 1
2 eωr2 und �µ = γ� L = − e
2m � L.

6.3. Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses 113
Während bei positiver Ladung q + die Größen � L und �µ parallel zueinander sind, sind für die
kreisenden Elektronen mit der (Ruhe–) Masse m die beiden Größen antiparallel:
Als Einheit des magnetischen Dipolmoments im atomaren Bereich
Abb. 6.6: Zum magnetomechanischenParallelismus.
definiert man die Größe, die einem umlaufenden Elektron mit dem Bah-
=1· � entspricht:
ndrehimpuls L =1· h
2π
µ B = e�
2m
wobei µ B =9.2740 · 10 −24 Am 2 beträgt.
Bohrsches Magneton
Daß die Beziehung �µ = γ � L auch im atomaren Bereich gilt, ist nicht selbstverständlich, es muß
am Experiment geprüft werden. Man definiert deshalb den Faktor γ neu:
�µ =+γ � L mit γ = g q
2m
, statt klassisch γ = q
2m .
Damit
�µ = −g e
2m � L = −g e�
2m · � L
� =⇒
�µ
= −g ·
µ B
� L
. (6.2.1)
�
Den g–Faktor für die Bahnbewegung nennt man gl –Faktor. Es wird sich herausstellen, daß:
g l =1 .
6.3 Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses
Aus der Beziehung (6.2.1) ergibt sich durch Erweitern
�µ = −gl µ B · � L
� = −gl µ B ·
�
l(l +1) L�
� ,
l(l +1)�
daraus folgt
� �L
�µ = −gl l(l +1)µB
| � L|
Die Quantelung des Drehimpulses in der Form
wobei � L
| � L|
die Richtung angibt.
| � L| = � l(l +1)� oder L 2 = l(l +1)� 2
wird hier vorweggenommen und erst später in der Quantenmechanik erläutert. Somit ist wegen
des magnetomechanischen Parallelismus auch der Betrag des magnetischen Dipolmoments
gequantelt:
�
|�µ| = gl l(l +1)µB oder µ 2 = g 2 l l(l +1)µ2B .
Auf Sommerfeld geht nun nicht nur die modellmäßige Einführung der Bahndrehimpulsquantenzahl
l (ursprünglich: Nebenquantenzahl nϕ ≡ k) zurück, sondern auch die modellmäßige
Einführung der Magnetquantenzahl ml (ursprünglich: Richtungsquantenzahl nα ).

114 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Wir hatten im vorigen Kapitel Ellipsen mittels der azimutalen Quantenzahl n ϕ und der radialen
Quantenzahl n r nach Größe und Gestalt gequantelt.
�L
�Lz
z
ϑ
r · sin ϑ
Abb. 6.7: Darstellung der Elektronenbahnen in
sphärischen Koordinaten.
ϕ
Die zu r, α und ϑ kanonischen Impulse sind:
Während
r
α
P
x
Nun werden wir auch die Lage im Raum
bestimmen, d.h. wir heben aus der kontinuierlichen
Mannigfaltigkeit aller möglichen
Raumlagen eine diskrete Anzahl gequantelter
Bahnen hervor. Zum besseren Verständnis
beschreiben wir die Elektronenbahnen wieder in
sphärische Koordinaten r(t), α(t) und ϑ(t). Die
Geschwindigkeit in sphärische Koordinaten ist
gegeben durch vr = ˙r, vϑ = r ˙ ϑ, vα = r sin ϑ ˙α
und v2 ges = v2 α + v2 ϑ + v2 r . Dann ist die kinetische
Energie:
W kin = m
2
�
˙r 2 + r 2 (sin 2 ϑ · ˙α 2 + ˙ ϑ 2 �
)
p r = ∂W kin
∂ ˙r = m ˙r, p α = ∂W kin
∂ ˙α = mr2 sin 2 ϑ ˙α und p ϑ = ∂W kin
∂ ˙ ϑ = mr2 ˙ ϑ.
p ϕ = mr 2 ˙ϕ = mr 2 ω = | � L| der Bahndrehimpuls ist, ist
p α = m(r sin ϑ) 2 ˙α = m(r sin ϑ) 2 · ω z = L z die z–Komponente vom Bahndrehimpuls.
Entsprechend unserer 3 Freiheitsgrade erhalten wir 3 Quantisierungsbedingungen
�
2
W kin dt =
=
�
�
p r dr +
�
p ϕ dϕ =
p r dr + mr 2 ω · 2π =
�
�
p r dr +
�
p α dα +
p r dr + m(r sin ϑ) · 2πω z +
= n r h + n ϕ h = n r h + n α h + n ϑ h
�
�
p ϑ dϑ
p ϑ dϑ
Stellt man nun den Ergebnissen von Sommerfeld den erst später gefundenen Ergebnissen der
Quantenmechanik gegenüber, so findet man
mr 2 ω = | � L| = n ϕ � ≡ k� | � L| = � l(l +1)�
m(r sin ϑ) 2 ω z = L z = n α � L z = m l · �
Nun kann L z maximal die Werte ±| � L| erreichen, also
−n ϕ ≤ n α ≤ n ϕ −l ≤ m l ≤ +l
n ϕ ,n α ganzzahlig l, m l ganzzahlig
n α : 2n ϕ +1Werte: − n ϕ ...0 ...n ϕ m l : 2l +1Werte: − l,...0,...l

6.3. Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses 115
Abb. 6.8: Richtungsquantelung: für die z–Komponente
des Drehimpulses � L sind nur diskrete Werte erlaubt.
Darstellung nach Sommerfeld.
cos ϑ = n α �
n ϕ �
Abb. 6.9: Richtungsquantelung in der Quantenmechanik.
cos ϑ =
m l �
� l(l +1)�
Wir sehen also, daß die Quantisierung des Vektors � L im Raum nicht beliebig ist, d.h. daß die
Ellipsenbahnen der Elektronen bei einem äußeren Magnetfeld (das eine Vorzugsrichtung angibt)
nicht jede Lage im Raum einnehmen können (Richtungsquantelung).
Wir verlassen nun die Sommerfeld–Theorie, die uns ja nur die halbe Wahrheit lieferte, und
werden im folgenden nur noch mit den Ergebnissen der Quantenmechanik weiterrechnen.
Da die z–Komponente des Drehimpulses Lz gequantelt ist, Lz = ml�, ist auch die z–Komponente
des magnetischen Dipolmoments µ z aufgrund des magnetomechanischen Parallelismus (�µ =
+γ� L) gequantelt:
µ z = g l · m l · µ B
mit m l = −l,...,0,...+ l.
Es hat sich eingebürgert, als Drehimpuls oft die Quantenzahl l = max � � Lz anzugeben.
� � �
µz
Entsprechend bezeichnet man als magnetisches Moment µ die Zahl µ =max . Mit diesen
µB
Beziehungen folgt aus (6.2.1):
µ = gl · l
Wir hatten in Kapitel 5 gesehen, daß die Energie eines Zustandes nur von der Hauptquantenzahl n
und (da die l–Entartung aufgehoben ist) von der Bahndrehimpulsquantenzahl l abhängt. Jetzt
ergebensichfür jedes l noch einmal (2l +1) neueml –Quantenzahlen, von denen die Energie
offenbar nicht abhängt:
Jeder Zustand mit der Energie Wn,l ist (2l +1)–fach ml –entartet.
Wie kann man die Entartung aufheben? Wegen des magneto–mechanischen Parallelismus �µ =
+γ� L und mit der potentiellen Energie eines magnetischen Dipolmoments im Magnetfeld � B:
Wpot = −�µ � B folgt eine Energieaufspaltung in einem Magnetfeld � B.
W pot = −�µ � B = −
�
−g l
�
l(l +1)µB · � L
| � �
·
L|
� B

116 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
oder kürzer:
= g l
W pot = g l m l µ B · B
� l(l +1)µB · B · cos ϑ = g l
� l(l +1)µB · B ·
W pot = −�µ · � B = µ z · B = g l m l µ B B ,
m l
� l(l +1)
mit anderen Worten: Die m l –Entartung wird durch ein äußeres Magnetfeld aufgehoben. Dies
führt zum Zeeman–Effekt und zur quantenmechanisch richtigen Formel für den Paramagnetismus.
Bei der Ableitung der Formel (6.1.4) für Paramagnetismus machten wir den Fehler,
daß über das gesamte Volumen integriert wurde. Aufgrung der Richtungsquantelung ist nun
nicht mehr jede Raumrichtung zugelassen, wir müssen also das Integral durch die Summe über
die quantisierten Zustände ersetzen. Wegen dieses Zusammenhangs heißt m l Magnetquantenzahl.
Fazit: Von den Größen � L und �µ kann nur der Betrag L 2 und µ 2 und die z–Komponente L z
und µ z angegeben werden. Diese Werte sind gequantelt. Die x– undy–Komponente mitteln sich
zeitlich wegen der Präzession heraus.
6.4 Stern–Gerlach–Experiment, Spin,
gs–Faktor, Einstein–de Haas–Effekt
Der Nachweis der Richtungsquantisierung gelang O. Stern und W. Gerlach 1922: Einschuß
von atomaren Kreiseln in ein inhomogenes Magnetfeld mit Hilfe eines Ag–Atomstrahls. (Ag ist
paramagnetisch)
Im Magnetfeld vollführen die Kreisel aufgrund des Drehmomentes � T = �µ × � B und des magnetomechanischen
Parallelismus �µ =+γ� L eine Präzessionsbewegung mit der Larmorfrequenz
ωL = γB gemäß Abbildung 6.10. Sie besitzen die potentielle Energie Wpot = −�µ · � B.
Das Magnetfeld ist inhomogen und damit wirkt auf die magnetischen Dipolmomente nicht nur
ein Drehmoment, sondern auch eine Kraft � F = − grad(−�µ � B) = grad(µ xBx + µ yBy + µ zBz ).
∂Bx Fx = µ x
∂x + µ ∂By y
∂Bx Fy = µ x
∂y + µ y
∂Bx Fz = µ x
∂z + µ y
∂x + µ ∂Bz z
∂x
∂By ∂y + µ ∂Bz z
∂y
∂By ∂z + µ ∂Bz z
∂z
Wegen der Präzession um z (Magnetfeld � B ↑↑ z !) ist µ x = µ y = 0. Der Magnet ist so geformt,
= 0. Damit bleibt
daß sich am Strahlort nur ein Feldgradient in z–Richtung ergibt: ∂Bz
∂x
∂Bz F = Fz = µ z
∂z
.
= ∂Bx
∂y

6.4. Stern–Gerlach–Experiment, Spin, g s –Faktor, Einstein–de Haas–Effekt 117
�B
�µ
Abb. 6.10: Präzessionsbewegung von
�µ um � B.
Abb. 6.12: Klassische Erwartung.
z
z
y
x
N
S
Blende
Schirm
Abb. 6.11: Stern–Gerlach–Versuch: Messung des magnetischen Momentes
von Ag–Atomen mit Hilfe der Atomstrahlmethode.
Klassisch sind alle Komponenten µ z kontinuierlich zugelassen.
Man erwartet auf dem Schirm eine kontinuierliche Verteilung in
z–Richtung.
Im Sommerfeld–Modell erwartet man für die Ag–Atome im Grundzustand mit n ϕ ≡ k =1,also
eine Richtungsquantisierung in drei Teilstrahlen gemäß den 3 Komponenten mit n α = −1, 0, 1.
Diesen Effekt suchten Stern und Gerlach.
Abb. 6.13: Ionisation
des Alkali–Atoms.
Sie verwendeten einen Ag–Atomstrahl, da der Nachweis von Atomstrahlen
damals allgemein noch Schwierigkeiten bot (Ag–Atome auf
Glasplatte aufgefangen und mit AgNO 3 und Photoentwickler sichtbar
gemacht).
Später benutzte man den Langmuir–Taylor–Detektor: Weil die Ionisierungsarbeit
kleiner ist als die ” Elektroneneintrittsarbeit“, wird das
Alkali–Atom ionisiert.
Stern und Gerlach beobachteten eine Aufspaltung in zwei Teilstrahlen. Damit war die Richtungsquantelung
nachgewiesen, aber die Tatsache von zwei Teilstrahlen war nach unserer bisherigen
Theorie unverständlich. Nach dieser würden wir außer den beiden Teilstrahlen einen weiteren,
nicht abgelenkten Teilstrahl, der der Lage senkrecht zum Magnetfeld entsprechen würde,
erwarten. Aus der Größe der Ablenkung, der bekannten (thermischen) Geschwindigkeit der Ag–
Atome und dem gemessenen Feldgradienten (Kraft auf Bi–Kügelchen) erhielten sie die Größe
von µ z :
µ z = ±µ B (±10%) .
Eine Aufklärung dieser Diskrepanz erfolgte durch G.E. Uhlenbeck und S. Goudsmit (1925)
indem sie einen Eigendrehimpuls = Spin �s des Elektrons einführten. Der Effekt der Aufspaltung
in 2 Teilsstrahlen läßt sich nur dadurch erklären, daß das s–Elektron des Ag–Atoms keinen
Bahndrehimpuls besitzt, d.h. l = 0. Jetzt dürfte es überhaupt keine Aufspaltung geben und
die Tatsache, daß wir zwei Strahlen sehen, muß an einer neuen Quantenzahl liegen, die den
gleichen Regeln gehorchen soll, wie die des Bahndrehimpulses. Nach diesen müssen, daß sich die

118 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
z–Komponenten immer um eine Einheit von � unterscheiden. Daher ist diese neue Quantenzahl
m s halbzahlig. Analog zum Bahndrehimpuls ordnet man dem Eigendrehimpuls den Betrag
|�s | = � s(s +1)� =
� �
1 1
2 2 +1
� �
3
1
� = � (mit s =
4 2 )
als eine neue Quantenzahl, die Spinquantenzahl s zu, wobei s := max � �
sz , sz = ms� und
�
ms = ± 1
2 ist. Mit der Einführung des Eigendrehimpulses lässt sich auch die damals schon
bekannte Tatsache, daß Einelektronenatome im Grundzustand paramagnetisch sind, erklären.
Aus dem Meßergebnis µ z ≈±1 · µ B und der Beziehung µ z = g · ms · µ B mit ms = ± 1
2 müßte
man auf
schließen.
Abb. 6.14: Aufbau des
Einstein–de Haas Versuchs.
g = g s ≈ 2
Jetzt erinnerte man sich an das Ergebnis des Einstein–de Haas–
Effekts (1915): Das Ummagnetisieren eines ferromagnetischen
Stabes, der an einem Torsionsfaden aufgehängt ist, ist mit einer
Drehung verbunden: Magneto–mechanischer Parallelismus.
gyromagnetisches Verhältnis fand man in guter Näherung
γ =
Als
∆µ
∆L ≈−e
m
Mit �µ = −g e
2m � L folgt g =2
Eine weitere Konsequenz dieses Versuchs ist, daß Ferromagnetismus mit dem Spin– (und nicht
mit dem Bahn– !) Moment verbunden ist und daß
e
gs ≈ 2 also �µ s = −gs �s ist. (6.4.1)
2m
Weitere Konsequenzen aus dem Stern–Gerlach Experiment:
1. Silber– und Alkali–Atome besitzen nur Spin–Magnetismus, also keinen Bahnmagnetismus.
Also muß der kleinste Bahnmagnetismus Null sein, damit l min =0 (und nicht k min =1:Sommerfeld).
An dieser Stelle müssen wir nun die Verstellungen Sommerfelds aufgeben, daß
sich Elektronen auf Ellipsenbahnen um den Kern bewegen und zur quantenmechanischen
Interpretation übergehen, wo wir keine Aussagen mehr über die genaue Bewegungsbahn
machen können. Man spricht nur noch von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten (ψψ ∗ ): ” Das
Elektron ist halt da“. Über die Bewegung des Elektrons kann man keine Aussagen machen,
was ja auch der Unschärferelation wiedersprechen würde. Der Paramagnetismus von Ag–
und Alkali–Atomen beruht auf dem Spin.
2. Drehimpulse und magnetische Momente der inneren Elektronen müssen sich kompensieren.
Man mißt nur den Effekt des äußersten (ungepaarten) Elektrons.

6.5. Spin–Bahn–Kopplung des Einelektronensystems, �µ von Bahn und Spin 119
6.5 Spin–Bahn–Kopplung des Einelektronensystems,
�µ von Bahn und Spin
Wie wir in Kap. 6.3 erwähnt hatten, hat es sich in der Literatur eingebürgert, für den Drehimpuls
eines Elektrons �l statt � L zu schreiben. Damit haben wir folgende Verhältnisse:
Bahndrehimpuls �l des Elektrons:
Spin �s des Elektrons:
| �l | 2 = l(l +1)�2 ; lz = ml� |�µ l | 2 = g2 l l(l +1)µ2B ; µ z = glml µ B
|�s | 2 = s(s +1)� 2 = 3
4 �2 ; s z = m s � = ± 1
2 �
|�µ s | 2 = g 2 s s(s +1)µ2 B =3µ2 B ; µ sz = g s m s µ B = ±µ B
Bahn z.B. l =1 Spin, s = 1
2
| � l| = � l(l +1)� = √ 2� |�s| = � s(s +1)� =
� ml = −l,...,0,...,+l
2l +1Werte
g l =1;l =max(m l )
lz = ml� =(−1, 0, +1)� sz = ms� = ± 1
2� �
|�µ l | = gl l(l +1)µB = √ �
2µ B |�µ s | = gs s(s +1)µB =2·
µ lz = g l m l µ B =(−1, 0, +1)µ B µ sz = g s m s µ B = ±µ B
� ms = ± 1
2
2Werte
g s =2;s = 1
2
�
3
4� =0.87�
Abb. 6.15: Zusammenhang zwischen magnetischem Moment und Bahndrehimpuls
bzw. Spin im Vektordiagramm. Die magnetischen Momente sind gleich.
� 3
4 µ B =1.74µ B
Spin und Bahnbewegung des Elektrons sind voneinander nicht unabhängig: Das umlaufende
Elektron erzeugt ein Magnetfeld � Bl , in dem sich das magnetische Spinmoment �µ s des Elektrons
einstellen kann: Spin–Bahn–Kopplung.
Diese potentielle magnetische Energie bedeutet eine Zusatzenergie im System. Da zwei Einstellmöglichkeiten
für µ gegeben sind bedeutet dies eine Aufspaltung der bisherigen Energi-
sz
eterme und damit der Spektrallinien als Folge des Spins. Dies bezeichnet man als Feinstrukturaufspaltung.
Die Schwierigkeit ist nun das Magnetfeld des Elektrons an seinem eigenen Ort zu berechnen. Man
betrachtet deshalb das Elektron im Ruhesystem, und läßt den Kern ums Elektron herumlaufen.

120 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Mit dem Biot–Savartschen Gesetz ergibt sich das Magnetfeld zu
Abb. 6.16: Zur Berechnung des Magnetfeldes
am Ort des Elektrons.
mit I = Ze 2πr
T ; v = T
� 2πr · I = Zev.
d � Bl = µ 0 Id�s × �r
4π r3 �B l = µ 0 �s 0 × �r
4π r3 I
= µ 0 × �r
Ze�v
4π r3 0
�s o × �r
r 3 Ids
= µ 0
4π
�2π
ds = µ 0 �s 0 × �r
4π r3 2πrI
Die elektrische Feldstärke des atomaren Zentralfelds ist � E = − Ze �r
. Setzen wir dies ein, so
4πε0 r3 folgt:
�B l = −ε0 µ 0 (�v × � E)=− 1
c2 (�v × � E) .
Die Feldstärke läßt sich durch das Potential ausdrücken:
damit
�F = −e � dV (r)
E = − ·
dr
�r
r ,
�B l = − 1
ec 2 r
dV (r)
(�v × �r)
dr
und mit dem Drehimpuls � l = �r × m�v = −m�v × �r schließlich
�B l = 1 1 dV (r)
· ·
emc2 r dr
�l. Die Rücktransformation ist kompliziert: Das Ruhesystem des Elektrons dreht sich bei jedem Umlauf
um seine Achse: Thomaspräzession. Die Transformation muß lorentzinvariant durchgeführt
werden. Diese Transformation ergibt den Faktor 1
2 , den Thomasfaktor. Damit erhalten wir
endgültig:
�B l =
1
2emc2 1 dV (r)
·
r dr
�l . (6.5.1)
Das durch die Relativbewegung von Kern und Elektron erzeugte Magnetfeld B l ist also propotional
und parallel zum Bahndrehimpuls � l des Elektrons. In diesem Magnetfeld der Bahnbewegung
stellt sich nun das magnetische Spinmoment und — damit verbunden — der Spin ein. Die
Wechselwirkungs–Energie zwischen der Bahn– und Spinbewegung ergibt sich mit (6.4.1) zu
V ls = g s
4m 2 c 2
Vls = −�µ s · � �
Bl = −
1
r
−g s
e
2m �s
� � 1
2emc2 1 dV (r)
·
r dr
� �
l
dV (r)
(
dr
�l · �s )=ζ(r)( �l · �s ) mit ζ(r) = gs 4m2c2 1 dV (r)
. (6.5.2)
r dr

6.5. Spin–Bahn–Kopplung des Einelektronensystems, �µ von Bahn und Spin 121
Zwischen Spinmoment �µ s und Bahnfeld � B l wirkt ein Drehmoment, und zwar ein gegenseitiges
Drehmoment:
Es wirkt auf �µ s ∼ �s bei festgehaltenen � B l ∼ � l : Drehmoment � Ts = �µ s × � B l
= ζ(r) · (�s × � l )= d�s
dt
und auf � Bl ∼ �l bei festgehaltenen �µ s ∼ �s : Drehmoment Tl � = � =
Bl × �µ s
−ζ(r) · (�s × �l )= d�l dt .
Also ist die Summe der Drehmomente
d�s
dt + d�l dt = d(�l + �s)
=
dt
� Ts + � Tl =0
=⇒ � l + �s = const. = �j .
Bei der Bewegung unter dem gegenseitigen Drehmoment bleibt eine Größe zeitlich konstant: der
Summen– (Gesamtdrehimpuls–)Vektor �j = �l + �s.
Wie sieht die Bewegung aus? Es ist
�T s = d�s
dt = ζ(r) · (�s × �l )+ζ(r) · (�s × �s ) = ζ(r) · (�s × (
� �� �
=0
�l + �s)) = ζ(r) · (�s × �j),
�T l = d�l dt = ζ(r) · (�l × �s )+ζ(r) · ( �l × �l ) = ζ(r) · (
� �� �
=0
�l × ( �l + �s )) = ζ(r) · ( �l × �j).
Wir erhalten also eine Präzessionsbewegung von �s und � l um �j. Die jeweilige Frequenz erhalten
wir aus den Beziehungen
Frequenz:
� Ts = d�s
dt = �ω ps × �s bzw. � Tl = d� l
dt = �ω pl × � l
ζ(r) · (�s × �j )=�ω × �s ps � �ω = −ζ(r) · �j
ps
ζ(r) · ( �l × �j )=�ω pl × �l � �ω = −ζ(r) · �j.
pl
D.h. durch die Spin–Bahn–Kopplung präzediert � l und �s um �j = � l + �s mit derselben Präzessionsfrequenz
�ω ls = −ζ(r) · �j, d.h. um so schneller, je größer die Kopplungsenergie ist.
ωls �
� l
Abb. 6.17: Spin–Bahn–
Kopplung im Vektordiagramm.
�j
�s
Für die z–Komponenten von �j gilt:
Der Gesamtdrehimpulsvektor �j muß als Drehimpulsvektor folgende
Eigenschaften haben:
Vektor �j ; Betrag |�j | = � j(j +1)�;
neue Quantenzahl j
des Gesamtdrehimpulses
Was kann man über die z–Komponenten sagen? Welche Werte kann
j annehmen?
j z = l z + s z = m l � + m s �,d.h.m j = m l + m s
.

122 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Analog zu Kapitel 6.4 gilt j =max( jz
)=max(mj ).
�
Nun haben wir aber das Problem, daß aufgrund der Präzessionsbewegung die z–Komponenten
von � l und �s nicht beobachtbar sind. Man sagt auch die z–Komponenten von � l und �s sind
verschmiert, d.h. die Kenntnis von m l und m s geht verloren, da sie sich bei der Präzession
zeitlich stets ändern. Um nun m j zu berechnen, bedienen wir uns folgenden Tricks: Wir denken
uns die Spin–Bahn–Kopplung ausgeschaltet. Dann haben wir also keine Präzession mehr und
m l und m s sind gute Quantenzahlen, d. h. sie sind beobachtbar. Wir gewinnen m j nun durch
einfache Addition von m l und m s . Damit ergibt sich für den Fall, daß
l =0,m l =0=⇒ m s
l =1,m l =1, 0, −1 =⇒ m s
l =2,m l =0, ±1, ±2 =⇒ m s
1 = 2 � m 1
j = 2
m s = − 1
2 � m j
= 1
2 � m j
m s = − 1
2 � m j
= 1
2 � m j
m s = − 1
2 � m j
= 3
2
= 1
2
= 5
2
= 3
2
, 3
2
, 1
2
= − 1
2
1 1 , 2 , − 2
1 3 , − 2 , − 2
, 1
2
, − 1
2
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
1 3 , − 2 , − 2
3 5 , − 2 , − 2
� j = 1
2
3 � j = 2 und j = 1
2
⎫
⎬
⎭
5 � j = 2 und j = 3
2
Die Quantenzahl j =max(mj ) kann offenbar nur die beiden Werte j = l ± 1
2 , entsprechend der
relativen Orientierung von � l und �s ( ” Parallel“: j = l + 1
2 , ”
mj
5
2
3
2
1
2
− 1
2
− 3
2
− 5
2
mj
Abb. 6.18: Kopplung von � l und �s zu �j;
Orientierungsmöglichkeiten von �j.
�s
z
�j
� l
�s
1
Antiparallel“: j = l − ) annehmen.
Bei ” eingeschalteter“ Spin–Bahn–
Kopplung präzedieren � l und �s um �j.
Bei dieser Präzession geht die Kenntnis
von m l und m s verloren. Gute Quantenzahlen
(also Beobachtungsgrößen, die
zeitlich konstant sind) sind jetzt | � l | 2 , |�s | 2 ,
|�j | 2 und m j . Wegen j z = m j · � wird also
der Öffnungswinkel des Präzessionskegels
durch die Magnetquantenzahl m j bestimmt,
d.h. weiter, daß es auch für j eine
Richtungsquantelung gibt.
Vorweg sei jedoch erwähnt, daß für optische Übergänge die Auswahlregel ∆l = ±1 ,∆j =0, ±1
gilt, wobei der Übergang von j =0zuj = 0 jedoch verboten ist. Diese Auswahlregel steht hier
als aus den Spektren abgeleitetes empirisches Ergebnis und wird erst später einsichtig.
Abb. 6.19: Vektorielle
Addition der Drehimpulse
zum Gesamtdrehimpuls �j.
Jetzt läßt sich die Kopplungsenergie berechnen. Mit Hilfe des Kosinussatzes
gilt
|�j | 2 = | �l | 2 + |�s | 2 +2�l · �s
� �l · �s =
�2 [j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)]
2
und daraus ergibt sich mit (6.5.2)
2

6.6. Zusammenfassung der Ergebnisse, Feinstruktur des H–Spektrums, Lamb–Shift 123
Vls = ζ(r) · �2
[j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)]
2
Vls = gs�2 8m2 1 dV (r)
· · [j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)]
c2 r dr
Die Spin–Bahn–Kopplungsenergie Vls wird damit durch die Quantenzahlen l, s und j, sowie
durch die Meßgröße ζ ausgedrückt, die sogenannte Spin–Bahn–Kopplungskonstante.
Welchen Einfluß hat nun die Spin–Bahn–Kopplung auf unser Termschema? Jedes Niveau mit
gegebenen Quantenzahlen n, l (ausgenommen l = 0), spaltet in zwei Niveaus auf, wobei der
relative Abstand der aufgespaltenen Linien nur von l abhängt (vgl. (6.5.3)).
Abb. 6.20: Aufspaltung der Energieniveaus
Wnl aufgrund der Spin–Bahn–
Kopplung.
Das Einsetzen von j = l ± s = l ± 1
2 ergibt
�
�
Vl+1/2 Vl−1/2 =
=
2
ζ(r) · 2 · l
2
ζ(r) · 2 (−(l +1))
�
∆Wls = ζ(r) · �2
(2l +1).
2
(6.5.3)
∆W ls ist die Energie, die aufgewandt werden muß, um das magnetische Spinmoment �µ s im Feld
der Bahn herumzudrehen.
Für das Wasserstoffspektrum erhalten wir das Termschema Abb. 6.23. Wenn man die Energieverschiebungen
V l+1/2 bzw. V l−1/2 mit ihrer Anzahl möglicher m j –Entartungen bewichtet (d.h.
mit der Zahl 2j + 1multipliziert), und aufsummiert, also
ζ(r) �2
2 l
� �
2 l + 1
� �
+1 + ζ(r)
2
�2
� �
(−(l +1)) 2 l −
2 1
� �
+1 =0
2
bildet, so ergibt sich Null: Der Schwerpunkt der Feinstrukturaufspaltung ist das unaufgespaltene
Niveau.
Fazit:
• Durch Wechselwirkung des Bahndrehimpulses mit dem Spin des Elektrons spaltet jedes
Niveau in zwei Niveaus auf, man erhält Dublett–Niveaus, beim oberen Zustand der
Natrium–D–Linien wird z.B. aus 3P :3P 1/2 und 3P 3/2 .
• Für s–Terme gibt es keine Aufspaltung, weil kein Magnetfeld da ist (l =0),zudemsich
der Spin einstellen könnte.
• Niveaus mit größerer Quantenzahl j liegen energetisch höher.
• Die Aufspaltung ist am größten bei den kleinsten Hauptquantenzahlen n.
6.6 Zusammenfassung der Ergebnisse, Feinstruktur des
Wasserstoff–Spektrums, Lamb–Shift
Von den Energiezuständen der wasserstoffähnlichen Atome (Einelektronensysteme) wissen wir
bis jetzt folgendes:
.

124 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Bohr–Sommerfeld Quantenmechanik
Wn = −Z 2 1
2π�cRH n2 Schrödingergleichung mit dem Coulombpotential
Wn identisch
Abb. 6.21: Termaufspaltung unter Nichtberücksichtigung der rel. Masse und der Spin–Bahn–Kopplung, l–
Entartung.
Die Berücksichtigung der relativistischen Masse durch Sommerfeld ergibt die Aufhebung der
l–Entartung (Feinstrukturformel) (vgl. Kapitel 5.5):
W n,k = −Z 2 2π�cR H
= −Z 2 2π�cR H
�
1
n2 + α2Z 2
n4 � ��
n 3
−
k 4
1
n2 − Z42π�cRHα 2
�
1
n3 3
−
k 4n4 �
Der erste Term ist der unverschobene Bohr–Term, der Korrekturterm ist also:
Sommerfeld Quantenmechanik
∆Wrel = −Z 4 2π�cRHα 2
�
1
n3 3
−
k 4n4 � Analog dazu die durch relativistische
Näherung der Schrödingergleichung
gefundene Formel
∆Wrel = − mc2
2 (Zα)4
�
1
n3 3
−
k 4n4 �
mit R H =
e 4 m
(4π) 3 ε 2 0 �3 c
∆Wrel = − mc2
2 (Zα)4
�
1
n3 (l + 1
3
−
2 ) 4n4 �
und α = e2
4πε 0 �c

6.6. Zusammenfassung der Ergebnisse, Feinstruktur des H–Spektrums, Lamb–Shift 125
Abb. 6.22: Termschema unter Nichtberücksichtigung der Spin–Bahn–Kopplung; nicht maßstabsgetreu.
Dies waren die bisher bekannten Ergebnisse, nun wollen wir noch die in Kapitel 6.5 besprochene
Spin–Bahn–Kopplung berücksichtigen.
Coulombpotential
Die Spin–Bahn–Kopplungsenergie ergibt sich im
V (r) =− Ze2
4πε0r �
dV Ze2
=+
dr 4πε0r2 mit (6.5.2) zu
ζ(r) �2
2 = g s �2 Ze 2
4πε 0 8m 2 c
1
· . 2 r3 In diese Formel geht nun der Bahnradius ein. In der quantenmechanischen Beschreibung
gibt es keine festen Bahnen. Für r müssen wir den entsprechenden quantenmechanischen Erwartungswert
einsetzen, den wir später noch behandeln werden. Wir verwenden ihn hier nur als
Rechengröße und fahren fort.
1
r3 =
n
Z3m3c 6
(4πε0 ) 3� mit a0 = 4πε0�2 mc2 Bohr Quantenmechanik
1
· 6 n
Z3
= 6 a3 0
· 1
n 6
(1. Bohrscher Radius)
ζ(r) �2
2 = gsmc2 (Zα)
8
4 · 1
n6 1
〈r3 Z3
=
〉 a3 0
ζ(r) �2
2 = gsmc2 (Zα)
8
4
1
n3l(l + 1
2 )(l +1)
1
n3l(l + 1
2 )(l +1)
(6.6.1)
In der Quantenmechanik ergeben die beiden Korrekturterme (relativistische
Massenänderung ∆W rel und Spin–Bahn–Kopplung V ls ) zusammen die Feinstruktur
Korrektur ∆W FS =∆W rel + V ls . Man erhält sie durch Lösung der Diracgleichnung, die Spin
und relativitische Effekte enthält.
∆WFS = − mc2
2 (Zα)4
�
1
n3 (l + 1
3
−
2 ) 4n4 �
∆WFS = − 1
2 mc2 4 1
(Zα)
n3 �
1
j + 1 −
2
3
�
4n
+ gsmc2 4 j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)
(Zα)
8
n3l(l + 1
2 )(l +1)
mit g s = 2 und j = l ± 1
2 .

126 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Dies ist die Feinstukturformel des Wasserstoffs von Dirac.
Wir sehen als wichtigstes Resultat, daß beim H–Atom in der Feinstrukturformel nur j und nicht
l auftaucht. Terme mit gleichem j besitzen die gleiche Energie: j–Entarung 1 . Im Termschema
kann man nun sehen, daß die Spin–Bahn–Aufspaltung mit wachsendem n und l abnimmt.
rel.
rel.
Abb. 6.23: Termschema des Wasserstoffs; nicht maßstabsgetreu.
∆WFS = − 1
2 mc2 4 1
(Zα)
n3 �
1
= −72.67 · 10 −5 eV · 1
n 3
Die optischen Übergänge im Termschema
ergeben sich unter Berücksichtigung der
Auswahlregeln.
∆l = ±1
∆j = 0, ±1(0 �→ 0)
Optische Übergänge sind also nur erlaubt,
wenn sich dabei der Betrag des
Bahndrehimpuls ändert. Der Betrag des
Gesamtdrehimpules j kann dagegen erhalten
bleiben. Zahlenmäßig beträgt die Verschiebung
j + 1 −
2
3
�
4n
�
1
j + 1 −
2
3
�
4n
s1/2 : n =1; j = 1
2 : ∆W �
FS = −72.67 · 10−5 1 − 3
4
p1/2 : n =2; j = 1
2 : ∆WFS = −72, 67 · 10−5 · 1
�
8
p 3/2 : n =2; j = 3
2 : ∆W FS = −72.67 · 10−5 · 1
8
�
1 − 3
�
�
8
�
1 3
−
2 8
für Z =1
= −1.82 · 10 −4 eV
= −0.87 · 10 −4 eV
= −0.41 · 10 −4 eV
Die relativistische Verschiebung und die Spin–Bahn–Kopplung liegen in gleicher Größenordnung
bei etwa 10 −4 eV (verglichen mit etwa 10 eV). Die experimentelle Beobachtung erfordert
eine hohe spektrale Auflösung (Mikrowellenspektroskopie). Die Größe von B l ergibt sich zu
B l ≈ 1T�=10 4 Gauss. Quantenelektrodynamische Effekte (Wechselwirkung des Elektrons mit
seinem eigenen Strahlungsfeld: z.B. Vakuumpolarisation) wirken bindungslockernd insbesondere
bei Elektronen, die große Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Zentralkraftzentrum (Kern) besitzen,
also den s–Elektronen. Anders ausgedückt: Bei sehr kleinen Abständen der Ladungen treten Abweichungen
vom Coulombpotential auf, die sich aus der Quantisierung des elektromagnetischen
Feldes ergeben.
1 Im eigentlichen Sinne würde man bei dem Begriff ” Entartung“ erwarten: Terme mit verschiedenem j besitzen
die gleiche Energie. In der Literatur jedoch spricht man in diesem Fall denoch von j–Entartung.

6.7. Feinstruktur der Alkali–Spektren 127
Abb. 6.24: Niveauskizze
zur Beobachtung der Lamb–
Shift beim H–Atom; nicht
maßstäblich.
Die ” Verdünnung“ des Coulombfeldes bei sehr kleinen Distanzen
sollte daher eine etwas schwächere Bindung für s–Zustände bewirken,
als für energetisch gleiche p–Zustände. Durch diesen Effekt
wird also die j–Entartung aufgehoben und das s–Niveau ein
wenig nach oben gesetzt. Diese Erscheinung nennt man Lamb–
Shift: Aufhebung der j–Entartung!
Die Aufspaltung (2s 1/2 − 2p 1/2 )beträgt 4.4 · 10 −6 eV �=10 9 Hz =
1GHz und entspricht damit etwa 10% der FS–Aufspaltung. Messung
des Lamb–Shifts durch erzwungene Übergänge von 2s 1/2 →
2p 3/2 =10GHz�= λ = 3 cm durch Lamb und Retherford 1947.
Die zur Kennzeichnung der Energieterme des Wasserstoff–Atoms
nötige Symbolik können wir jetzt erweitern.
Haben wir bisher die Terme mit 1s, 2s, 2p, 3s,... bezeichnet, so schreiben wir jetzt die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
j als Index. Schließlich kennzeichnet man die Multiziplität 2s +1(s ist
die Spinquantenzahl) durch eine Zahl links oben am Bahndrehimpuls–Buchstaben. Bei einem
Einelektronensystem sind die Terme Dublett–Terme, weil der Spin des einen Elektrons zwei
Einstellungsmöglichkeiten zum Bahndrehimpuls hat.
Die s–Terme spalten nicht auf. Trotzdem schreibt man bei einem Einelektronensystem auch für
s–Terme die Multiziplität 2.
Man erhält damit fogende Symbole
2 2 s 1/2
für einen Zustand, bei dem das Leuchtelektron die Quantenzahlen n =2,
l =0,j =1/2 hat.
� für einen Zustand, bei dem das Leuchtelektron die Quantenzahlen n =2,
2 2p1/2 2 2p3/2 l =1,j =1/2 bzw.3/2 hat,
oder allgemein die Symbolik n 2s+1lj für ein Einelektronensystem.
6.7 Feinstruktur der Alkali–Spektren
Wir haben bisher nur das Wasserstoff–Atom betrachtet. Beim Übergang vom Einelektronensystem
zum Mehrelektronensystem müssen wir unsere Termsymbolik dahingehend ändern, daß wir
an den Stellen für s, l, j die großen Buchstaben S = �
i s �
i (Gesamtspinquantenzahl), L = i li (Bahndrehimpulsquantenzahl), J = S + L (Gesamtdrehimpulsquantenzahl) schreiben, wobei si ,
li die Quantenzahlen der einzelnen Elektronen sind. Wir erhalten die allgemeine Nomenklatur
der Terme:
Term n 2S+1 L π J
n : Hauptquantenzahl des am höchsten
angeregten Elektrons
L : Termcharakter: S, P , D, ...Term
2S + 1: Multiplizität
J : Gesamtdrehimpuls
.

128 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
Es ist üblich, aber leider verwirrend, daß der Buchstabe S nun gleichzeitig zwei ganz verschiedene
Bedeutungen hat: Einmal steht S für den Bahndrehimpuls L = 0 und einmal für den Gesamtspin
S = �
i si .
Durch den Effekt der Spin–Bahn–Kopplung zeigen auch Alkali–Atome eine Aufspaltung der
Terme.
Feinstruktur durch Spin–Bahn–Kopplung:
Na : 3P → 3 2 P 1/2 und 3 2 P 3/2 : ∆ = 2.13 · 10 −3 eV
K : 4P → 4 2 P 1/2 und 4 2 P 3/2 : ∆ = 8.41 · 10 −3 eV
Cs : 6P → 6 2 P 1/2 und 6 2 P 3/2 : ∆ = 68.7 · 10 −3 eV
Da die S–Terme einfach und die P – und D–Terme doppelt vorhanden sind, erhält man Dublett–
Charakter für die prinzipal– und der sharp–Serie, d.h. man erhält jeweils 2 Linien. Linien der
diffuse– und der fundamental–Serie sind aufgrund der Auswahlregeln ∆l = ±1 ,∆j =0, ±1
dagegen Tripel.
n=4
n=3
n=2
S P D F
1/2
3/2
1/2
5/2
3/2
7/2
5/2
5/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1/2
Abb. 6.25: Termschema für Alkali–Atome mit Einschluß der
Spin–Bahn–Wechselwirkung; nicht maßstäblich.
Abb. 6.26: Erlaubte und verbotene Übergänge zwischen
P– und D–Zustände des Alkali–Atoms.
6.8 Feinstruktur der Röntgenemissionslinien, Röntgenkanten
bei Absorption
Die Linien, die wir mit K α , K β ,...,L α , L β ,... usw. bezeichneten, stellen diejenigen Übergänge
aus den entsprechenden Schalen mit höherer Hauptquantenzahl n dar (vgl. Kapitel 5.7). Die
Emissionslinien, die dadurch entstehen, daß ein Loch in einer inneren Schaale aufgefüllt wird,
bedeuten, daß wir Energie gewinnen, wenn ein Loch geschlossen wird.
Ein besseres experimentelles Auflösungsvermögen zeigt jedoch, daß auch diese Linien eine viel
differenziertere Struktur aufweisen. Der Grund für diese Feinstruktur ist in der Spin–Bahn–
Wechselwirkung zu suchen (vgl. Kapitel 6.5) (Analog zur Feinstruktur optischer Linien). Die
Zunahme der Energie dieser Wechselwirkung ist proportional zu Z 4 .

6.8. Feinstruktur der Röntgenemissionslinien, Röntgenkanten bei Absorption 129
Abb. 6.27: Schema zur Feinstruktur der Röntgenspektren.
Die durch die Quantenzahl n charakterisierten
Schalen (K,L,M,...) werden nun in Unterschalen
unterteilt und mit römischen Zahlen
numeriert. Die Enegieaufspaltung ist jedoch
unterschiedlich und in Abbildung 6.27 nicht
maßstabsgetreu gezeichnet. Sie beruht bei gleichem
l auf der normalen Dublett–Aufspaltung
und sonst auf der unterschiedlichen Abschirmung.
Die Aufspaltung der L–Schale z.B.
beträgt zwischen L II und L III :
W (L II ) − W (L III ) ∼ (Z − 3.5) 2
Z =20 : Ca : 3.7eV
bei:
Z =40
Z =60
:
:
Zr
Nd
:
:
84eV
412eV
Z = 81: Tl : 2050 eV
Röntgenstrahlung wird beim Durchgang von
Materie wie jede elektromagnetische Strahlung
absorbiert und gestreut.
Röntgenstreuung wurde bereits behandelt: Thomson–Streuformel, Compton–Streuung.
Röntgenabsorption erfolgt ebenfalls nach dem Exponentialgesetz. Man mißt primär den Schwächungskoeffizienten
µ entsprechend der Gleichung
I = I0e −µx µ
−
= I0e ϱ (ϱx) ,
wenn x die durchstrahlte Dicke, I0 die einfallende und I die durchgelassene Intensität ist.
Röntgenabsorption bedeutet — wie bei der Absorption des sichtbaren Lichts — im Bohrschen
Modell, den Übergang eines Elektrons von einer tieferen in eine höhere Schale. Nun sind aber die
höheren Schalen alle besetzt! Also bleiben nur die Übergänge ins Kontinuum oder in die dicht
darunter liegenden optischen“ Niveaus.
”
[cm2 σ
]
10 −19
10 −20
10 −21
10 −22
10 −23
Pb
10 100 1000
E
[keV]
Abb. 6.28: Absorptionskoeffizient für Röntgenstrahlen
im Bereich der L– und K–Kante.
Typisch für Röntgenabsorptionsspektren ist ein starkes
Abnehmen des Absorptionskoeffizienten σ
mit zunehmender Gesamtenergie und das Auftreten von
sogenannten Absorptionskanten.
Sie treten da auf, wo die Quantenenergie des Röntgenquants
gerade zum Absorptionsübergang aus einer neuen
(tieferen) Schale in das Grenzkontinuum ausreicht. Sie
entsprechen den Seriengrenzen der Serien K,L,M,...
und werden entsprechend bezeichnet. Auch die Unterschalen
treten als Kanten in Erscheinung, im Schaubild
als L I –, L II – und L III –Kante.
K–Kante: Übergang von der K–Schale ins Kontinuum
L–Kante: Feinstruktur: L I ,L II ,L III –Kante.
Als Folge der Röntgenabsorption tritt Röntgenfluoreszenz auf. Wir sprechen genau dann von
Röntgenfluoreszenz, wenn durch Bestrahlung von Atomen, Molekülen oder Festkörpern durch
Röntgenlicht wieder Röntgenlicht emittiert wird. Durch Absorption wird ein Elektron z.B. aus

130 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
der K–Schale ins Kontinuum gehoben, was eine Röntgenkaskade zur Folge hat. Die Wellenlänge
des Röntgenfluoreszenzlichtes ist größer oder höchstens gleich derjenigen des Anregungslichts, da
zur Anregung der Linien einer Serie im Spektrum die Quantenenergie der energiereichsten, d.
h. kurzwelligsten Linie, sprich der Kante gebraucht wird. So wird zum Beispiel zur Anregung
der K α –Linie die Quantenenergie der sogenannten K–Kante benötigt. Dies ist ein wichtiges
Verfahren für die zerstörungsfreien Materialanalyse.
∗ 6.9 Spin–Bahn–Kopplung bei Streuprozessen:
Mott–Streuung
Auch bei der Streuung von Teilchen mit Spin bzw. mit einem magnetischen Dipolmoment spielt
die Spin–Bahn–Kopplung eine Rolle. Ihre Berücksichtigung führt zu einer Modifizierung der
Rutherfordformel (Streuung von Teilchen ohne Spin an Kernen) zur Mottformel (Streuung von
schnellen Elektronen an Kernen). Schnelle Elektronen (E ∼ 1MeV → GeV) sind relativistische
Teilchen.
Also zunächst die Rutherfordformel für relativistische Teilchen
dσ
dΩ =
� Z1 · Z 2 · e 2
2(4πε 0 )
�2 �
E
E 2 − E 2 0
Andererseits ist mit p = mv; m = m0 √
1−β2 ; E2 = E2 0 + p2c2 damit
�
E
E 2 − E 2 0
� 2
= m2 0 c4 + p 2 c 2
p 4 c 4
= m2 0 + m2 β 2
p 4
dσ
dΩ =
�
Z1Z2e2 �2
·
2(4πε0 )E0 1 − β2
β4 1
·
sin4 ϑ
2
E0 = m0c2 ist die Ruheenergie des gestreuten Teilchens.
−→
dσ
dΩ =
mit E = E 0 + E kin :
� Z1 · Z 2 · e 2
E
E 2 −E 2 0
4(4πε 0 )
�2
·
1
E 2 kin
·
1
4 ϑ sin 2
→ 1
2 E kin für E kin ≪ E 0 .
� 2
·
1
sin 4 ϑ
2
= m2 1
=
p4 m2 1 − β2
=
v4 E2 0β4 Rutherford — relativistisch.
Rutherford — nicht relativistisch.
Bei der Rutherfordstreuung ist die potentielle Energie gleich der Coulombenergie:
V (r) = −Ze2
4πε 0
· 1
r
mit (Z 1 =1;Z 2 = Z).
Ein bewegtes geladenes Teilchen sieht aber in seinem Ruhesystem neben dem Coulomb–Feld
auch ein Magnetfeld (vgl. (6.5.1)) mit
�B l = − 1
c2 (�v × � 1 1 dV (r)
E)= ·
2em0c2 r dr �l.

∗ 6.9. Spin–Bahn–Kopplung bei Streuprozessen: Mott–Streuung 131
In diesem Feld kann sich das magnetische Dipolmoment des gestreuten Teilchens einstellen. Das
verändert die potentielle Energie
Abb. 6.29: Skizze zur Streuung.
V = −�µ s · � Bl = gs 1
·
4m0c2 r
dV (r)
(
dr
�l · �s)
Man nennt diese Teilchenstreuung nach Spinstellung Polarisation
1.Streuer (Polaris.)
2.Streuer (Analysat.)
Abb. 6.30: Versuchsaufbau; schematisch.
2
P =
Je nachdem, ob � l · �s kleiner oder größer als Null
ist, wird das Gesamtpotential vergrößert oder
verkleinert und damit die Ablenkkraft unterschiedlich
verändert (also je nachdem ob � l und
�s parallel oder antiparallel sind). (Im Beispiel:
mit � l · �s >0: Stärkere Kraft, also mehr Teilchen
mit ⇓ nach rechts bzw mit ⇑ nach links. Aber:
nach rechts und links gleich viele Teilchen.)
Z ⇑−Z ⇓
Z ⇑ +Z ⇓
Transversalpolarisation: Ein zweiter Streuer
wirkt als Analysator. Man erhält jetzt einen Intensitätsunterschied
zwischen rechts und links.
Die Berücksichtigung dieser Zusatzkraft führt
zur Mottschen Streuformel:
dσ
dΩ =
�
Ze2 �2
·
2(4πε0 )E0 1 − β2
β4 �
1
· 4 · 1 − β ϑ sin 2
2 =
�
2 ϑ
sin
2
dσ
� �
�
�
d�
· 1 − β
Ruth
2 �
2 ϑ
sin
2
Für hochrelativistische Teilchen geht β → 1und
1 − β2 E2 �
E
=
0β4 E2 − E2 �2 →
0
1
,
E2 damit ergibt sich:
dσ
dΩ =
� �2 2
2 ϑ
Ze cos 2
2(4πε0 )E 4 ϑ sin
= dσ
�
�
�
dΩ
2 ϑ
· cos
2
(E0 ≪ E, Zα ≪ 1).
Für die Streuung an schweren Kernen gilt
dσ
dΩ
�
dσ �
= �
dΩ
� Ruth
�
ϑ
2 ϑ sin 2
· cos 1+πZα
2
� Ruth
� �
ϑ 1 − sin 2
cos 2 ϑ
2
+ ...(Zα) 2 ...
�
E 0 ≪ E; Zα �≪ 1.

132 Kapitel 6. Atomare magnetische Momente, Richtungsquantelung
∗ 6.10 (gs − 2)–Experiment
Die Dirac–Theorie liefert für den g s Faktor des Elektrons den Wert g s = 2. Die Berücksichtigung
der Wechselwirkung des Elektrons mit seinem eigenen Strahlungsfeld (QED–Effekte) liefert einen
um etwa 1
1000 höheren Wert.
gs =
�
2 1+ α
�
α
�2 �
α
�3 �
α
� �
4
− 0.328478 ... + a6 + O
2π π π π
(gs − 2) Theor. = 0.002319310(6)
Die Präzisionsmessungen von (gs − 2) erfolgten an der University of Michigan durch Crane und
Mitarbeiter. Die Messungen beruhen auf dem Vergleich der Frequenzen:
Zyklotronfrequenz (Umlauffrequenz) mvω = evB � ωc = e
m B
und Larmorfrequenz ω L = ω s = g s µ B B
�
= g s
2
e
m B
Wenn g s =2wäre, wären ω c und ω s identisch und der Spin des Elektrons müßte immer senkrecht
zum Impuls stehen. Wegen der Abweichung des g–Faktors von 2 tritt aber eine zusätzliche Präzession
von �s und �p e auf, die eine empfindliche Messung ermöglicht. Ein gepulster Elektronenstrahl
von 100 ns Länge und 100 kV Energie wird zunächst an einer Goldfolie gestreut.
Zunächst Mott–Streuung � Transversalpolarisation, die durch die Coulombstreuung um 90◦ abgelenkten Elektronen werden durch die Spin–Bahn–Kopplungsenergie senkrecht zur Impulsrichtung
polarisiert. Sie laufen dann in ein Magnetfeld von 0.1T, dessen Feldverlauf so gewählt
ist, daß an beiden Seiten magnetische Spiegel entstehen. Durch geeigneten Spannungsstoß zwischen
Metallzylindern werden sie so verlangsamt, daß sie die Feldregion nicht mehr verlassen
können und zwischen den magnetischen Spiegeln hin und her pendeln. Nach gewisser Zeit T
wird durch erneuten Spannungsstoß der Weg zur zweiten Streufolie, die als Analysator für die
Polarisationsrichtung wirkt, freigeben. Dadurch kann man die Spinstellung von �s relativ zur
Impulsrichtung der Elektronen als Faktor der im Feld verbrachten Zeit T beobachten. Wegen
ωs �= ωl wird Transversalpolarisation → Longitudinalpolarisation → Transversalpolarisation. Die
Mott–Streuung ist nur empfindlich auf eine Transversalpolarisation. Damit Zählrate im Detektor
als Funktion von T → Schwebungsfrequenz.
Ts = 2π
ωs − ωl Ergebnis (1972): (gs − 2) exp =0.00231934(7)
Ein neueres und genaueres Experiment wurde von Dehmelt und Mitarbeitern 1977 durchgeführt
(Nobelpreis 1989). Die Messung ist ein
gs e
ωs − ωc 2mB − m =
ωc B
e
mB = gs 2 − 1=g s − 2
–Experiment.
2
Das Experiment beruht auf der Messung der Energieaufnahme eines einzelnen Elektrons, eingefangen
in einer magnetischen Flasche.
Man erhält
gs 2 = ωs =1.001159625410 (200) (12 Stellen!)
ωc

6.11. Überblick über die Quantenzahlen 133
6.11 Überblick über die Quantenzahlen
Name Mögliche Bedeutung Mathematischer
Werte Zusammenhang
n Hauptquantenzahl 1, 2, 3,... Energie in erster
Näherung
l Nebenquantenzahl 0 ≤ l ≤ n − 1 quantenmechanischer | � l| = � l(l +1)· �
(Bahndrehimpuls- Bahndrehimpuls
quantenzahl)
m l Richtungquantenzahl |m l |≤l Komponente des l z = m l �
quantenmechanischen
Bahndrehimpulses
in z–Richtung
Komponente des µ lz = m l µ B
quantenmechanischen
magnetischen Momentes
in der z–Richtung
m s Spinquantenzahl m s = ± 1
2 quantenmechanischer |�s| =
�
1 1
2 (1+ 2 )
Eigendrehimpuls
Komponente des s z = m s �
Eigendrehimpulses
in z–Richtung
magnetisches Moment µ sz =2m s µ B
in der z–Richtung
Die Quantenzahlen j, m j , die aus der Spin–Bahn–Kopplung resultieren seien hier nicht berücksichtigt.

Kapitel 7
Einführung in die
Quantenmechanik, H–Atom
7.1 Dualismus Welle–Teilchen, de Broglie–Beziehung,
Elektroneninterferenzen
Eine in der Zeit t in positiver x–Richtung fortschreitende (mechanische) Welle wird beschrieben
durch
�
x = const. = 0 : harmonische Schwingung
ψ = ψ0 sin(kx − ωt)
t = const. =0:räumliche Sinus–Welle
dabei ist k = 2π
λ und ω =2πν = 2π
T .
λ und T ist die räumliche und die zeitliche Periode. In komplexer Schreibweise lautet der Ausdruck
für die ebene Welle
ψ = ψ0ei(kx−ωt) .
Beide Ausdrücke für ψ gehorchen — wie man leicht durch Einsetzen nachvollziehen kann — der
Wellengleichung
∂ 2 ψ(x, t)
∂x 2
= 1
v2 · ∂2ψ(x, t)
∂t2 und v = ω
= λ · ν =¯λ · ω.
k
Wie wir in Kapitel 3 gesehen haben, wird auch das Licht durch elektromagnetische Wellen
ψ =
�
E = E 0 e i(kx−ωt)
B = B 0 e i(kx−ωt)
beschrieben. Charakteristisch für die Welleneigenschaft ist die Interferenz d.h. ψ = c1ψ1 + c2ψ2 z.B. im Doppelspaltexperiment, Fresnelsches Biprisma u.ä. .
Die Energiedichte im elektromagnetischen Feld beträgt
uem = ue + um = εε0 2 E2 + 1
B
2µµ 0
2 = εε0E 2 , da ue = um .
134

7.1. Dualismus Welle–Teilchen, de Broglie–Beziehung, Elektroneninterferenzen 135
Die Energieflußdichte ist dann
und der Poyntingvektor
S = vu em = vεε 0 E 2 =
�
εε0
E
µµ 0
2
�S = 1
�E ×
µµ 0
� B mit | � S| = S.
In Kapitel 4 haben wir schließlich gesehen, daß das Licht gequantelt ist, wobei die folgenden
Beziehungen gelten
Energie des Photons : W = hν = �ω
Impuls des Elektrons :
p = hν
c
�p = � · � k
Für die Photonen läßt sich eine Teilchenstromdichte angeben
Teilchenstromdichte j = n · c
h = λ = �
¯λ = � · k
n = Teilchendichte
c = Ausbreitungsgeschwindigkeit
Die Energieflußdichte ist somit analog zum obigen: S = j · W = n · c · W . Damit ergibt sich die
Photonendichte im elektromagnetischen Feld im Vakuum zu
n = S
cW = ε 0
�ω E2 ∼ E 2 . Im Vakuum ist n ∼ E 2 .
So finden wir für das Licht je nach Experiment einmal Welleneigenschaften (Interferenzen) und
einmal Quanten–( ” Teilchen“–)eigenschaften (Comptoneffekt)
Dualismus Welle — Teilchen .
Dieser Sachverhalt wurde von Louis De Broglie (1924) auf Teilchen mit Ruhemasse m0 �=0
übertragen. Durch die Zuordnung: paralleler Teilchenstrom �= fortlaufende ebene Welle erhält
man eine Wellenlänge für Teilchen mit m �= 0 analog zu den Photonen. Der Impuls eines Teilchens
der relativistischen Masse m und der Geschwindigkeit v beträgt p = m · v. Aus p = hν h
c = λ
ergibt sich daher die de Broglie–Wellenänge zu :
Damit erhalten wir zwei Beziehungen:
λ = h h �
= ; ¯λ =
p mv p
• Wellenlänge — Impuls: ¯λ = �
p = ��1 − β2 m0v • Frequenz — Energie: ω = E
�
mc2
=
� = m0c2 � � .
1 − β2 .

136 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Mit diesen Bezeichnungen berechnen wir nun die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser sogenannten
de Broglie– oder Materiewellen und werden dabei stets streng zwischen der Phasengeschwindigkeit
v Ph , also der einem Teilchenstrom gegebener Geschwindigkeit zugeschriebene
monochromatischer Materiewelle, und der Gruppengeschwindigkeit v Teilchen (vgl. (7.2.3)) unterscheiden.
v Ph = λ · ν =¯λ · ω = �� 1 − β 2
m 0 v
· m0c2 � � =
1 − β2 c2 >c .
vTeilchen Wegen c ≥ v ist die Phasengeschwindigkeit vPh der de Broglie–Wellen also größer als die Vakuumlichtgeschwindigkeit
cVak . Dies darf uns nicht verwundern, da die Phasengeschwindigkeit
vPh weder die Geschwindigkeit eines Signals noch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Energie
charakterisiert und daher kleiner, aber auch größer als cVak sein kann.
Ein paralleler Teilchenstrom wird also durch eine ebene Welle beschrieben.
bzw. allgemein
ψ = ψ 0 sin(kx − ωt),
bzw. komplex ψ = ψ 0 e i(kx−ωt)
k = 1 p
=
¯λ � .
ψ = ψ0e i(�k·�r−ωt) = ψ0e i (�p·�r−Et) � = ψ(x, y, z, t) .
Was diese Beschreibung bedeutet lassen wir zunächst offen. Auf jeden Fall ist das Kriterium
einer Wellenerscheinung die Interferenzfähigkeit, d.h. die Überlagerung (Superposition) der Amplituden
zu einem Interferenz–, einem Beugungsbild:
ψ = c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 + ... Die Koeffizienten c i sind i. a. komplex.
Die Intensität ist dann durch das Quadrat der Amplituden gegeben: I ∼|ψ| 2 . Jetzt erinnerte
man sich auch der Ergebnisse zweier bisher ” unverstandener“ Experimente:
1. Davisson und Germer (1919): Reflexion langsamer Elektronen an Kristallen: Ergebnis
analog Laue–Interferenzen bzw. Bragg–Beugung. Davisson und Germer beobachteten
Interferenzen, d.h. Maxima und Minima in der Intensität der reflektierten Elektronen,
die eindeutig durch Geschwindigkeit der Elektronen, Kristallorientierung und Beobachtungswinkel
bestimmt waren. Das Auftreten von Interferenzen bedeutete, daß die Bewegung
der Elektronen mit einem Wellenvorgang verknüpft sein mußte. Für die Wellenlänge
ergab sich
λ = h
p =
h
� =
2mEkin
12.3
√ A.
U
mit U =54V,λ =1.67 A, für Nickel 1. Max. bei 50◦ (Deutung 1927). Wellenlänge des
Elektrons in A:
Ekin (eV) 10 100 103 104 105 106 107 108 λ (A) 3.9 1.2 0.39 0.1 2 3.7 · 10−2 8.7 · 10−3 1.2 · 10−3 1.2 · 10−4

7.1. Dualismus Welle–Teilchen, de Broglie–Beziehung, Elektroneninterferenzen 137
2. Ramsauer–Effekt (1921):
Streuung langsamer Elektronen an
Gasatomen. Der Wirkungsquerschnitt
sinkt dabei weit unter den
gaskinetischen Wert und steigt bei
etwas höheren Energien. Deutung:
Ist λ ≈ Atomdurchmesser
=⇒ Beugung, damit Möglichkeit
zur Auslöschung (Minima).
50
Wirkungsquerschnit cm2
cm 3
0
Gaskin. Querschnit
2 4 6
Beschleunigungsspannung √ Volt
Abb. 7.1: Ramsauer Effekt: Wirkungsquerschnitt σ von
Gasatomen bei verschiedenen Geschwindigkeiten schematisch.
Später folgten weitere eindrucksvolle Experimente zum Nachweis des Wellencharakters
eines Elektronenstrahls:
3. Beugung am Fresnelschen Biprisma: Möllenstedt und Düker 1956
4. Fresnel–Beugung an einer Kante: Boersch 1956.
Für Teilchen liegt der gleiche Sachverhalt vor wie für Licht: Fragt man nach dem Teilchencharakter,
findet man Teilchen; sucht man nach der Welleneigenschaft, findet man Wellen. Wie läßt
sich dieser Dualismus verstehen“?
”
Wir erinnern uns der Quantenfluktuationen (vgl. Kapitel∗ 4.5) beim Licht: Im Wellenbild
ergibt sich die Beugungserscheinung elementar; im Quantenbild können wir Photon für Photon
beobachten. Erst die Beobachtung von vielen Photonen, also ihre Summe, ergibt das Beugungsbild.
Das ist der Schlüssel für den Dualismus. Mit Obigem ergibt sich folgende Äquivalenz:
Also gibt
Photonendichte n ∼| � E| 2 ⇐⇒ Teilchendichte n ∼|ψ| 2 = ψ · ψ ∗ .
|ψ(x, y, z, t)| 2 dτ = ψ(x, y, z, t) · ψ ∗ (x, y, z, t) dτ
die Zahl der Teilchen im Volumenelement dτ zur Zeit t an;
oder aber, für ein einzelnes Teilchen gibt
|ψ(x, y, z, t)| 2 dx dy dz
die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen zur Zeit t am Ort zwischen
x und x + dx, y und y + dy, z und z + dz zu finden.
Mit anderen Worten: Die Intensität der Beugungsfigur ist proportional zum Amplitudenquadrat
|ψ| 2 . Betrachtet man die Intensität in einem Volumenelement, so ergibt sich Idxdydz=
|ψ(x, y, z, t)| 2 dx dy dz, I ist natürlich auch proportional zur Häufigkeit, ein Teilchen am Ort
dx dy dz aufzufinden, also muß |ψ(x, y, z, t)| 2 dx dy dz als Wahrscheinlichkeit gedeutet werden.
Man nennt deshalb
ψψ ∗ die Wahrscheinlichkeitsdichte für den räumlichen Aufenthalt des Teilchens,
ψ die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines Teilchens.

138 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Dies ist die statistische Deutung oder Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion.
Diese Interpretation hat für die Wellenfunktion selbst wichtige Konsequenzen:
1. Die Normierungsbedingung
�+∞
�
�
+∞ +∞
−∞ −∞ −∞
|ψ(x, y, z, t)| 2 dx dy dz =1, (7.1.1)
d.h. die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im gesamten Raum zu finden ist gleich Eins.
2. Die Eindeutigkeit, Stetigkeit und Endlichkeit von ψ, ∂ψ ∂ψ ∂ψ
∂x , ∂y , ∂z
3. ψ geht hinreichend schnell → 0für x, y, z →∞.
im Raum.
Aus dem Dualismus Welle–Teilchen folgt wie beim Licht (vgl. Kapitel 4.3) die Unschärferelation.
Für die Beugung am Spalt ergibt sich:
Abb. 7.2: Beugung einer ebenen Welle am Spalt.
1. Minimum: sin α = λ h
=
d p · d
d · p sin α = h
∆x · ∆p x = h
Eine Festlegung des Ortes des Teilchens in der x–Richtung auf die Größe d =∆x
bedeutet für dieses eine Teilchen eine Unbestimmtheit in Bezug auf seine Richtung
und damit auf seine Impulskomponente p x in x–Richtung: das einzelne Teilchen
kann irgendwo innerhalb des 0. Beugungsmaximums einschlagen. Die Größe dieser
Unbestimmheit — ∆p x —läßt sich durch den Abstand zwischen den beiden ersten
Beugungsminima abschätzen.
Wenn man jedoch viele Teilchen betrachtet, ergibt sich die Intensitätsverteilung, die
man im Wellenbild erwartet. Den Mittelwert aus den vielen Einzelmessungen nennt
man den Quantenmechanischen Erwartungswert, hier: 〈p x 〉 = 0. Den mittleren
quadatischen Fehler aus den Messungen, die Varianz σ der Verteilung, nennt man
die Unschärfe:
σ 2 := � (p x −〈p x 〉) 2� = 〈p 2 x 〉−〈p x 〉2 ; ∆p x = σ
7.2 Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation
Wir wollen nun diese allgemeinen Betrachtungen konkretisieren:

7.2. Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation 139
1. Wir betrachten zunächst eine ebene, monochromatische Welle, die nach rechts läuft. Dies
entspricht einem parallelen Teilchenstrom, der sich folgendermaßen darstellen läßt:
Re ψ(x)
x
Abb. 7.4: Darstellung einer ebe-
Abb. 7.3:
nen monochromatischen Welle im k–
Raum. ϕ(k)beschreibt das Spektrum
Darstellung einer ebenen der vorkommenden Wellenzahlen.
monochromatischen Welle im Orts–
Raum.
Monochromatisch heißt:
(a) Nur eine Wellenzahl k = k 0 = 2π
λ0 .
(b) Der Wellenzug ist unendlich lang.
Für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur Zeit t =0amOrtx ergibt sich
|ψ(x, t)| 2 = ψ(x) · ψ ∗ (x) =|C| 2 = const.,
ψ(x, t) =C · e i(k0x−ω0t)
d.h. sie ist unabhängig von x.
Wir könnenanjedemOrtxein einzelnes Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit finden.
Dies können wir uns auch so erklären: Da der Wellenzug unendlich ausgedehnt ist, kann
man das Teilchen nicht lokalisieren.
� Ortsunschärfe (Unbestimmtheit ( mittlerer quadratischer Fehler“) bei der Ortsbes-
”
timmung eines Teilchens): ∆x →∞ .
� Da die Wellenzahl diskret ist, ist auch der Impuls p0 diskret (Unbestimmtheit ( mit-
”
tlerer quadratischer Fehler“) bei Impulsmessung eines Teilchens): ∆p → 0 .
Wenden wir die Normierungsbedingung (7.1.1) auf die ebene, monochromatische Welle an,
so divergiert das Integral und ist somit nicht auf Eins normierbar: ψ(x) �→ 0für x →∞
�
�
+∞
−∞
|ψ(x)| 2 dx = |C| 2 x � � +∞
−∞ .
2. Als Teilchen ist das Elektron lokalisiert, als Welle jedoch nicht. Nun wollen wir versuchen,
das Elektron im Wellenbild zu lokalisieren.
Abb. 7.5: Spektrum der k–
Werte.
Eine Möglichkeit zur Lokalisierung der Teilchen im Raum
ergibt sich, wenn man ein Spektrum der k–Werte vorgibt,
in welchem z.B. die Spektrale Stärke ϕ(k) = const. = A ist.
Wir bilden also eine Wellengruppe, ein Wellenpaket durch
Überlagerung (Superposition) von ebenen Wellen mit den
k–Werten aus dem Bereich k 0 ± ∆k
2 .

140 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
ψ(x, t) =
k0+ ∆k0 � 2
k0− ∆k 0
2
Ae +ikx e −iωt dk =
�
+∞
−∞
Ae +ikx e −iωt dk . (7.2.1)
Die Funktion ϕ(k) beschreibt das Spektrum der vorkommenden Wellenzahlen und läßt sich
umgekehrt als Fouriertransformierte von ψ(x) schreiben:
ϕ(k) =
�
+∞
−∞
ψ(x)e −ikx dk .
In Abb. 7.3 haben wir das Spektrum für den Fall eines scharf definierten Impulses. Abb.
7.5 zeigt eine Rechteckverteilung der Wellenzahlen, das wie wir gleich sehen werden (vgl.
Abb. 7.6), einem begrenzten aber oszillierenden Verhalten von ψ(x) entspricht. Nun sind k
und ω nicht unabhängig voneinander. E = p2
2m � �ω = �
sich für die Phasengeschwindigkeit vPh folgende Beziehung:
v Ph = ω
k
�
= k = f(k) =g(λ)
2m
2 2
k
2m =⇒ ω = �
2mk2 . Damit ergibt
Die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge bezeichnet man als Dispersion.
Materiewellen zeigen bereits im Vakuum Dispersion. Da nach obigem Dispersionsgesetz
ω von k abhängt, setzen wir k = k0 +(k − k0 ) und entwickeln ω an der Stelle k0 nach
ξ := k − k0 , wobei wir nach dem zweiten Glied abbrechen: ω = ω0 + � �
dω
dk ξ. Setzen wir
diese Beziehungen in (7.2.1) ein, so erhalten wir folgendes Integral:
oder ausintegriert
oder für t =0
ψ(x, t) =Ae i(k0x−ω0t)
+ ∆k
� 2
− ∆k
2
e i � x − dω
dk t� ξ dξ mit ξ = k − k0
ψ(x, t) =2A sin � x − dω
dk t� ∆k
2
x − dω
dk t
e i(k0x−ω0t) , (7.2.2)
ψ(x) =2A ∆k
2
sin � ∆k
2 x�
x ∆k
2
e ik0x .

7.2. Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation 141
Abb. 7.6: Der Realteil von ψ(x, t)als Funktion des
Ortes x. Die rasche Oszillation wird bei festem t
durch cos(k0x − ω0t)beschrieben, die Einhüllende durch
sin ∆kx
2
∆kx .
2
Wir haben nun eine räumlich lokalisierte
Wellenfunktion erhalten, die alle Wellenzahlen
im Bereich k ± ∆k
2 enthält. Wenn
wir diese Welle auf ein Gitter fallen lassen,
sehen wir eine Beugungserscheinung. In
höheren Ordnungen gibt es spektrale Zerlegungen.
Das Wellenpaket bedeutet
” weißes Licht“. Das Wellenpaket hat sein
sin x
Zentrum bei x = 0 (wegen lim
x→0 x =1).
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beträgt
dort |ψ(0, 0)| 2 =4A2∆k2 .
Als Ausdehnung eines Wellenpakets können wir in guter Näherung den Abstand zwischen
den Nullstellen links und rechts des Maximums ansehen. Der Nulldurchgang liegt bei
x ∆k
2π
2 = ±π. So können wir sagen, das Wellenpaket ist im Bereich x = ± ∆k lokalisiert.
Damit beträgt die Ortsunschärfe
∆x = 4π
∆px =
∆k
�∆k
⎫
⎪⎬
⎪⎭ � ∆x · ∆px = � 4π =2h . Heisenbergsche Unschärferelation(1927)
Man sieht also deutlich: ∆x wird kleiner, wenn ∆k größer wird.
Aus (7.2.2) folgt noch eine weitere Konsequenz: Die Dispersion bewirkt, daß die einzelnen
Anteile in der Wellengruppe unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten haben,
d.h. das Wellenpaket zerfließt als Funktion von t. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des
Zentrums (i.a. eines Ortes gleicher Phase, z.B. der Phase � x − dω
dk t� ∆k
x dω
2 =0)ergibtt = dk
dω
dk ≡ v dE
Gr =
dp
= d p2
2m
dp
= p
m = v Teilchen
also: Gruppengeschwindigkeit = Teilchengeschwindigkeit .
, (7.2.3)
3. Als nächstes betrachten wir einen endlichen Wellenzug als Wellengruppe. Dann ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in a konstant. Die Wellenfunktion ψ k0 (x) =Ce ik0x sei auf
a normiert:
− a
2
a
Re ψ(x)
Abb. 7.7: Endlicher Wellenzug als Wellengruppe.
a
2
Somit ist
�
+ a
2
− a
2
|Ce ik0x | 2 dx =1� C = 1
√ a .
ψ k0 (x) = 1
√ a e ik0x
eine auf a normierte Wellenfunktion.

142 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Dies ergibt sich durch eine einfache Rechnung, wenn man berücksichtigt, daß |ψ k0 (x)| 2 =
C 2 ist. Diese Wellenfunktion muß — als Wellenpaket — viele Wellenzahlen enthalten. Dies
wollen wir nun ausrechnen. Dazu multiplizieren wir diese Funktion mit einer anderen auf
a normierten Wellenfunktion mit der Wellenzahl k und integrieren im Ortsraum über den
Bereich a:
�
+ a
2
− a
2
ψ ∗ k0 (x)ψ 1
k (x) dx =
=
a
�
+ a
2
− a
2
1
ia(k − k 0 )
e −i(k0x−kx) dx (7.2.4)
�
a i
e 2 (k−k0) a −i
− e 2 (k−k0)�
= sin � a
2 (k − k0 )�
a
2 (k − k = ϕ(k) .
0 )
(7.2.5)
Diese Funktion hat die gleiche Gestalt im k–Raum“ wie vorher das Wellenpaket in Abbil-
”
dung 7.7 im Ortsraum.
k0 − 2π
a
ϕ(k)
k0
k0 + 2π
a
Abb. 7.8: Darstellung des Spektrums.
k
Was haben wir gemacht? Wir haben im Bereich
a einen ” Überlapp“ zwischen ψ k0 (x) und
ψ k (x) mit beliebigem k–Wert gebildet. Wenn
k = k 0 ist, ist der Überlapp komplett. Das Integral
� ψ k0 ψ k dx = ϕ(k), also die Fouriertransformierte
von ψ k0 (x) hat ein einziges Maximum.
Ist k �= k 0 so gibt es einen Bereich, indem der
Überlapp noch nicht verschwindet; und — wenn
|k − k 0 | groß wird — einen Bereich, indem der
Überlapp verschwindet.
Mit diesem Verfahren kann man also herausfinden, welche k–Werte der endliche Wellenzug
enthält: ϕ(k) ist die Funktion für das k–Spektrum. Dies ist anschaulich: Je länger
der Wellenzug (also je größer a ist), um so schmäler ist das Spektrum. Je kürzer Wellenzugist,umsomehrk–Werte
sind möglich, so daß die Wellen im Bereich a einen nicht
verschwindenden Überlapp zeigen. Also gilt
∆x = a
∆p = �∆k = � 4π
�
∆x · ∆p =4π� =2h
a
4. Jetzt sieht man sofort wie die ebene Welle zu normieren ist: Wenn a →∞geht, gibt es nur
einen Überlapp mit der Welle für k = k 0 . Die Spektralfunktion ϕ(k) gehtüber in δ(k −k 0 ),
d.h. sie entartet zu einem unendlich hohen Strich bei k = k 0 : Dirac’sche δ–Funktion.
Die Multiplikation von (7.2.4) mit a
2π ergibt:
�
+ a
2
− a
2
1
√ 2π e −ik0x ·
Betrachten wir nun den Grenzübergang a →∞:
�+∞
−∞
1 −ik0x 1
√ e √ e
2π 2π ikx dx = lim
a→∞
1
√ e
2π ikx dx = 1 sin
π
� a
2 (k − k0 )�
k − k0 1 sin
π
� a
2 (k − k0 )�
≡ δ(k − k0 )
k − k0

7.2. Wellenpakete, Dispersion, Unschärferelation 143
Die Multiplikation mit a
2π hat die richtige Normierung ergeben: wir wollen erreichen, daß
+∞ �
das Integral ϕ(k) dk =1wird.
−∞
Vorweg wollen wir aber kurz die Eigenschaften der δ–Funktion (jetzt mit x formuliert)
erwähnen.
�b
a
�
+∞
−∞
δ(x ′ − x) =0 für x ′ �= x
+∞
δ(x ′ − x) = lim
�
a→∞
−∞
1
π
sin aξ
ξ
dξ =1
f(x)δ(x ′ − x) dx = f(x ′ ) für a

144 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Diese Relation besagt, daß man hinreichend lange messen muß, um eine Energie scharf zu
bestimmen; insbesondere unendlich lange, will man sie exakt messen. Es können deshalb
nur stationäre Zustände exakt gemessen werden.
Bei einem Zerfallsvorgang steht aber nur die mittlere Lebensdauer τ des Zustandes zur
Zeitmessung zur Verfügung. Also muß bei einem nichtstabilen Zustand die Energie prinzipiell
unscharf sein. Das Energieniveau hat eine endliche Breite:
∆E · τ ≈ � .
z.B.: H–Atom: τ ≈ 10 −8 s (elektrische Dipolübergänge)
� ∆E = �
τ = 6.6 · 10−16 eVs
10−8 =6.6 · 10
s
−8 eV natürliche Linienbreite .
7.3 Wahrscheinlichkeit für Ort und Impuls eines Teilchens,
quantenmechanischer Erwartungswert
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Impulse im Wellenpaket berechnen. Ein
derartiges Wellenpaket hat nach (7.2.1) die allgemeine Gestalt
ψ(x) =
�
+∞
−∞
Ae −iωt e +ikx dk =
�
+∞
−∞
a k e +ikx dk .
Um die Koeffizienten a k mit der Wahrscheinlichkeit in Verbindung zu bringen, müssen wir die
Wellenfunktion e +ikx im unendlich ausgedehnten Raum normieren. Diese Rechnung wollen wir
hier nicht durchführen und geben sofort das Ergebnis an:
ψ(x) =
�
+∞
−∞
1 pxx
c(px ) √ e
i � dpx .
2π�
Diese Gleichung bedeutet: Wir haben ein Wellenpaket ψ(x) aus ebenen Wellen aufgebaut, die sich
in ihren k x –Werten, d.h. in den Impulsen p x unterscheiden, indem wir diese Wellen aufsummiert
(aufintegriert) haben. Wenn wir das Wellenpaket ψ(x) auf ein Beugungsgitter fallen lassen, wird
das weiße Licht“ des Wellenpakets in seine Spektralanteile, also seine ebenen Wellen
”
i pxx
� e+ √ ,
2π �
zerlegt. c(p x ) gibt also das Gewicht an, mit dem die Welle mit k x ,bzw.p x , im Wellenpaket ψ(x)
enthalten ist. Das bedeutet:
So wie |ψ(x)| 2 dx die Wahrscheinlichkeit angibt, ein Teilchen am
Ort zwischen x und x + dx zu finden,
gibt |c(p x )| 2 dp x die Wahrscheinlichkeit an, im Wellenpaket ein
Teilchen mit dem Impuls zwischen p x und p x +
dp x zu finden.

7.4. Zeitunabhängige Schrödingergleichung 145
In der Tat ist wegen der Normierung von ψ(x) und den ebenen Wellen folgende Beziehung gültig
�
+∞
−∞
|c(p x )| 2 dp x =1, wie es sich für Wahrscheinlichkeiten gehört.
Jetzt können wir also Wahrscheinlichkeiten angeben für das Auffinden eines Teilchens an einem
bestimmten Ort und für einen bestimmten Impuls. Wir können aber nur Wahrscheinlichkeiten
angeben, da wir wegen der Unschärferelation statistisch verteilte Meßwerte ( ” Quantenfluktuationen“)
haben. Dies ist offenbar analog zu einer mit statistischen Fehlern behafteten Messung. Dort
können wir Mittelwerte bilden und den mittleren quadratischer Fehler, die Varianz, angeben. Das
gelingt uns hier auch, weil wir ja die Verteilungsfunktionen, nämlich die Wahrscheinlichkeiten,
kennen.
Abb. 7.9: Diskrete
Verteilung.
x =
�
i
n i x i
�
ni i
→
� n(x)xdx
� n(x)dx
Abb. 7.10: Übergang zur kontinuierlichen Verteilung.
Im Fall der Ortsmessung, bzw. Impulsmessung entspricht der Verteilungsfunktion n(x) das Produkt
ψ(x)ψ(x) ∗ = |ψ(x)| 2 ,bzw.c(p x ) ∗ c(p x )=|c(p x )| 2 . Wir erhalten also ein Rezept zur Bildung
von Mittelwerten:
x =
x 2 =
f(x) =
V (x) =
+∞ �
−∞
+∞
�
−∞
+∞
�
−∞
+∞
�
−∞
ψ ∗ (x)xψ(x) dx ≡〈x〉 p x =
ψ ∗ (x)x 2 ψ(x) dx ≡〈x 2 〉 p 2 x =
ψ ∗ (x)f(x)ψ(x)dx ≡〈f(x)〉 E kin =
ψ ∗ (x)V (x)ψ(x)dx ≡〈V (x)〉
+∞ �
−∞
+∞
�
c ∗ (p x )p x c(p x ) dp x = 〈p x 〉
c ∗ (p x )p 2 x c(p x ) dp x = 〈p2 x 〉
−∞
+∞ �
c
−∞
∗ (px ) p2x
2m c(p x )dp x = 〈E kin 〉
(7.3.1)
Der Nenner wird wegen der Normierungsbedingung jeweils Eins.
Man nennt diese Werte die quantenmechanischen Erwartungswerte.
Wir sind jetzt also in der Lage, bei Kenntnis der Wellenfunktion ψ(x) eine ganze Reihe von
Meßgrößen — als Mittelwerte — zu berechnen: 〈x〉, 〈px 〉, 〈V (x)〉, 〈Ekin 〉 usw. . Da wir auch
〈x2 〉 und 〈p2 x 〉 angeben können, erhalten wir aus σ2 = 〈x2 〉−〈x〉 2 auch die Varianzen σ ( mittlerer
”
quadratischer Fehler“) = Unschärfen ∆x.
7.4 Zeitunabhängige Schrödingergleichung
Alle quantenmechanischen Informationen stecken in der Wellenfunktion ψ(x, t). Wie sieht diese
Funktion für ein vorgegebenes Problem aus? Wir müssen zu ihrer Bestimmung die Wellengle-

146 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
ichung lösen. Aber diese Wellengleichung muß irgendwie dem Dualismus Welle–Teilchen Rechnung
tragen, d.h. sie muß einerseits aus der Wellengleichung hervorgehen
andererseits die Relationen
∂2ψ(x, t)
∂x2 = 1
v2 ·
Ph
∂2ψ(x, t)
∂t2 E = �ω, p = �k und E = p2
+ V (x) (nicht relativistisch)
2m
enthalten.
Nun spalten wir die Wellenfunktion so auf, daß der ortsabhängige Teil separiert vom zeitabhängigen
Term steht, also
ψ(x, t) =ψ(x) · e −iωt
Dies läßt sich als stehende Welle auffassen. Dann folgt aus der obigen Wellengleichung mit Hilfe
der separierten Wellenfunktion und deren partiellen Ableitungen:
∂ 2 ψ(x, t)
∂t 2 = ψ(x)(−ω 2 )e −iωt
v 2 Ph · ∂2ψ(x, t)
∂x2 = v2 Ph · d2ψ(x) dx2 · e−iωt 0= d2 ψ(x)
dx 2
woraus sich dann mit ω2
v2 =
Ph
ω2
ω2¯λ 2 = k2 = p2
�
d 2 ψ(x)
dx 2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
ω2
+
v2 · ψ(x) =
Ph
d2ψ(x) dx2 + k2ψ(x) 2 und mit E = p2
2m
2m
+ (E − V (x)) ψ(x) =0
�2 − ω 2 ψ(x) =v 2 d
Ph
2ψ(x) dx2 + V (x)
die eindimensionale zeitunabhängige Schrödingergleichung ergibt.
Wir werden es meist mit dem stationären, d.h. zeitunabhängigen Fall zu tun haben, nämlich
immer dann, wenn wir nach Energiestufen, Dichteverteilungen oder ähnlichem fragen. Nur für
die Behandlung von Übergangswahrscheinlichkeiten wird die zeitabhängige Schrödingergleichung
benötigt, der wir uns erst in Kapitel 8.4 zuwenden werden.
Ist V (x) bekannt, dann läßt sich die Differentialgleichung lösen. Die Schrödingergleichung ist
eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Ihre Lösungen müssen also die Bedingungen erfüllen, die
wir uns bereits aus statistischer Interpretation überlegt hatten:
• ψ(x), dψ(x)
dx eindeutig und stetig im Raum.
• ψ(x) geht hinreichend schnell gegen Null für x →∞, was soviel heißt, daß weit außerhalb
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens Null sein soll, was physikalisch natürlich
sinnvoll ist, da wir es ja mit gebundenen Teilchen (Teilchen im Potentialfeld) zu tun haben.
Diese Eigenschaften haben zusammen mit der Form der Differentialgleichung wichtige allgemeine
Konsequenzen für die Lösungsfunktionen.

7.5. Beispiele 147
Wegen der Randbedingung ψ(x) → 0für x → +∞ (Teilchen, die sich im Unendlichen aufhalten
können nicht untersucht werden) bleiben nur diskrete Lösungen übrig, die dazuhin symmetrisch
zu x = 0, d.h. physikalisch sinnvoll sein müssen. Symmetrisch heißt, es kann entweder
ψ(−x) =ψ(x) oderψ(−x) =−ψ(x) sein. Je nach Vorzeichen sagt man, daß die Wellenfunktionen
positive oder negative Parität haben. Für die Wahrscheinlichkeitsdeutung (|ψ(x)| 2 )spielt
dieses Vorzeichen keine Rolle, es definiert aber den Symmetriecharakter der Wellenfunktion bei
Raumspiegelungen und hat deshalb große Bedeutung in der Quantenmechanik. Formal können
wir dies durch Anwendung eines linearen Operators P beschreiben:
ψ(−x) =Pψ(x) .
Nochmalige Anwendung, d.h. zweimalige Spiegelung muß den ursprünglichen Zustand ergeben,
also
Pψ(−x) =P 2 ψ(x) =1ψ(x) ,
somit also P 2 =1,� P = ±1.
Analog ergibt sich die dreidimensionale Schrödingergleichung zu
mit ∆ψ := ∂2 ψ
∂x 2 + ∂2 ψ
∂y 2 + ∂2 ψ
∂z 2 .
7.5 Beispiele
∆ψ(�r)+ 2m
(E − V (�r)) ψ(�r) =0
�2 7.5.1 Masse m im Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden
Abb. 7.11: Rechteckpotential.
V (x) =∞ für x ≤ −a a
; x ≥
2 2
V (x) =0 für −a a
≤ x ≤
2 2
⎧
E kin = m
2 v2 = E; p = √ 2mE
⎪⎨
Klassisch:
⎪⎩
jedes E erlaubt.
�F
−dV (x)
= ��r →∞
dx
bei x = ± a
2
⎧
⎨ d
Quantenmechanisch:
⎩
2ψ(x) dx2 2m
1 √
+ E · ψ =0; k = 2mE
�2 �
Randbedingung: ψ � ± a
�
2 =0
Die Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung, damit ist der Lösungsraum
zweidimensional und die allgemeine Lösung ist gegeben durch die Linearkombination zweier linear
unabhängiger Lösungen:
ψ(x) = Ae ikx + Be −ikx
ψ(x) = A (cos (kx)+i sin (kx)) + B (cos (kx) − i sin (kx)) .

148 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Einsetzen der Randbedingungen:
�
A � cos � 1
2ka� + i sin � 1
2ka�� + B � cos � 1
2ka� − i sin � 1
2ka�� = 0 für x =+ a
A
2
� cos � − 1
2ka� + i sin � − 1
2ka�� + B � cos � − 1
2ka� − i sin � − 1
2ka�� = 0 für x = − a
2
�
(A + B)cos � 1
2 ka� = 0
(A + B)cos � − 1
2 ka� = 0
� ± 1 π
2ka = n 2
�
(A − B) i sin � 1
2ka� = 0 für x =+ a
2
(A − B) i sin � − 1
2ka� = 0 für x = − a
2
1 π
(n =1, 3, 5 ...) � ± 2ka = n 2 (n =0, 2, 4,...)
rechts eingesetzt: A − B = 0
Damit wird die Wellenfunktion:
links eingesetzt: A + B =0
�
ψn (x) = 2Acos (knx) n =1, 3, 5,... a
2 kn = ±nπ
2 .
ψ n (x) = 2Ai sin (k n x) n =0, 2, 4,...
Die Amplitude A ergibt sich aus der Normierung von
von ψ n und anschließender Integration erhalten wir
�
+ a
2
− a
2
� 4A 2
�
x
2 ± sin 2knx ��+ ���
4kn a
2
− a
=1,
2
wobei n die Werte wie oben annimmt.
Mit sin(ka) =sin(±nπ) =0für alle ganzzahligen n folgt:
Damit ergeben sich die endgültigen Lösungen:
ψ n (x) =
ψ n (x) =
2A 2 a =1� A = 1
√ 2a .
�
2
a cos (kn x) n =1, 3, 5,...
�
2
ai sin (knx) n =2, 4, 6,...
ψ(x)ψ ∗ (x) dx = 1. Durch Einsetzen
⎫
⎬
⎭ k n
= n π
a
n = 0 ist ausgeschlossen, da sonst ψ0 (k0x) ≡ 0.
Zu diesen Wellenfunktionen gehören diskrete Wellenzahlen kn , damit also auch diskrete Impulse
pn = �kn und diskrete Energien En E n = �2 k 2
2m = n2 �2 π 2
2ma 2 .
Charakteristisches Ergebnis: Aus den diskreten k n folgen

7.5. Beispiele 149
1. diskrete Energien E n ,
2. diskrete Wellenlänge λ n ,alsostehende Wellen.
Diese Diskretheit ist Folge der Randbedingungen.
Am folgenden Beispiel können wir die Ergebnisse von Kapitel 7.3 üben
Abb. 7.12: Energiezustände die das
Teilchen aufgrund der Randbedingungen
annehmen kann.
Abb. 7.13: Mögliche Wellenfunktionen
des im Kasten
eingesperrten Teilchens.
1. Örtliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ n (x)| 2 dx :
Die Maxima sind dem Bild zu entnehmen: •
2. Erwartungswert 〈x〉 = 0, da die Maxima symmetrisch zu x =0
Es ergibt sich formal:
oder
�
〈x〉 =
+ a
2
− a
2
ψ ∗ n (x)xψ 2
n (x)dx =
〈x〉 = 2
�
a
+ a
2
− a
2
a
�
+ a
2
− a
2
x cos 2 (...) dx,
ψ − 4
ψ + 3
ψ − 2
ψ + 1
(x) =
(x) =
(x) =
(x) =
x sin 2 (...)dx =0
� 2
a i sin � 4 π
a x�
� 2
a cos � 3 π
a x�
� 2
a i sin � 2 π
a x�
� 2
a cos � π
a x�
da x eine ungerade Funktion ist, cos 2 und sin 2 gerade Funktionen sind und somit das
Integral gleich Null ist.
3. Ortsunschärfe ∆x : Sie muß stark mit n zunehmen!
(∆x) 2 = 〈x 2 〉−〈x〉 2
=
����
=0
2
a
�
+ a
2
− a
2
x 2 sin 2 (...)dx = a2
�
1 −
12
6
n2π2 �

150 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
4. Impulswahrscheinlichkeit |c(p x )| 2 dp x :Sieläßt sich sofort aus der Lösung ablesen:
ψn (x) = 1 � iknx −iknx √ e ± e
2a
� = 1 √
2
d.h. c(p x )= 1 √ 2 und c(−p x )=± 1 √ 2
eiknx √ +
a
� �� �
auf a
�
± 1 √ 2
� e −iknx
√ a
� �� �
norm. ebene Wellen
� |c(px )| 2 = 1
2 ; |c(−px )|2 = 1
2
d.h. man findet px und −px mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1
2 : also ein hin– und herlaufendes
Teilchen.
5. Erwartungswert 〈px 〉 ist offensichtlich gleich Null.
formal:
〈px 〉 = � c ∗ (px ) · px · c(px )= 1 1
√ px √ +
2 2 1
√ (−px )
2 1 √ =0
2
6. Impulsunschärfe ∆p x : Sie muß ebenfalls stark mit n ansteigen, da ja p x ∼ n ist:
(∆pn ) 2 = 〈p 2 n 〉−〈pn 〉2 =
� �� �
=0
1
√ p
2 2 1
n √ +
2 1 √ (−pn )
2 2 1
√2 = p 2 n = �2 2 π2
n
a2 7. Unschärferelation:
� 2 a
∆x · ∆px =
12
�
1 − 6
n2π2 �
� 2 n
2 π2
a 2
� 1
2
= �
�
n2π2 �
− 2 ≈
2 3 2
∆x · ∆px > �
(n >1)
2
8. Parität der Wellenfunktion: Sie folgt aus der Symmetrie.
7.5.2 Der harmonische Oszillator
E
V (x)
Abb. 7.14: Potentielle Energie des
harmonischen Oszillators.
x
Klassisch:
Quantenmechanisch: Die Schrödingergleichung lautet
d 2 ψ(x)
dx 2
2m
+
� 2
m¨x = −Dx x = A cos(ωt)
0 = ¨x + ω2x ω =
E kin = m
2 ˙x2 = p2
2m
�
E − 1
2 Dx2
� D
m
; V (x) = 1
2 Dx2
E = E kin + V (x) = 1
2 DA2
�
ψ(x) = 0
d 2 ψ(x)
dx 2 + � λ − α 2 x 2� ψ(x) = 0
(n =1)

7.5. Beispiele 151
mit den Abkürzungen λ = 2mE
�
2 und α2 = mD
�
2 = m2ω 2
�
2 .
Die Lösungen dieser Gleichung erfordern bereits einen enormen mathematischen Aufwand, so
daß wir uns im wesentlichen nur auf die Angabe der Lösungen beschränken: Für α2x2 ≫ λ
αx2 − erhalten wir die asymptotische Lösung ψasympt (x) =C · e 2 , eine Gaußfunktion. Für λ = α
ist dies sogar die exakte Lösung.
Machen wir nun einen Potenzreihenansatz
wobei ψ endlich und
αx2 � −
ψ(x) =C · e 2 a0 + a1x + a2x 2 + ...+ anx n� ,
+∞ �
−∞
|ψ(x)| 2 dx = 1d.h. ψ(x) quadratintegrabel sein soll.
Die Lösungen der obigen Differentialgleichung sind die Hermiteschen Polynome. Die Reihe muß
endlich sein, damit die asymptotische Lösung erfüllt ist. Die Konstante C bestimmt sich aus der
Normierungsbedingung. Die Hermiteschen Polynome haben folgende Eigenschaft:
λn = α(2n − 1)= mω
(2n −1 ) mit n =0, 1, 2, 3,...
�
Für jedes n gibt es also genau eine Lösung. Aus λ = 2mE folgt für die Energiewerte:
En =(n + 1
)�ω n =0, 1, 2,...
2
Also wiederum ist die Energie gequantelt. Zum Planckschen Ergebnis kommt noch — für n =0
—dieNullpunktsenergie E0 = 1
2�ω dazu. Alle höheren Anregungsenergien liegen äquidistant
mit dem Abstand �. Die ersten drei vollständigen Lösungen lauten:
Abb. 7.15: Energie des harmonischen
Oszillators. E0 bezeichnet
die Nullpunktsenergie, die
nicht Null ist.
ψ + 2
ψ − 1
ψ + 0
� 2
(x) =
� 3 4α
(x) =
π
(x) =
�
α
� 1
4
(1 − 2αx
4π
2 αx2 −
)e 2
�
α
� 1
4 αx2 −
e 2
π
x
� 1
4
αx2 −
xe 2
Abb. 7.16: Jeweiliger Verlauf der Wellenfunktion zur entsprechenden Energie. +
und − geben die Parität an.
Für den Grundzustand ergibt sich die Unschärferelation zu
∆x · ∆p = �
2 .

152 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Die Nullpunktsenergie ist eine Folge der Unschärferelation. Sie wird (ohne sonstige quantenmechanische
Rechnung) davon erzwungen. Die Gesamtenergie sieht klassisch betrachtet wie
folgt aus:
E = p2 1
+
2m 2 mω2x 2 .
�
Wenn sowohl x als auch p gegen Null gehen, wird sie zu einem Minimum. Da nach ∆x·∆p = 2 der
exakte Ort x einen unendlich hohen Impuls zur Folge haben müßte, lassen wir eine Ortsunschärfe
�
∆x = x (Schwingungsamplitude) zu und haben damit eine Impulsunschärfe ∆p = p = 2x
verknüpft. Die Energie E soll jetzt durch geeignete Wahl von x0 zu einem Minimum werden.
Abb. 7.17: Gesamtenergie E als Summe von Epot und
Ekin.
7.5.3 Das Wasserstoff–Atom
� 2
E =
1
+
8mx2 2 mω2x 2 → Min
�
dE �
dx x=x0
= − 1 �
4
2
mx3 + mω
0
2 x
x0 =0
2 0 =
1 �
2 mω
Emin =
�2 � 8m 2mω
+ 1 �
mω2
4 mω
also ergibt sich
E min = �ω
4
+ �ω
4
1
= �ω .
2
Im Bohrschen Bild des kreisenden Elektrons folgt die Bohrsche Quantisierungsbedingung sofort
aus der Vorstellung einer stehenden Welle, deren Wellenlänge man mit der De–Broglie–Beziehung
ausrechnet. Die Bahn ist demzufolge nur dann stabil, wenn sich stehende Wellen darauf ausbilden
können,
2πr = n · λ � r = n · ¯λ = n �
p ,
woraus die Bohrsche Forderung nach einem gequantelten Drehimpuls wiederum folgt:
p · r = L = n · � .
Als nächstes soll das Verfahren, das zur Berechnung der Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators
geführt hat, auf das H–Atom angewendet werden. Lassen wir also eine Impulsunschärfe
∆p = p = �
r zu,ergibtsich

7.5. Beispiele 153
Abb. 7.18: Potentialverlauf von Ueff .
die Gesamtenergie E = − e2 p2
+
4πε0r 2m
zu E = − e2
4πε0r �
dE �
�
dr
� r=0
�2
+ → Min
2mr2 = e2
4πε0r2 −
0
�2
mr3 0
=0
� a0 = 4πε0 · �2
me2 1. Bohrscher Radius,
d.h. im Grundzustand des H–Atoms sitzt das Elektron
im Minimum der Gesamtenergie, die sich aus der
potentiellen Energie (Anziehung) und der kinetischen
Energie (Abstoßung) aufgrund der Unschärferelation
ergibt.
Als nächstes soll die Lösung der Schrödingergleichung angegeben werden. Was ist nun neu?
Abb. 7.19: Schaubilld zum
Zweikörperproblem.
Bisher : Eindimensionales Problem → jetzt Dreidimensional
Bisher : Einteilchenproblem → jetzt Zweiteilchenproblem
Durch eine Koordinatentransformation versuchen wir die
Zweiteilchen–Schrödingergleichung in zwei ” Einteilchen“–
Gleichungen zu separieren:
Wir können die Bewegung aufteilen in eine Schwerpunktsbewegung
der Masse M = m 1 + m 2 und in eine Relativbewegung
der beiden Massen zueinander, die abhängig vom dortigen
Potential ist.
Im Folgenden wollen wir uns nur für die Relativbewegung interessieren, so daß wir unser Koordinatensystem
in den Schwerpunkt legen. Damit läßt sich die Schrödingergleichung für die
Relativbewegung der beiden Massen unter Verwendung der reduzierten Masse µ schreiben als
∆ψ(�r)+ 2µ
�2 (E − V (�r))ψ(�r) =0 mitµ = m1 · m2 .
m1 + m2 Um diese Gleichung lösen zu können, müssen wir den Laplace–Operator ∆ auf sphärische Polarkoordinaten
umschreiben:
∆= ∂2 ∂2 ∂2
+ +
∂x2 ∂y2 ∂z2 1
⇒ ∆=
r2 � �
∂ 2 ∂
r +
∂r ∂r
1
r2 � �
1 ∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
.
mit x = r sin ϑ · cos ϕ
y = r sin ϑ · sin ϕ
z = r cos ϑ

154 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Abb. 7.20: Zur
geometrischen Veranschaulichung der
spährischen Polorkoordinaten.
Für ein kugelsymmetrisches Potential V = V (r)(d.h. unabhängig
von ϑ, ϕ), lässt sich folgender Separationsansatz
durchführen:
ψ(�r) =R(r) · Y (ϑ, ϕ) = u(r)
r · Y (ϑ, ϕ) .
Damit und mit dem neuen Ausdruck für den Laplace–Operator ergibt sich die Schrödingergleichung
zu
1 d
r
2u(r) Y (ϑ, ϕ)+u(r)
dr2 r3 � �
�
1 ∂ ∂Y (ϑ, ϕ)
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2Y (ϑ, ϕ)
∂ϕ2 �
+ 2µ
u(r)
(E − V (r)) · Y (ϑ, ϕ) =0,
�2 r
oder
r2 � 2 d u(r)
u(r) dr2 �
2µ
+ (E − V (r)) u(r) =
�2 1
−
Y (ϑ, ϕ) ·
� �
�
1 ∂ ∂Y (ϑ, ϕ)
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2Y (ϑ, ϕ)
∂ϕ2 �
.
Die linke Seite hängt nur von r, die Rechte nur von ϑ, ϕ ab, also müssen beide Seiten gleich
einer Konstanten λ sein, die man Separationskonstante nennt. Wir erhalten zwei Gleichungen,
die sich schreiben lassen als
d2u(r) dr2 2µ
+
�2 �
E − V (r) − �2
�
λ u(r) =0 , (7.5.1)
2µr2 �
�
1 ∂ ∂Y (ϑ, ϕ)
sin ϑ +
sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2Y (ϑ, ϕ)
∂ϕ2 + λY (ϑ, ϕ) =0 . (7.5.2)
Somit haben wir die Schrödingergleichung separiert in eine
• Radialgleichung, dieähnlich aufgebaut ist wie die eindimensionale Gesamtgleichung, nur
daß ein weiterer Potentialterm auftritt,
• und in eine Winkelgleichung, die potentialunabhängig ist, d.h. die für alle Zentralpotentiale
V = V (r) in dieser Form auftritt.
1. Zunächst geben wir die Lösung der Winkelgleichung (7.5.2) an: Y (ϑ, ϕ) ist eine doppelt
periodische Funktion, d.h. sie soll für jedes Wertepaar ϑ, ϕ, das den gleichen Punkt der
Kugeloberfläche beschreibt, den gleichen Wert haben.
Y (ϑ, ϕ) =Y (ϑ + n · 2π, ϕ) =Y (ϑ, ϕ + n · 2π) .

7.5. Beispiele 155
Dann läßt sich zeigen, daß mit dieser Forderung (7.5.2) nur erfüllbar ist mit
λ = l(l +1) l ganzzahlig 0,1,2,. . .
Um das besser einsehen zu können, machen wir für Y (ϑ, ϕ) einen weiteren Separationsansatz
Y (ϑ, ϕ) =Θ(ϑ) · Φ(ϕ) .
Setzen wir diesen Separationsansatz in (7.5.2) ein, so erhalten wir mit m 2 als weiterer
Separationskonstanten:
d 2 Φ(ϕ)
dϕ 2 + m2 Φ(ϕ) =0 Azimutalgleichung , (7.5.3-a)
sin ϑ d
�
sin ϑ
dϑ
dΘ(ϑ)
�
+(λsin dϑ
2 ϑ − m 2 )Θ(ϑ) =0 Polargleichung . (7.5.3-b)
Die Polargleichung geht mit der Substitution χ =cosϑ und für m =0über in die Legendresche
Differentialgleichung. Ihre Lösungen sind die Legendreschen Polynome
m =0 Θ0 l (ϑ) =a0 l Pl (cos ϑ) mit λ = l(l +1) l =0, 1, 2,...
Die ersten vier Polynome lauten
P0 (cos ϑ) =1 P2 (cos ϑ) = 1
2 (3 cos2 ϑ − 1)
P1 (cos ϑ) =cosϑ P3 (cos ϑ) = 1
2 (5 cos3 ϑ − 3cosϑ)
Für m�= 0 ergeben sich die zugeordneten Legendreschen Polynome
m �= 0 Θ m l (ϑ) =am l
m Pl (cos ϑ) mit −l ≤ m ≤ +l
Sie hängen mit den Legendreschen Polynomen P l (cos ϑ) über die Beziehung
Die Koeffizienten a m l
P m
1
l (cos ϑ) =(−1)m
2ll! (1 − cos2 ϑ) m
2
d l+m (cos 2 ϑ − 1)
(d cos ϑ) l+m
ergeben sich aus der Normierungsbedingung
� π
0
Θ m∗
l ′ (ϑ) · Θm l (ϑ)dϑ = δ ll ′
zu a m l =
�
2l +1
2
(l −|m|)!
(l + |m|)!
Die Azimutalgleichung ergibt als Lösung die ” ebene Welle“
Φ m (ϕ) = 1
√ 2π e imϕ .
zusammen.

156 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
mit dem Normierungsfaktor 1
√2π aufgrund der Bedingung
Damit lautet die Lösung der Winkelgleichung
Y m
l (ϑ, ϕ) =
� � 1
2
(2l +1)(l−|m|)! 4π(l + |m|)!
�
2π
0
Φ ∗ m ′ · Φ m dϕ = δ mm ′.
P m
l (cos ϑ)eimϕ .
Man nennt diese Lösungsfunktion die Kugelflächenfunktion. Für den Sonderfall m =0
ergibt sich
�
2l +1
Y 0
l (ϑ, ϕ) =
4π
0
Pl (cos ϑ) .
Die Kugelflächenfunktionen Y m
l (ϑ, ϕ) sind orthonormiert:
π�
0
2π �
0
�
Y m′
l ′
�∗ (ϑ, ϕ)
Y m
l (ϑ, ϕ)sinϑdϑdϕ= δ ll ′δ mm ′
� 1 l = l ′ ,m= m ′
0 l �= l ′ ,m�= m ′ .
Noch eine wichtige Eigenschaft der Kugelfunktion sei hier angemerkt. Wenn man den zu
einem Punkt der Kugeloberfläche zeigenden Radiusvektor �r am Nullpunkt spiegelt, so daß
er in −�r übergeht, dann geht ϑ in π − ϑ und ϕ in π − ϕ über. Die Paritätstransformation
(ϑ, ϕ) ergibt:
(Spiegelung am Ursprung) angewandt auf Y m
l
oder
Y m
l (π − ϑ, ϕ + π) =(−1)lY m
l (ϑ, ϕ) (7.5.4)
Zustände mit geradem l : positive Parität : P =+1
Zustände mit ungeradem l : negative Parität : P = −1
Die Funktionen Y m
l bilden also eine zweiparametrige Schar von Lösungen, entsprechend
den Quantenzahlen l und m auf deren Bedeutung wir später noch zu sprechen kommen
werden.
Bei den Y m
l (ϑ, ϕ) handelt es sich um den Teil der Wellenfunktion, der von den Winkelko-
ordinaten abhängt. Damit beschreibt |Y m
l (ϑ, ϕ)|2 die Winkelabhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichte
des Elektrons im H–Atom (Zentralfeld). Die Quadrate hängen nicht mehr
vom Azimutwinkel ϕ ab.
|Y m
l (ϑ, ϕ))|2 = 1
2π |Θm l (ϑ)|2
Ein volles dreidimensionales Bild der Funktionen, die die Winkelabhängigkeit der
Wahrscheinlichkeitsdichte beschreiben, erhält man, wenn man sich die Figuren um die
z–Achse rotiert denkt. Dieses Bild gilt für jedes Zenttralpotential, da beim Lösungsansatz
vorausgesetzt wurde, daß V unabhängig von ϑ und ϕ ist.

7.5. Beispiele 157
Abb. 7.21: Quadrate der Winkelfunktion als Polardiagramm.
2. Jetzt betrachten wir die Lösung der Radialgleichung (7.5.1).
Mit der Separationskonstanten λ = l(l+1), deren Wert aus der Lösung der Winkelgleichung
folgte, ergibt sich
d 2 u(r)
dr 2
2µ
+
�2 �
E − V (r) −
l(l +1)�2
2µr2 �
u(r) =0 (7.5.5)
d2u(r) dr2 2µ
+
�2 � l
E − Veff (r) � u(r) =0
Dies ist die eindimensionale Schrödingergleichung mit dem effektiven Potential
V l
l(l +1)�2
eff (r) =V (r) −
2µr2 = V (r) − Vl (r).
Die Bedeutung des Zusatzpotentials Vl können wir aus einer klassischen Analogie erschließen.
Ein Teilchen der Masse µ, das auf einer Kreisbahn rotiert, hat das Zentrifugalpotential
Abb. 7.22: Zustandekommen des effektiven
Potentials.
Vrot (r) = L2
2J = J 2ω2 µ
=
2J 2 r2ω 2
worin J = µr 2 das Trägheitsmoment und � L = J�ω der
Drehimpuls ist. Das legt nahe, V l als Zentrifugalpotential
aufzufassen mit dem Drehimpuls � L 2 = l(l +1)� 2 .
Für Veff (r) =− 1e2
4πε0 · r
�
dV (r) �
folgt mit �
dr
� r=rl
+ l(l +1)�2
2µr 2
=0
r l = l(l +1) 4πε 0 �2
1e 2 µ = l(l +1)a 0
mit a 0 = als den 1. Bohrschen Radius.

158 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Zur Erinnerung :
⎧
⎨
⎩
Bohrsches Ergebnis : r n = n 2 · a 0
Sommerfelds Ergebnis :
� an = n 2 · a 0
b nk = n · k · a 0 = n(l +1)a 0
Um nun die Radialgleichung (7.5.5) zu lösen, müssen wir das Coulombpotenial für das
Wasserstoff–Atom V (r) =− e2
4πε0·r einsetzen. Für r →∞erhalten wir die asymptotische
Lösung
u(r) asympt. = c 1 u κr + c 2 u −κr mit 2µ
�
2 E = −κ 2 (E0 ganzzahlig
” Radialquantenzahl“
und
wobei für jedes n die Werte l beschränkt sind auf
l =0,...,n− 1
κ = κn = µe2 1
·
4πε0�2 n
E = En = − �2
2µ κ2 µe
= −
4
2(4πε0 ) 2 1
·
�2 n2 Dies sind aber wieder diskrete Energiewerte, die mit dem Bohrschen Ergebnis übereinstimmen.
Die Radialfunktionen haben dann die Form
Rn,l (r) ∼ r l · e −κr · L 2l+1
n+l (κr) = rl r − na e 0 · L 2l+1
n+l
Bedeutung der Radialquantenzahl:
� �
r
.
na0 n r = n − l ist die Zahl der Knoten (Nulldurchgänge) der Radialfunktion R n,l (r)
einschließlich dem bei r →∞, und ausschließlich dem bei r =0.

7.5. Beispiele 159
Die Wellenfunktion des Wasserstoffproblems lautet damit
ψn,l,m (r, ϑ, ϕ) =Rn,l (r) · Y m
l (ϑ, ϕ) . (7.5.6)
Die Indizes n, l und m sollen noch einmal verdeutlichen, daß ψ von den Quantenzahlen n, l und m
abhängig ist. Man nennt l die Bahndrehimpulsquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl.
Die Energien betragen
E n =
−µe4 2(4πε0 ) 2 1
·
�2 n2 mit
n =1, 2, 3,...
l =0, 1, 2,...,n− 1
� �� �
n–Werte
m = −l,...,0,...,+l
� �� �
2l +1Werte
(7.5.7)
Die Energien hängen also nur von der Hauptquantenzahl n ab. Da zu jedem Wert von n die
beiden Quantenzahlen l und m den durch (7.5.7) definierten Bereich durchlaufen können, gibt
es zu jedem Wert von n genau �n−1 l=0 (2l +1)=n2 Kombinationen der anderen Quantenzahlen,
die zur gleichen Energie führen: Entartung. Es existieren also für ein n jeweils n2 verschiedene
Wellenfunktionen. Diese Entartung entsteht durch das 1
r –Potential. Es läßt sich zeigen, daß für
ein beliebiges Zentralkraftpotential, mit V (r) �= 1
r ,diel–Entartung aufgehoben wird. Störungen
des 1
r –Potentials erhalten wir durch das ” Effektive Potential“, die Relativisitische Masse“,und
”
durch Sommerfelds Tauchbahnen“. (vgl. Kapitel 5.6)
”
Die m–Entartung wird aufgehoben, wenn die Zentralsymmetrie aufgehoben wird. Eine solche
Aufhebung erhalten wir durch Anlegen eines magnetischen oder elektrischen Feldes.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron bei den Koordinaten r, ϑ, ϕ zu finden ist gegeben durch
P (r, ϑ, ϕ) =|ψ(r, ϑ, ϕ)| 2 = |R(r) · Y m
l (ϑ, ϕ)|2 .
Nun soll uns aber nicht diese Wahrscheinlichkeit interessieren, sondern die Wahrscheinlichkeit,
ein Elektron irgendwo im Abstand r zwischen r und r + dr zu finden, also unabhängig von den
Winkelkoordinaten ϑ, ϕ. Eine solche Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch
P n,l (r)dr =
�π
0
�2π
|ψn,l,m (r, ϑ, ϕ)| 2 r 2 dr sin ϑdϑdϕ= r 2 |R(r)| 2 �π
�
dr
0
= r 2 |R(r)| 2 dr = |u(r)| 2 dr .
0
2π
0
|Y m
l (ϑ, ϕ)|2 sin ϑdϑdϕ
Unter dem Integral steht gerade die auf Eins normierte Wahrscheinlichkeit dafür, daß
die Winkelkoordinaten irgendwo auf der Kugeloberfläche liegen. Multiplizieren wir diese
Wahrscheinlichkeit mit der Elementarladung e so erhalten wir die radiale Ladungsdichteverteilung
e · P n,l (r)dr.

160 Kapitel 7. Einführung in die Quantenmechanik, H–Atom
Abb. 7.23: Normierte Radialfunktion und normierte radiale Wahrscheinlichkeitsdichten.
∞�
Der Erwartungswert des Radialabstands ergibt sich zu 〈rn,l 〉 = u
0
∗ n,l (r) · r · un,l (r)dr =
�
na0
Z 1 − 1
�
2 1 − l(l+1)
n2 ��
. Er läßt sich in geschlossener Form angeben und für n = 1 , l = 0
ergibt sich 〈r10 〉 = a0
Z , der klassisch gefundene Bohrsche Radius. Die kugelsymmetrischen l =0
Zustände geben eine konzentrische Schalenstruktur mit n Schalen. Für l �= 0ändert sich erstens
die Radialverteilung bei gleichem n, und zweitens werden auch die Winkelfunktionen aus
den Kugelschalen räumlicher Figuren herausprojiziert. Nach gleichem Rezept wird der bei der
Feinstruktur benutzte Erwartungswert
�
1
r3 �
=
�
0
∞
u ∗ 1
n,l (r)
r3 u Z3
n,l (r)dr =
a3 ·
0
1
n3l(l + 1
2 )(l +1)
berechnet.
Wenn m–Entartung vorliegt, haben alle Zustände mit verschiedenen m die gleiche Energie, damit
die gleiche Besetzungswahrscheinlichkeit für alle Konfigurationen. Die Summe über alle Koor-
� dinaten ist kugelsymmetrisch. D.h. fügt man bei gleichem n und l die räumlichen Gebilde
m |Yl (ϑ, ϕ)| 2� aller m–Werte zusammen, so erhalten wir für jedes n eine Kugel. Mathematisch
zeigt sich das Zustandekommen einer Kugel folgendermaßen:
�+l
m=−l
|Y m
l (ϑ, ϕ)|2 2l +1
= = const.
4π
d.h. die z–Achse kann beliebig in den Raum gelegt werden. Es gibt keine Orientierung. Erst
wenn das Atom in ein äußeres Feld gebracht wird, wird die m–Entartung aufgehoben und die
Zustände mit verschiedenen m haben verschiedene Energie. Eine Messung der Orientierung ist
dann möglich. Dies war bisher nur eine formale Lösung. Die Bedeutung von l und m wird erst
nach der Besprechung des Drehimpulsoperators klar (vgl. dazu Kapitel 8.2).

Kapitel 8
Quantenmechanische Operatoren
8.1 Quantenmechanische Operatoren, Erwartungswerte,
Vertauschungsrelationen
Wir beginnen zuerst mit dem quantenmechanischen ” System“:
paralleler Teilchenstrom ⇔ ebene Welle: ψ(x, t) =Ae i (pxx−Et) � .
Wenn wir in diesem System in einer Einzelmessung den Impuls messen, werden wir immer den
gleichen, scharfen Wert px = �kx finden.
Frage: Wie kann man dieses Ergebnis in einer quantenmechanischen Rechnung ausdrücken?
Wir bilden die Ableitung von ψ(x, t) nach x
∂ψ(x, t)
∂x
i
=
� px i (pxx−Et) i
� Ae =
� px und mit (−i 2 ) durchmultipliziert erhalten wir
· ψ(x, t) ⇐⇒ �
i
−i� ∂
∂xψ(x, t) =px · ψ(x, t) .
∂
∂x ψ(x, t) =pxψ(x, t)
Mathematisch ist dies eine Operatorgleichung für ψ(x, t): Suche die Funktion ψ(x, t) für die
diese Operation erfüllt ist (Analog ¨x = −ω2x ⇔− ∂2
∂t2 x(t) =ω2 · x(t) � x = x0 cos ωt). Man
nennt
ψ(x, t) Eigenfunktion zum Impulsoperator �p x ≡−i� ∂
∂x
und px den Eigenwert = scharfer Messwert.
�
In der Literatur wird oft schon i
äquivalent.
Wir betrachten als zweites System
∂
∂x
als Impulsoperator bezeichnet. Beide Schreibweisen sind
Wasserstoff–Atome im Grundzustand ⇐⇒ Wellenfunktion ψ 0 (x) .
161

162 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
Wenn wir in diesem System die Gesamtenergie messen, finden wir immer den gleichen Wert
E 0 . Schreiben wir dies auch als Operator– oder Eigenwertgleichung, so müssen wir den ” Operator
für die Gesamtenergie“ betrachten, also wegen E kin + V (x) =H (Hamiltonfunktion), den
Hamiltonoperator � H = �p2
2m + � V (x). Ausgeschrieben erhalten wir
�H = 1
2m
�
−i� ∂
∂x
��
−i� ∂
∂x
Die Operator– oder Eigenwertgleichung lautet dann
�
− �2
2m
∂ 2 ψ n (x)
∂x 2
�
+ � V (x) =− �2
�Hψ n (x) =E n · ψ n (x)
∂2 ∂x2 + � �
V (x)
ψ n (x) =E n ψ n (x)
2m
+
�2 �
En − � �
V (x) ψn (x) =0 .
∂
2m
2
∂x2 + � V (x) . (8.1.1)
Wenn wir � V (x) =V (x) setzen, erhalten wir die Schrödingergleichung.
Die Lösungsfunktionen der Schrödingergleichung sind also die Eigenfunktionen zum
Hamiltonoperator, die Eigenwerte En sind die Meßwerte bei der Energiemessung.
Operatoren spielen in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle. Ein Operator erzeugt, auf eine
Wellenfunktion angewendet, eine neue Wellenfunktion. Er kann die Form eines Differentialoperators
haben, aber auch eine reelle Zahl oder die Zahl Eins kann als Operator aufgefaßt werden,
wenn ψ damit multipliziert wird.
Die quantenmechanischen Operatoren sind entweder Differential– (�p x , � H) oder Multiplikationsoperatoren
( � V (x) =V (x)). In der Ortsdarstellung, also bei ψ = ψ(x), werden allen reinen
Ortsfunktionen f(x) Multiplikationsoperatoren � f(x) zugeordnet.
Wie lassen sich nun diese Ergebnisse physikalisch, d.h. quantenmechanisch interpretieren?
Es liegt ein quantenmechanisches System (paralleler Teilchenstrahl, H–Atom)in
einem bestimmten Zustand vor, der durch eine Wellenfunktion, die ” Zustandsfunktion“,
charakterisiert wird.
Wir machen eine Messung
� des Impulses
der Energie
↘
Der Messwert ist scharf.
⎫
⎪⎬ ⎪⎨
←→
⎪⎭
⎧
⎪⎩
Beide sind gleich
Wir wenden auf ψ(x)
�
einen Operator an
�px
�H
↙
Wir erhalten den Eigenwert.
Die Zustandsfunktion ist nach der Messung �p x ψ(x) bzw. � Hψ(x).
Damit allgemein:

8.1. Quantenmechanische Operatoren, Erwartungswerte, Vertauschungsrelationen 163
Messung einer ” Observablen“ a im
quantenmechanischen System, das
durch eine Zustandsfunktion ψ(x)
charakterisiert wird.
Jetzt müssen wir zwei Fälle unterscheiden:
⇐⇒
Anwendung des Operators � A auf
die Zustandsfunktion ψ(x). Berechnung
des Eigenwertes A =Meßwert
der Observablen a.
1. Der erste Fall ist der bis jetzt besprochene: Reproduziert sich die Zustandsfunktion ψ(x)
durch Anwendung des Operators � A,d.h.ψ(x) ist Eigenfunktion zu � A, so wird der Zustand
durch die Messung nicht gestört. Eine erneute Anwendung des Operators � A (�= Messung)
liefert also das gleiche Ergebnis, d.h. die Meßwerte sind scharf.
Mit der Eigenwertgleichung � Aψ(x) =A · ψ(x) erhalten wir
�
ψ ∗ (x) � �
Aψ(x) dx = ψ ∗ �
(x)A · ψ(x) dx = A ψ ∗ (x) · ψ(x) dx = A
�
A =
ψ ∗ � �
(x) �Aψ(x) dx .
Der Meßwert — Eigenwert — A ist das Überlappungsintegral zwischen
der Zustandsfunktion � vor der � Messung (ψ(x)) und der Zustandsfunktion
nach der Messung �Aψ(x) .
2. Der zweite Fall ist der in Kapitel 7.5.1Besprochene: Ein Teilchen im Kasten im Grundzustand
mit der Zustandsfunktion ( = Eigenfunktion zum Hamiltonoperator) ψ 0 (x) =
� 2
a cos � π
2 π 2
a x� �
und dem Eigenwert E0 = 2ma2 . Die Impulsmessung liefert kein scharfes
Meßergebnis. Man erhält zwei Impulse px und −px , jeweils mit der Wahrscheinlichkeit
1/2. Also ist der Erwartungswert gleich dem Mittelwert = 0. Was passiert wenn wir auf
diese Zustandsfunktion (ψ0 (x)) den Impulsoperator �p x anwenden, also nach obigem eine
Impulsmessung vornehmen?
�p xψ0 (x) =−i� ∂
��
2
∂x a cos
�
π
a x
� �
= −i� π
�
2
� �
π
− sin
a a a x
��
�= C · ψ(x) .
Die Zustandsfunktion ψ0 (x) reproduziert sich also nicht: ψ0 (x) istkeine Eigenfunktion zu
�p x !Esistψ0 (x) die Zustandsfunktion vor der Messung und �p xψ0 (x) die Zustandsfunktion
nach der Messung. Wie beim ersten Fall liefert das Überlappungsintegral das Meßergebnis.
Es ist also
�
〈�p x 〉≡ ψ ∗ 0 (x)
�
−i� ∂
Eine Rechnung zeigt
�
ψ0 (x) dx .
∂x
�
〈�p x 〉 = c ∗ (px )pxc(px ) dpx = Erwartungswert für px !
px

164 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
Fassen wir nochmal zusammen:
Der quantenmechanische Erwartungswert 〈 � A〉 für die Observable a ergibt sich durch
Bildung des Überlappungsintegrals der Zustandsfunktion ψ(x) vor der Messung mit
der Zustandsfunktion � Aψ(x) nach der Messung. Der Erwartungswert wird zum
Eigenwert, wenn ψ(x) Eigenfunktion zu � A ist.
Mit �x = x usw. sind die in (7.3.1) definierten Erwartungswerte eingeschlossen.
Damit gilt allgemein:
Meßwert
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Messung von a ⇔ Anwendung des Operators � A .
� � �
∗ ψ (x) �Aψ(x) dx =EigenwertA,
wenn ψ(x) Eigenfunktion zu � �
A ist
� � �
∗ ψ (x) �Aψ(x) dx = Erwartungswert 〈 � A〉,
wenn ψ(x) nicht Eigenfunktion zu � A ist
scharfe Werte
�
Mittelwert statistisch
verteilter Werte
Damit sind wir nun in der Lage anzugeben, welche Eigenschaften die quantenmechanischen
Operatoren erfüllen müssen:
1. Wegen Linearität der Schrödingergleichung und der Superpositionsmöglichkeit der Wellenfunktion,
also ψ(x) =c 1 ψ 1 (x)+c 2 ψ 2 (x) müssen Operatoren linear sein, d.h.
�A(c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 )=c 1 � Aψ1 + c 2 � Aψ2
2. Da die Meßwerte natürlich reell sind, müssen die Eigenwerte und Erwartungswerte reell
sein, es gilt also
〈 � �
A〉 = ψ ∗ ( � ��
Aψ) dx =
ψ ∗ ( � �∗ �
Aψ) dx = ( � Aψ) ∗ ψdx .
Operatoren, die diese Eigenschaft besitzen, heißen hermitesche Operatoren.
Quantenmechanische Operatoren müssen lineare, hermitesche Operatoren sein.
Was passiert nun, wenn man auf die Eigenfunktion ψ(x) zum Operator � A zusätzlich einen anderen
Operator � B anwendet? Es ergeben sich wiederum zwei Fälle:
1. Fall: ψ(x) ist Eigenfunktion sowohl zu � A als auch zu � B. Nach dem Bisherigen heißt dies:
Eine Messung der Observablen a und der Observablen b führt jeweils zu scharfen Werten
(z.B. Impuls und kinetische Energie einer ebenen Welle), da sich die Zustandsfunktion ψ(x)
durch die Messung beider Observablen (�= Anwendung beider Operatoren) nicht verändert.
Was bedeutet das für die beiden Operatoren?
�Aψ = A · ψ
�Bψ = B · ψ
� �B � Aψ = � B(A · ψ) =A( � Bψ) =ABψ
�A � Bψ = � A(B · ψ) =B( � Aψ) =BAψ
�A � Bψ − � B � Aψ =0
�
.

8.1. Quantenmechanische Operatoren, Erwartungswerte, Vertauschungsrelationen 165
�A � B − � B � A ≡
� �
�A, B�
=0
Die Operatoren � A, � B sind vertauschbar !
Allgemein: Sind zwei Operatoren � A und � B vertauschbar, so gibt es zu beiden eine gemeinsame
Eigenfunktion ψ, die den quantenmechanischen Zustand des Systems beschreibt.
Dieser Eigenzustand zu beiden Operatoren erlaubt eine scharfe, simultane Messung der
Observablen a und b, wobei die jeweils scharfen Meßwerte A und B gleich den Eigenwerten
der beiden Operatoren sind.
Ein ähnliches Beispiel dazu wäre die Gesamtenergie und der Drehimpuls beim H–Atom.
2. Fall: Was erhält man, wenn man simultan eine beliebige Ortsfunktion f(x) und einen Impuls
p x messen will? ψ(x) ist jetzt nicht gleichzeitig Eigenfunktion zum Impuls– und Ortsoperator.
�f(x)�p xψ(x) �p(x)
=
�
f(x)
� f(x)ψ(x) =
�
−i � ∂
oder
−i� ∂
�
ψ(x) = −i � f(x)
∂x
∂ψ(x)
�
∂x
(f(x)ψ(x)) = −i � f(x)
∂x
∂ψ(x)
− i � ψ(x)∂f(x)
∂x ∂x
� �
�f(x)�px − �p �
xf(x) ψ(x) =i � ∂f(x)
∂x ψ(x)
� f(x)�px − �p x � f(x) ≡
� �
�f(x), �px = i � ∂f(x)
∂x
Die Operatoren können nicht vertauschen! Wir erhalten eine Vertauschungsrelation. Wir
wissen, daß Ortsfunktionen und Impulse nicht gleichzeitig scharf gemessen werden können:
Allgemein: Gilt für zwei Operatoren eine Vertauschungsrelation, so gilt für die
zugehörigen Observablen eine Unschärferelation. Die beiden Oberservablen sind nicht simultan
scharf meßbar, es existiert keine gemeinsame Eigenfunktion.
Im Sonderfall f(x) = V (x) und f(x) = x nimmt die obige Vertauschungsrelation die
folgende Form an:
� �
�V (x), �px
∂V (x)
= i�
∂x
[�x, �p x ] = i�
.
⎫
⎪⎬
⎪⎭

166 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
8.2 Der Drehimpulsoperator
Abb. 8.1: Reduktion des Zweikörperproblems
auf ein äquivalentes Einkörperproblem.
und den Definitionen
umschreiben in
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Der Drehimpuls von zwei Teilchen
� l = �r1 × �p 1 + �r 2 × �p 2
läßt sich mit der Koordinatentransformation
�r = �r 2 − �r 1
�R = m 1 �r 1 + m 2 �r 2
m 1 + m 2
(Relativkoordinaten)
(Schwerpunktkoordinaten)
�p = µ ˙ �r = m1 · m2 (
m1 + m2 ˙ �r 2 − ˙ �r 1 )= m1 M �p 2 − m2 M �p 1 ;(M = m1 + m2 )
�P = M ˙ � R = m1 ˙ �r1 + m 2 ˙ �r2 = �p 1 + �p 2
�l = (�r × �p)
� �� �
+ (
rel. Drehimpuls
� R × � P )
� �� �
im CM–System = 0
Damit läßt sich also das Zweiteilchenproblem wieder zurückführen auf ein Einteilchenproblem.
Einführung des Drehimpulsoperators: � l = �r × �p mit
Wir erhalten sodann
�
�lx = −i� y ∂
�
∂
− z
�
∂z ∂y
�ly = −i� z ∂
�
∂
− x
�
∂x ∂z
�lz = −i� x ∂
�
∂
− y
∂y ∂x
⎧
⎪⎨
⎪⎩
�l 2 = � l 2 x + � l 2 y + � l 2 z
�r =(�x, �y,
�
�z)
�
∂ ∂ ∂
�p = −i� , ,
∂x ∂y ∂z
Für jedes Paar von Komponenten gilt eine Vertauschungsrelation. Denn mit Hilfe der Produktregel
ergibt sich
�lx �ly − �l �
ylx = −� 2
�
y ∂ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2
+ yz − z2 − xy + xz
∂x ∂z∂x ∂y∂x ∂z2 ∂y∂z
−yz ∂2
�
∂2 ∂2 ∂2 ∂
+ xy + z2 − xz − x
∂x∂z ∂z2 ∂x∂y ∂y∂z ∂y
= −� 2
�
y ∂
�
∂
− x
∂x ∂y
= i� � l z .
.

8.2. Der Drehimpulsoperator 167
Für die anderen Komponenten gilt das Analoge:
� lx � ly − � l y � lx = i� � l z
� ly � lz − � l z � ly = i� � l x
� lz � lx − � l x � lz = i� � l y
Es lassen sich nie zwei der drei Drehimpulskomponenten simultan scharf messen!
Es kann aber simultan mit einer Komponente zum Beispiel lz , das Betragsquadrat l2 scharf
gemessen werden, denn � l2 und �l z sind vertauschbar. Es ist
�l 2� l z − � l z � l 2 = � lx � lx � lz − � l z � lx � lx + � l y � ly � lz − � l z � ly � ly
= � l x (−i� � l y + � l z � lx ) − (i� � l y + � l x � lz ) � l x
+ � l y (i� � l x + � l z � ly )+(i� � l x − � l y � lz ) � l y
= −i� � l x � ly − i� � l y � lx + i� � l y � lx + i� � l x � ly =0,
also l� 2�lz − �l �
zl2 =0 .
� �
Dies gilt für alle Kombinationen �l 2 , �li =0miti = x, y, z.
Nun sollen die Eigenwerte von �l z und � l2 für das Problem der Zentralkraftbewegung berechnet
werden. Die Energieeigenfunktionen haben nach (7.5.6) die Form
ψn,m,l = Rn,l (r) · Y m
l (ϑ, ϕ) .
Sie sind die Lösungen der Gleichung � Hψ n,m,l = E n ψ n,m,l
mit � H = − �2
2µr2 � � �
∂ 2 ∂
r +
∂r ∂r
1
sin ϑ
und für V (r) = −e2
4πε 0 r
und E n =
�
∂
sin ϑ
∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
µe4 2(4πε0 ) 2 1
·
�2 n2 sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
+ V (r)
(H–Atom) .
Der Hamiltonoperator ist in sphärischen Polarkoordinaten angegeben. Wir erhalten ihn durch
3–dim Erweiterung von (8.1.1) und durch Anwendung des Laplaceoperators in sphärische Polarkoordinaten
(vgl. Kapitel 7.5.3). Nun rechnen wir die Drehimpulsoperatoren ebenfalls auf
sphärische Polarkoordinaten um. Es ist
�
�lz = −i� x ∂
�
∂
− y .
∂y ∂x
Ferner gilt:
∂
∂x
∂
∂y
∂r ∂ ∂ϑ ∂ ∂ϕ ∂
= + +
∂x ∂r ∂x ∂ϑ ∂x ∂ϕ
∂r ∂ ∂ϑ ∂ ∂ϕ ∂
= + +
∂y ∂r ∂y ∂ϑ ∂y ∂ϕ

168 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
und:
und damit:
Vergleicht man � H und � l 2 ,soergibtsich
r = � x2 + y2 + z2 �
;
�
x = r sin ϑ cos ϕ
ϑ = arccos z ; y = r sin ϑ sin ϕ
√
x2 +y2 +z2 ϕ =arctan y
x ; z = r cos ϑ
�lz = −i� ∂
�
∂ϕ
�lx = i� sin ϕ ∂
�
∂
+cotϑcos ϕ
�
∂ϑ ∂ϕ
�ly = i� − cos ϕ ∂
�
∂
+cotϑsin ϕ
∂ϑ ∂ϕ
�l 2 = −� 2
� �
1 ∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
. (8.2.1)
�H = � l2 �2
−
2µr2 2µr2 ∂ ∂
(r2 )+V (r).
∂r ∂r
�
Der erste Term ist der Anteil der Rotationsenergie Erot = l2
�
2J an der kinetischen Energie. Da
�l 2 nur von ϑ und ϕ abhängt, V (r) nurvonr (Zentralkraft), sind � H und � l2 , damit auch � H und
�lz vertauschbar:
Die Energieeigenfunktionen ψn,l,m sind auch Eigenfunktion zu � l2 und �l z . Neben der Gesamtenergie
En sind auch l2 und lz simultan sofort scharf meßbar! Wie lauten die Eigenwerte von � l2 und �l z ?
Vergegenwärtigen wir uns noch einmal die Winkelgleichung (7.5.2)
� �
1 ∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
Y m
m
l (ϑ, ϕ) =−l(l +1)Yl (ϑ, ϕ).
Die eckige Klammer können wir durch � l 2 ersetzen. Werden beide Seiten mit R n,l (r) multipliziert
erhält man:
�l 2 · ψ n,l,m = l(l +1)� 2 ψ n,l,m .
�l 2 besitzt also den scharf bestimmten Eigenwert l(l+1)�2 . Wendet man �l z auf die Wellenfunktion
ψn,l,m = Rn,l (r) · Y m
l (ϑ, varphi) aus Kapitel 7.5.3 an, so ergibt sich
�lz · ψn,l,m = −i� ∂
∂ϕ ψn,l,m = −i�(im)ψn,l,m ,
� lz ψ n,l,m = m�ψ n,l,m .
Damit ist die Bedeutung von l und m als Drehimpulsquantenzahlen geklärt. Die Folgen dieser
Beziehungen sind die geometrischen Veranschaulichungen von Kapitel 6.3. Dabei ist jedoch zu

8.3. Spinoperator, Spin–Bahn–Kopplung, Feinstruktur 169
beachten, daß nur l z und l 2 ,nichtaberl x und l y scharf bestimmt sind, die Orientierung der
Horizontalkomponenten von � l, also die Größe von l x und l y , ist unbestimmt. � l x und � l y besitzen
keine Eigenwerte. Ihre Erwartungswerte ergeben sich mit (8.2.1) zu
〈 � l x 〉 = 〈 � l y 〉 =0.
8.3 Spinoperator, Spin–Bahn–Kopplung, Feinstruktur
In Kapitel 6.4 hatten wir als Folge des Stern–Gerlach–Versuchs den Eigendrehimpuls des Elektrons,
den Spin, eingeführt. Analog zum vorigen läßt sich aus algebraischen Überlegungnen
zeigen, daß die Drehimpulsvertauschungsrelationen für den Spin des Elektrons erfüllt sind. Daraus
ergibt sich in völliger Analogie
�s 2 ψ = s(s +1)� 2 ψ = 3
4 �2 ψ
�s z ψ = m s �ψ = ± 1
2 �ψ
; s =maxm s = 1
2
und wegen �j = � l + �s, vgl. Kapitel 6.7, gilt dies auch für den Gesamtdrehimpulsoperator.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
�j 2ψ = j(j +1)�2ψ �j zψ = mj�ψ zu
⎧
⎪⎨
⎪⎩
j = 1 3
2 , 2 ,... oder 0, 1,...
m j = −j,...,0,...,+j
� �� �
2j +1Werte
Die ganzzahligen Werte von j erklären sich erst bei Mehrelektronensystemen (vgl. Kapitel 9).
Bisher haben wir das Verhalten eines Elektrons durch eine Wellenfunktion ψ = ψ(x, y, z)
beschrieben, die entsprechend den drei Freiheitsgraden eines Massenpunktes von den drei Ortskoordinaten
x, y, z abhängt. Demgemäß hängen die Eigenfunktionen stationärer Zustände von drei
Quantenzahlen, beim Wasserstoff–Atom zum Beispiel von n, l und m ab. Wir können nun den
Spin des Elektrons durch eine Spinkoordinate als vierten Freiheitsgrad �s unseres Massenpunktes
auffassen und dementsprechend für die Wellenfunktion ψ = ψ(x, y, z, �s) schreiben. Wenn das Potential
V = V (�r,�s) keinen Term enthält, der �r und �s verknüpft (z.B. keine Spin–Bahn–Kopplung
�l · �s), also wenn gilt V (�r,�s) =V (�r)+V (�s), kann die Wellenfunktion ψ separiert werden in
ψ(�r,�s) =ψ(�r) · χ(�s) .
ψ(�r) ist dabei die Ortsfunktion, χ(�s) die Spinfunktion. Im Gegensatz zu den Ortsfunktionen, die
im Prinzip kontinuierlich alle Werte von −∞ bis +∞ annehmen können, kann die Spinfunktion
χ(�s) entsprechend den Werten sz =+ 1
2� und s 1
z = − 2� nur 2 Werte erhalten. Das bedeutet
anschaulich für den Zustand des Spins: ” Spin nach oben“ und ” Spin nach unten“. Wir führen
jetzt formal zwei Spinfunktionen ein, die diesen Spinrichtungen entsprechen, nämlich χ ↑ und
χ ↓ . Messen wir nun die z–Komponente, quantenmechanisch bedeutet dies ja die Anwendung des
Operators �s z , so muß gelten:
�s z χ ↑ = �
2 χ ↑ oder �s z χ ↓ = − �
2 χ ↓ .
.

170 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
Suchen wir nach einem Formalismus, der uns die obigen Beziehungen automatisch liefert, so
stellt sich heraus, daß dies am besten mit Matrizen zu bewerkstelligen ist. Wir schreiben für die
Spinfunktionen
1 ms=+
χ↑ = χ 2 =
� �
1
0
1 ms=−
χ↓ = χ 2 =
� �
0
.
1
Diese Spinfunktionen sind Eigenfunktionen des Spinoperators � s 2 und �s z . Aus den Eigenwertgleichungen
für ψ wird dann
�s 2 χ ↑↓ = s(s +1)� 2 χ ↑↓
�s z χ ↑↓ = m s �χ ↑↓
�s 2 und �s z sind nun 2 × 2 Matrizen, die sogenannten Pauli–Matrizen“.
”
Die Wellenfunktion des Wasserstoff–Atoms schreibt sich dann
ψn,l,ml,ms = R ml
n,l (r) · Yl (ϑ, ϕ) · χ↑↓ (�s ) .
Sie ist durch die Hauptquantenzahl n, die Bahndrehimpulsquantenzahl l, die Magnetquantenzahl
m l und die Spinquantenzahl m s gekennzeichnet.
Abb. 8.2: Vektormodell
zur Spin–Bahn–
Kopplung.
Abb. 8.3: Präzession von � l und �s um �j.
Unter Einfluß eines äußeren B–Feldes in
z–Richtung präzediert j um die z–Achse.
,
Nun wollen wir die durch die Spin–Bahn–Wechselwirkung verursachte
Änderung des Energieeigenwertes eines wasserstoffähnlichen oder
Einelektronenatoms berechnen. Die Energieeigenfunktion ψ n,l,ml,ms
ist gleichzeitig Eigenfunktion von � l 2 , � s 2 , � l z und �s z , da diese Operatoren
ja nur auf ϑ, ϕ und �s wirken. Wie wir in Kapitel 6.5 gesehen
haben koppelt � l und �s zu �j. Da j z = l z + s z ist, ist ψ n,l,ml,ms auch
Eigenfunktion zu �j z :
(�j z =( � l z + �s z ))ψ n,l,ml,ms =(m l + m s )�ψ n,l,ml,ms = m j �ψ n,l,ml,ms
Sie ist aber keine Eigenfunktionen zu � j 2 !
Dies geht auch sofort aus Abbildung 8.2 hervor. Da ja l x
und l y mit l z nicht gleichzeitig scharf meßbar sind, wird die
Spitze von � l in wiederholten Messungen irgendwo auf dem
Kegel von � l um die z–Achse angetroffen, ebenso ist die Spitze
von �s irgendwo auf dem Kegel �s um die z–Achse. Die Länge
von |�j | wird daher in wiederholten Messungen verschiedene,
um den Mittelwert fluktuierende Werte ergeben.
Andererseits haben wir in Kapitel 6.5 gesehen, daß �j = � l +�s
eine Konstante der Bewegung ist, und daß � l und �s um so
schneller um �j präzidieren, je größer die Kopplungsenergie
V ls = ζ(r) · ( � l · �s) ist. Dann geht aber die ” Schärfe“ von l z
und s z verloren (vgl. Abbildung 8.3).
Quantenmechanisch bedeutet dies, daß man Energieeigenfunktionen konstuiert, die gleichzeitig
Eigenfunktion von � j 2 ,�j z , � l 2 und � s 2 sein müssen. Diese Funktionen sind die linearen Kombinationen
der einfachen Produktfunktionen mit allen möglichen m l – und m s –Werten. Diese haben

8.4. Zeitabhängige Schrödingergleichung 171
folgende Gestalt:
ψ = n,l,j,mj � �
c(l, s, ml ,ms , | j, mj )Rn,l (r) · Y m
l (ϑ, φ)χms (�s) .
ml ms
Die Koeffizienten c(l, s, ml ,ms | j, mj ) heißen Clebsch–Gordan– oder Drehimpulskopplungskoeffizienten.
Sie stellen einfache Zahlenwerte (z.B.: 1 2
2 , 3 ,...) dar und müssensogewählt sein, daß
die Dreiecksrelation“ �j =
” �l + �s gilt.
Die so konstruierten Wellenfunktionen ψ sind dann Eigenfunk-
n,l,j,mj
tionen zu � H, � l2 , � s2 , � j2 , �j z , aber nicht mehr zu �l z und �s z ,dajaüber ml und ms summiert wurde!
Abb. 8.4: Dreiecksrelation.
Wegen |�j | 2 = | �l | 2 + |�s | 2 +2�l · �s gilt auch � j2 = � l2 + � s2 +2� l · s, also� l · s = 1
2 ( � j2 − � l2 − � s2 ). Deshalb
sind die Eigenfunktionen zu � j2 , � l2 und � s2 , d.h. die ψ auch Eigenfunktionen zu n,l,j,mj � l · s, damit
zu einem Hamiltonoperator, der einen Spin–Bahn–Kopplungsterm enthält.
Die Wellenfunktionen ψ beschreiben die Zustände der Feinstrukturaufspaltung! Die Aufs-
n,l,j,mj
paltungsenergie ergibt sich als Erwartungswert der in (6.5.2) ausgerechneten Wechselwirkungsen-
ergie Vls = −�µ s · � Bl = gs
4m2c2 · 1
r
· dV (r)
dr (� l · �s) =ζ(r)( � l · �s) mitV (r) = −e2
4πε0r .
∆Els = 〈Vls 〉 = � ψ∗ n,l,j,mj Vlsψn,l,j,mj dτ
=
�2π
�π
0
0
η ∗ l,j,mj (ϑ, ϕ, �s)(� ls)η l,j,mj (ϑ, ϕ, �s)sinϑdϑdϕ
·
�
0
∞
R ∗ n,l (r)� ζ(r)R n,l (r)dr
� �� � � �� �
= 〈 � ls〉 ·
gse2 16πε0m2 �
1
·
c2 r3 =
�
�
2
(j(j +1)− l(l +1)− s(s +1))
2
·
1
...·
a3 ·
0
1
n3 1
l(l + 1
2 )(l +1)
Damit ist die Feinstrukturaufspaltung aufgrund der Spin–Bahn–Kopplung quantenmechanisch
erklärt.
8.4 Zeitabhängige Schrödingergleichung
Bisher behandelten wir nur stationäre (zeitunabhängige) Probleme, also stehende Wellen. Will
man auch zeitabhängige Probleme behandeln, brauchen wir eine Gleichung, die berücksichtigt,
daß ψ von t abhängen kann.
Ausgangspunkt ist wieder die Gleichung für die ebene Welle:
ψ(x, t) =Ae i (pxx−Et) � ;
∂ψ(x, t)
∂t
= − i
E · ψ(x, t)
�

172 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
i� ∂
ψ(x, t) =E · ψ(x, t) .
∂t
Dies entspricht der Eigenwertgleichung zum Energieoperator � E = i� ∂
∂t .
Jetzt übersetzen wir den nichtrelativistischen Energiesatz in die Operatorschreibweise
E = H = E kin + V (x).
Mit dem in (8.1.1) besprochenen Hamiltonoperator erhält man
i� ∂
∂t ψ(x, t) = � Hψ(x, t) =
�
− �2
2m
∂2
· + V (x)
∂x2 �
· ψ(x, t) ,
die zeitabhängige Schrödingergleichung.
i − Et �
Ist V (x, t) =V (x), läßt sich ψ(x, t) separieren in ψ(x, t) =ψ(x) · e , damit erhält man eine
harmonische Schwingung (stehende Welle):
�
i − Et �
ψ(x) · E · e = − �2 ∂
2m
2 �
i − Et
�
+ V (x) ψ(x) · e Zeitunabhängige Schrödingergleichung
∂x2 Übersetzt man den relativistischen Energiesatz in Operatorschreibweise E 2 = p 2 c 2 + m 2 0 c4
bzw. dreidimensional
−�
1
c 2
2 ∂2
�
2 ∂2
−�
∂x2 + m20 c2
�
c 2 ψ(x, t)
ψ(x, t) =
∂t2 ∂2 � �
m0c � �
2
ψ(�r, t) = ∆ − ψ(�r, t) Klein–Gordan–Gleichung
∂t2 �
Die Quantenmechanik ist eine lineare Theorie. Also hat Dirac versucht, die Klein–Gordan–
Gleichung zu linearisieren, indem er im Energiesatz auf der rechten Seite aus jedem Summanden
die Wurzel gezogen hat:
i� ∂
∂t ψ(�r, t) =(c�αi�� ∇ + βm 0 c 2 )ψ(�r, t) Dirac–Gleichung
Die Lösung der Dirac–Gleichung für das H–Atom liefert den richtigen Ausdruck für die j–
entarteten Energieterme, d.h. den Ausdruck, den wir uns früher aus Berücksichtigung der relativistischen
Masse und der Feinstruktur zusammengebaut haben, also die Feinstrukturformel des
Wasserstoffs. Sie liefert aber natürlich nicht die Lambshift.
8.5 Erhaltungssätze in der Quantenmechanik, Parität
Die quantenmechanische Definition einer Erhaltungsgröße lautet: Eine physikalische Größe ist
zeitlich konstant, wenn sich der Erwartungswert des zugehörigen Operators zeitlich nicht ändert.
〈 � A〉 = � ψ ∗ � Aψ dx = const., wenn
d〈 � A〉
dt =
� ∗ ∂ψ
∂t � �
Aψ dx +
ψ ∗ ∂ � A
∂t ψdx+
�
ψ ∗ A� ∂ψ
dx =0 .
∂t

8.5. Erhaltungssätze in der Quantenmechanik, Parität 173
Wenn � A nicht explizit von t abhängt, bleiben zwei Summanden stehen. Die Umformung mit
Hilfe der zeitabhängigen Schrödingergleichung i� ∂
∂tψ = � Hψ;(i�∂ ∂tψ)∗ =( � Hψ) ∗ )ergibt:
und damit
d〈 � A〉
dt
�
i
= (
�
� Hψ) ∗ �
Aψ �
i
dx −
�
ψ ∗ A� Hψdx � =0
�
( � Hψ) ∗ �
Aψ � dx = ψ ∗ H� Aψ � dx
�H ist hermitesch, also gilt
d〈 � A〉
dt =
�
ψ ∗ ( � H � A − � A � H)ψdx=0 �
� �
�H, A�
=0 .
Eine physikalische Größe A ist zeitlich konstant, wenn ihr Operator � A
mit dem Hamiltonoperator kommutiert,
d.h. wenn es zu beiden Operatoren eine gemeinsame Eigenfunktion gibt.
Es ergeben sich folgende Erhaltungsgrößen:
1. Energie: � A = � � �
H; Es ist natürlich �H, H�
=0,d.h.Hist Erhaltungsgröße. Hängt die
Hamiltonfunktion nicht explizit von der Zeit ab, also ∂H ∂V
∂t = ∂t
V unabhängig von t.
=0,soistE = const., also
2. Impuls: � A = �p x = −i� ∂
∂x ; wir erhalten
�p x � H − � H �px =
px ist zeitlich konstant, d.h.
0.
�
�p x , � �
H
= � ∂H
i ∂x
� ∂V (x)
=
i ∂x
(vgl. Kapitel 8.1) .
�
�p x , � �
H =0,wennVunabhängig von x ist, damit ∂V
∂x = −Fx =
3. Drehimpuls: � A = �l z = −i� ∂
∂ϕ ;
�A = � l2 = −� 2
� �
1 ∂
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂
�
+
∂ϑ
1
sin 2 ∂
ϑ
2
∂ϕ2 �
�
�lz H� − H� �lz = �lz , � �
H =0,wennVnicht von ϕ abhängt
�l 2 � H − � H � l2 � �
= �l 2 , H�
=0,wennVweder von ϑ noch von ϕ abhängt: Zentralkraft.
4. Parität: � A = � P
Definition: � Pψ(x) =P ·ψ(−x), d.h. Spiegelung am Ursprung, wobei P gleich dem Eigenwert
zum Paritätsoperator ist. Wegen � P 2 ψ(x) =P 2 ψ(x) und mit P 2 = 1folgt
P = ±1 ,

174 Kapitel 8. Quantenmechanische Operatoren
z.B.:
�Pψ(x) =ψ(−x) : gerade Funktion: P =+1
�Pψ(x) =−ψ(−x) : ungerade Funktion: P = −1
�PY m
l (ϑ, ϕ) =(−1)l Y m
l (π − ϑ, π + ϕ) :P =(−1)l (vgl. (7.5.4)).
Die Parität ist eine zeitliche Erhaltungsgröße, wenn
� �
�P, H�
=0,oder
�P ( � H(x)ψ(x)) = � H(x)( � Pψ(x))
�H(−x)ψ(−x) = � H(x)ψ(−x)
�H(−x) = � H(x) � V (−x) =V (x), wenn V (x) eine gerade Funktion ist,
also z.B. V = 1
2Dx2 ; (harmonischer Oszillator) oder V = V (r) =V ( � x2 + y2 + z2 )(Zentralpotential).
Während Drehimpulsquantenzahlen eines Systems additiv sind, die Drehimpulse selbst vektoradditiv,
ist die Parität des Gesamtsystems gleich dem Produkt der Einzelparitäten.
Das bedeutet:
Da die Auswahlregel ∆l = ±1 für das Atom gilt, ändert sich im
atomaren System durch Photonenemission die Parität. Also muß
die Strahlung nach Kapitel 3.3 elektische Dipolstrahlung sein.

Kapitel 9
Mehrelektronensysteme
9.1 Ununterscheidbarkeit der Teilchen, Erhaltung der
Symmetrie: Fermionen und Bosonen
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir fast alle wesentlichen Erscheinungen, die bei Atomen
auftreten, bereits besprochen, jedoch nur für ein einziges Elektron. Es wird sich herausstellen, daß
vieles bei Mehrelektronensystemen ganz ähnlich ist. Beim Übergang zu Mehrelektronensystemen
tritt aber ein neuer grundsätzlicher Effekt auf, der alle Vielteilchensysteme charakterisiert:
Die Ununterscheidbarkeit der Teilchen.
Wir beschränken uns zunächst auf zwei Teilchen, die in einem gemeinsamen Potential gebunden
sein sollen, z.B. zwei Teilchen im Kastenpotential oder zwei Teilchen im Coulombpotential (He–
Atom), die Erweiterung auf mehrere Teilchen ist später einfach.
Wählen wir nun als Beispiel das Rechteckpotential. Die das System charakterisierende Wellenfunktion
ψ1,2 = ψ1 (1) · ψ2 (2) hängt dann von den beiden Teilchen 1und 2 ab:
E 2
E 1
Abb. 9.1: Energiebesetzung
zweier Teilchen im Rechteckpotential.
ψ 1,2 soll bedeuten, Teilchen 1befindet sich im Zustand mit der
Energie E 1 und Teilchen 2 im Zustand mit der Energie E 2 . Eine
wichtige Vorraussetzung soll nun sein, daß die Wechselwirkung
der Teilchen untereinander vernachläßigt werden kann. Wir haben
dann E ges = E 1 +E 2 und sprechen von einem Modell unabhängiger
Teilchen. Unter diesen Vorraussetzungen hängt der Potentialterm
des Hamiltonoperators nicht von der Wechselwirkung zwischen
beiden Teilchen ab. Er lautet dann
�H = � H 1 + � H 2 =
� 2 �p 1
2m + � � � 2 �p 2
V (r1 ) +
2m + � �
V (r2 ) .
Wenn nun � H1ψ1 (1) = E1ψ1 (1) und � H2ψ2 (2) = E2ψ2 (2) ist, so ist � Hψ1,2 = Egesψ1,2 mit ψ1,2 =
ψ1 (1) · ψ2 (2) und Eges = E1 + E2 eine spezielle Lösung von � H, denn durch einfache Rechnung
175

176 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
läßt sich zeigen, daß
�Hψ 1,2 =( � H 1 + � H 2 )ψ 1 (1)ψ 2 (2) = ψ 2 (2) � H 1 ψ 1 (1) + ψ 1 (1) � H 2 ψ 2 (2)
= (E 1 + E 2 )ψ 1,2 = E ges ψ 1,2
ist. Dies gilt für N Teilchen ganz analog. Das Modell unabhängiger Teilchen bedeutet am
Beispiel der zwei Elektronen, die sich im Coulombpotential des Kerns befinden, daß die gegenseitige
Coulombabstoßung klein sein soll. Das Quadrat |ψ1,2 | 2 der Wellenfunktion ψ gibt die
Wahrscheinlichkeit an, Teilchen 1im Energiezustand E1 und Teilchen 2 im Energiezustand E2 zu finden.
Diese Wahrscheinlichkeit interessiert uns eigentlich nicht, ebensowenig wie |ψ2,1 | 2 , d.h. Teilchen 1
in E2 und Teilchen 2 in E1 zu finden. Beide Wellenfunktionen gehen durch Teilchenvertauschung
ineinander über, d.h. wir erhalten den Zustand, in dem die Teilchen vertauscht sind. Wir können
uns vorstellen, daß dieser durch Anwendung eines Operators � P12 auf den ursprünglichen Zustand
hervorgegangen ist. Man nennt ihn Vertauschungsoperator, der nichts anderes bewirkt, als die
Koordinaten der beiden Teilchen zu vertauschen. Mathematisch geschrieben:
�P 12 ψ 1,2 = ψ 2,1
mit � P 2 12 =1.
Es ist offenbar E ges (1, 2) = E ges (2, 1) : Austauschentartung.
Man interessiert sich nun vielmehr dafür, ein Teilchen im Energiezustand E 1 und ein anderes
Teilchen im Energiezustand E 2 zu finden, also nicht ein bestimmtes. Wollen wir nun
die Wahrscheinlichkeit angeben, irgendein Teilchen bei den betreffenden Koordinaten zu finden,
so bietet sich an, durch Linearkombination der beiden orthogonalen Ausdrücke ψ 1,2 und ψ 2,1 (daß
sie orthogonal sind, sei hier vorrausgesetzt und soll nicht gezeigt werden), die richtige Lösung zu
finden. Hierfür gibt es zwei prinzipiell verschiedene Möglichkeiten:
ψ S (1, 2) = 1 √ 2 ψ 1,2 + 1 √ 2 ψ 2,1
ψ A (1, 2) = 1 √ 2 ψ 1,2 − 1 √ 2 ψ 2,1
⎫
⎪⎬
⎪⎭
ψ S,A = 1
√ 2 (ψ 1,2 + e iϕ ψ 2,1 )
ϕ = 0 : symmetrisch,ψ S
ϕ = π : antisymmmetrisch,ψ A
Wir haben einmal addiert und einmal subtrahiert und dadurch zwei neue orthogonale Ausdrücke
mit dem Normierungsfaktor 1/ √ 2 gewonnen. Die Orthogonalität läßt sich im Prinzip wiederum
leicht zeigen, soll aber hier nicht durchgeführt werden. Was geschieht nun mit ψ S und ψ A
beim Vertauschen der Teilchen? Bei ψ S ändert sich offenbar gar nichts, diese Wellenfunktion
ist symmetrisch gegenüber dem Teilchenaustausch. Bei ψ A ändert sich das Vorzeichen, deshalb
heißt die Lösung antisymmetrisch (daher die Indizes S und A). In Operatorschreibweise:
�P 12 ψ S (1, 2) = ψ S (2, 1)=ψ S (1, 2)
�P 12ψA (1, 2) = ψA (2, 1)=−ψA (1, 2)
und |ψS (1, 2)| 2 = |ψA (1, 2)| 2 .
.

9.1. Ununterscheidbarkeit der Teilchen, Symmetrieerhaltung, Fermionen und Bosonen 177
Hinsichtlich der Wahrscheinlichkeiten haben wir nun die gewünschte Wirkung erzielt, denn |ψ S | 2
und |ψ A | 2 ändern sich offensichtlich nicht beim Austausch der Teilchen. ψ S und ψ A sind Eigenfunktionen
zum Vertauschungsoperator � P 12 , seine Eigenwerte sind ±1 .Da � P 12 reelle Eigenwerte
besitzt, ist er hermitesch, außerdem ist er linear und vertauschbar mit � H, dem Hamiltonoperator.
�P 12 � Hψ1,2 = � P 12 E 12 ψ 1,2 = E 12 � P12 ψ 1,2 = E 12 ψ 2,1
= E 21 ψ 2,1 = � Hψ 2,1 = � H � P 12 ψ 1,2
�P 12 � H = � H � P12 ⇐⇒ [ � P 12 , � H]=0
Damit ist nach Kapitel 8.5 der Eigenwert +1oder −1eines Systems gegen Teilchenvertauschung
eine Erhaltungsgröße. Dies ist eine wichtige Einsicht: Der Symmetriecharakter eines Systems
unter Vertauschung der Koordinaten von zwei Teilchen ist eine Erhaltungsgröße. Daraus folgt
aber der Erhaltungscharakter der Symmetrie, d.h. ein Vielteilchensystem ist in jedem Falle entweder
symmetrisch oder antisymmetrisch bei Teilchenaustausch und behält diese Eigenschaft
auch immer.
Empirisch: Alle Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) haben eine antisymmetrische
Wellenfunktion und gehorchen der Fermi–Dirac–Statistik, alle Teilchen mit ganzzahligem Spin
(einschließlich 0) (Bosonen) haben eine symmetrische Wellenfunktion und gehorchen der Bose–
Einstein–Statistik. Beispiele für Fermionen sind das Elektron, Proton, Neutron und 3He. Repräsentanten für Bosonen sind Photonen, Phononen und 4He. Die Fermi–Dirac und Bose–Einstein–Statistiken sind beide unterschiedlich gegenüber der klassischen
Boltzmann-Statistik (prinzipiell unterscheidbare Teilchen).
Im thermodyamischen Gleichgewicht sind die Besetzungswahrscheinlichkeiten für einen Zustand
E α+ der Energie proportional zu (e kT − 1) −1 E α+ (Bose–Einstein) und zu (e kt +1) −1 (Fermi–Dirac),
wohingegen für die klassische Boltzmann–Statistik die Besetzungswahrscheinlichkeit proportional
E α+ zu (e kt ) −1 ist.
Im folgenden wollen wir als Teilchen nur noch die Elektronen betrachten. Für Elektronen mit
unterschiedlichem Spin (mS = ± 1)
gilt nun die Ununterscheidbarkeit nicht mehr. Wenn wir nun
2
gemäß Kapitel 8.3 den Spin als 4. Koordinate in unsere Wellenfunktion ψ miteinbeziehen, erhalten
wir folgenden Ausdruck ψ1 = ψ(�r 1 ,�s 1 ). Der Index 1umfaßt nun Orts– und Spinquantenzahl,
ψ1,2 heißt nun Teilchen 1am Ort �r 1 mit dem Spin �s 1 und Teilchen 2 am Ort �r 2 mit dem Spin
�s 2 .
Wenn im Potential des Systems kein Term existiert, der Orts– und Spinkoordinaten verbindet,
läßt sich die Wellenfunktion in eine Orts– und eine Spinfunktion separieren: Der Austauschoperator
� P 12 soll nun Orts– und Spinkoordinate von zwei Teilchen vertauschen. Formal:
�P 12 = � P r · � P s
ψ 1,2 = ψ(�r 1 ,�r 2 ) · χ(�s 1 ,�s 2 )
�P 12 ψ 1,2 = � P r ψ(�r 1 ,�r 2 ) · � P s χ(�s 1 ,�s 2 )
wobei � P r und � P s die Operatoren darstellen, die die Orts– bzw. Spinkoordinaten vertauschen.
(vgl. dazu Abbildung 9.2.)
,

178 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
2
1
⇒
1 2
ˆP12
Abb. 9.2: Zum Austauschoperator.
Wenn wir nun aber mit dem Vertauschen der Ortskoordinaten
gleichzeitig den Spin umkippen, sind beide Zustände
nicht mehr unterscheidbar. Nun können wir die Elektronen
als identisch betrachten.
Da die Gesamtwellenfunktion entweder symmetrisch oder antisymmetrisch gegen Teilchenvertauschung
sein muß, gibt es folgende Möglichkeiten:
ψ S (1, 2) =
� ψS (�r 1 ,�r 2 ) · χ S (�s 1 ,�s 2 )
ψ A (�r 1 ,�r 2 ) · χ A (�s 1 ,�s 2 )
, ψ A (1, 2) =
� ψS (�r 1 ,�r 2 ) · χ A (�s 1 ,�s 2 )
ψ A (�r 1 ,�r 2 ) · χ S (�s 1 ,�s 2 )
Da Elektronen Fermionen sind und eine antisymmetrische Wellenfunktion haben, betrachten wir
im Folgenden nur noch ψA (1, 2).
Was bedeutet das für die Spin– und Ortsfunktion?
1. Die Spinfunktionen können wir noch explizit schreiben, da es für jedes der beiden Elektronen
nur die beiden Werte ↑ oder ↓ geben kann, also insgesamt gibt es nun folgende
Möglichkeiten:
χ(↑↑), χ(↑↓), χ(↓↑), χ(↓↓).
Welche Kombinationen sind nun symmetrisch und welche antisymmetrisch bei Teilchenaustausch?
Abb. 9.3: Darstellung der Spinfunktion χ m S
S
für Zweielektronensysteme.
.

9.1. Ununterscheidbarkeit der Teilchen, Symmetrieerhaltung, Fermionen und Bosonen 179
Wie können wir das Abbildung 9.3 verstehen? Betrachtet man die beiden Spinfunktionen
χ1 1 , χ−1 1 (Parallelstellung des Spins), so ergibt sich ein resultierender Gesamtspin S =
s1 + s2 = 1und somit mS = 1 oder −1 . Für den Fall χ0 1 bedenken wir, daß es bei
Parallelstellung des Spins drei z–Komponenten, nämlich 1, 0, −1geben muß. Somit muß
also χ0 1 die z–Komponente mS = 0 zugeordnet werden. Für S = 0 (Antiparallelstellung)
kann mS nur den Wert Null annehmen. Damit erhalten wir eine antisymmetrische und
drei symmetrische Spinfunktionen, für die wir neue Symbole geschrieben haben. Durch
Vertauschen von ↑ und ↓ reproduziert sich χS und χA geht in −χA über.
Zusammenfassend erhalten wir für ein Zweielektronensystem ein
• Triplett-System S =1,mS =1, 0, −1; parallele Spins“ koppeln auf drei Arten.
”
• Singulett-System S = mS =0 antiparallele Spins“ koppeln auf eine Art.
”
2. Jetzt wollen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für die zwei Ortswellenfunktionen ψ S und
ψ A explizit ausrechnen:
ψ S (�r 1 ,�r 2 )= 1
√ 2 (ψ(�r 1 ,�r 2 )+ψ(�r 2 ,�r 1 ))
|ψ S | 2 = 1
2 (|ψ(�r 1 ,�r 2 )|2 + |ψ(�r 2 ,�r 1 )| 2 + |ψ(�r 1 ,�r 2 )ψ(�r 2 ,�r 1 )| + |ψ(�r 2 ,�r 1 )ψ(�r 1 ,�r 2 )|)
Für �r 1 = �r 2 = �r ist: |ψ S | 2 = 1
2 (4 ·|ψ(�r,�r)|2 )=2·|ψ(�r,�r)| 2
ψ A (�r 1 ,�r 2 )= 1 √ 2 (ψ(�r 1 ,�r 2 ) − ψ(�r 2 ,�r 1 ))
|ψ A | 2 = 1
2 (|ψ(�r 1 ,�r 2 )|2 + |ψ(�r 2 ,�r 1 )| 2 −|ψ(�r 1 ,�r 2 )ψ(�r 2 ,�r 1 )|−|ψ(�r 2 ,�r 1 )ψ(�r 1 ,�r 2 )|)
(9.1.1)
und für �r 1 → �r 2 |ψ A | 2 → 0 (9.1.2)
Bei einem System, dessen Ortswellenfunktion antisymmetrisch gegen Teilchenvertauschung
ist, ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Teilchen am gleichen Ort zu
finden, gleich Null; bei einem System mit symmetrischer Ortswellenfunktion ist sie
doppelt so groß wie für zwei unterscheidbare Teilchen.
Elektronen sind Fermionen, haben also antisymmetrische Wellenfunktionen. Das ist von großer
Tragweite, denn dadurch wird verhindert, daß die Ortskoordinaten von zwei Elektronen gleicher
Spinrichtung dieselben sind (→ Pauli–Prinzip).
Damit:
ψ A (1, 2) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ψ S (�r 1 ,�r 2 ) · χ 0 0
ψ A (�r 1 ,�r 2 ) · χ 1,0,−1
1
Singulett
Triplett
Wenn also im Zweielektronensystem die Spins parallel sind (χ 0 0 ), dann sind die Elektronen weit
auseinander, da nach (9.1.2) die Wahrscheinlichkeit |ψ A | 2 für �r 1 −→ �r 2 gegen Null geht. Wenn
.

180 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
die Spins antiparallel sind (χ 1,0,−1
1 ), dann sind die Elektronen dicht beieinander, da nach (9.1.1)
|ψS | 2 sehr groß ist.
Zum Schluß dieses Abschnittes wollen wir zeigen, wie die antisymmetrische Wellenfunktion für ein
System mit N unabhängigen Fermionen dargestellt werden kann. Dazu betrachten wir zunächst
ein Zweielektronensystem.
Sind die beiden Elektronen unabhängig, ist also
E 12 = E 1 + E 2 ↔ ψ 1,2 = ψ 1 (1) · ψ 2 (2) .
Wir müssen jedoch erreichen, daß die Funktion antisymmetrisch wird beim Austausch von irgend
zwei Teilchen. Bei zwei Teilchen hatten wir das bewirkt, indem wir von ψ(1, 2) eine Wellenfunktion
subtrahierten, bei der die beiden Teilchen permutiert waren. Also
ψA (1, 2) = 1 √ [ψ1 (1) · ψ2 (2) − ψ1 (2) · ψ2 (1)] =
2 1 �
�
√ �
2
� ψ1 (1) ψ1 (2)
�
�
�
ψ2 (1) ψ2 (2) � ,
oder allgemein für N Teilchen: Gesucht wird wiederum eine antisymmetrische Linearkombination
ψA (N) mit der Eigenschaft:
�P 12 ψ A (1,...,i,j,...,N) = +ψ A (1,...,j,i,...,N)
= −ψ A (1,...,i,j,...,N)
Das Ganze läßt sich normiert wieder als Determinante schreiben:
ψA (N) = 1
�
�
�
�
√ �
N! �
�
�
�
�
�
�
�
�
Slater–Determinante
ψ 1 (1) ...ψ 1 (N)
.
ψ N (1) ...ψ N (N)
(die Indizes geben den Quantenzustand an, in Klammern stehen die Teilchenkoordinate). Wenn
nun 2 Fermionen eines Systems in allen Quantenzahlen übereinstimmen, so sind 2 Spalten gleich
und ψ A = 0. Dies ist genau der Inhalt des Pauli–Prinzips: Zwei Fermionen des gleichen Systems
können nicht in allen ihren Quantenzahlen übereinstimmen.
9.2 Das Helium–Atom; Pauli–Prinzip
Wechselwirkungen bei Einelektronensystemen:
1. Coulomb–Wechselwirkung Kern — Elektron
2. Spin–Bahn–Wechselwirkung des Elektrons � Feinstruktur–Aufspaltung
3. Relativistische Elektronen–Masse � Aufhebung der l–Entartung
4. Quantenelektrodynamische Effekte � Lamb–shift
5. Magnetische Wechselwirkung Kern — Elektron � Hyperfeinstruktur
Neu hinzukommende Wechselwirkungen bei Mehrelektronensystemen:

9.2. Das Helium–Atom; Pauli–Prinzip 181
6. Symmetrie–Effekte (Pauli–Prinzip)
7. Coulomb–Wechselwirkung zwischen den Elektronen
8. Magnetische Wechselwirkung zwischen den Bahnen und den Spins der Elektronen
Der Einfluß von 3., 4. und 8. ist sehr klein, und 5. wird in der Kernphysik behandelt.
Es bleibt 1., 2., 6. und 7. .
Nach den allgemeinen Betrachtungen von Kapitel 9.1wollen wir uns konkret dem Helium–Atom
als Zweielektronensystem im Coulombfeld zuwenden.
Für die Bindungsenergien (Ionisationsenergien) der Elektronen im He–Atom ergeben sich folgende
Werte für das erste Elektron E ionis (1) = 24.5 eV und für das zweite Elektron E ionis (2) =
54.4eV. Für die gesamte Ionisationsenergie also E ionis
ges = Eionis (1) + E ionis (2) = 79 eV.
Im ” Modell unabhängiger Teilchen“ ergibt sich der Wert der Bindungsenergien aus dem Produkt
zweier Wasserstoffwellenfunktionen. Mit Hilfe von (7.5.7) und Z = 2 ergibt sich
E (unabh.)
ges
= E1 + E2 =(−13.6eV)Z 2
�
1
n2 +
1
1
n2 �
= −108.8eV.
2
Dies ist eine ganz schlechte Näherung, der Einfluß der ee–Wechselwirkung ist beträchtlich (∼
30 eV). Die Berechnung ist klassisch nicht möglich.

182 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
Empirisch findet man im He–
Spektrum zwei verschiedene Term–
Systeme, so als ob es zwei Sorten
von He–Atomen gäbe:
• Parahelium: Bei diesem
System koppeln die Spins
zu S = 0, wir erhalten ein
Singulett–System, das also
keine Feinstruktur zeigt.
• Orthohelium: Hier stehen
die Spins parallel zueinander
(S = 1). Der resultierende
Gesamtspin S hat drei Einstellungsmöglichkeiten
zu
einem inneren Magnetfeld B l ,
das mit dem Bahndrehimpuls
der Elektronen verknüpft
ist. Die so resultierende
Spin–Bahn–Kopplung führt
zu einer dreifachen Feinstrukturaufspaltung
aller
Terme mit verschiedenem
Gesamt–Bahndrehimpuls
(also ausgenommen aller S–
Terme). Wir erhalten ein
Triplett–Termschema.
Man beobachtet zusätzlich, daß
E/[ eV]
0.8
eV
−1
−2
−3
−4
−5
−24.6
0
3 1 S 0
2 1 S 0
1 1 S 0
1. der Grundzustand nur im Parahelium vorkommt,
2. 2 1 S 0 und 2 3 S 1 metastabil sind,
(Singulett) (Triplett)
Parahelium
Orthohelium
3 1 P 1
2 1 P 1
3 1D2 3 3S0 2 3 S 1
3 3 P 0,1,2
2 3 P 0,1,2
Interkombinationslinie
Verboten!
3 3 D 1,2,3
Abb. 9.4: Termschema des Helium–Atoms aufgeteilt in die Tripletts des
Ortho–He (die aufgrund der geringen Termaufspaltung in dieser Zeichnung
zusammenfallen)und die Singuletts des Para–He.
3. es keine Übergänge zwischen Ortho– und Parahelium gibt. Dies ist das sogenannte Interkombinationsverbot.
Hier ist nun eine Zwischenbemerkung im Hinblick auf die Notation nötig. Hier sei nun die
spektroskopische Termbezeichnung (vgl. Kapitel 6.7) dem Besetzungszustand gegenübergestellt.
Die Schreibweise (1s) 1 (2p) 1 soll bedeuten: ein Elektron befindet sich im 1s Zustand eines im 2p
Zustand. In der Klammer stehen die Quantenzahlen, die Besetzungszahl steht als Index oben.
Einen solchen Besetzungszustand der Niveaus nennt man eine Konfiguration.
Wir wollen nur einfach angeregte Zustände betrachten, d.h. bei dem nur ein Elektron angeregt
wird.

9.2. Das Helium–Atom; Pauli–Prinzip 183
Konfiguration: (1s) 1
� �� �
↑
Konfiguration: (1s) 1
� �� �
↑
(2s) 1 S=0
� �� �
↓
(2s) 1 S=1
� �� �
↑
←→ Term 2 1 S 0
←→ Term 2 3 S 1
Die Beobachtung, daß es beim He–Atom nur den Zustand 1 1S0 , nicht aber den Zustand 1 3S1 gibt, war für W. Pauli (1925) der Ausgangspunkt für die Formulierung des Pauli–Prinzips:
Die Elektronen eines Atoms müssen sich in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden.
Grundzustand : Konfiguration (1s) 1
� �� �
↑
Pauliverbotener Zustand : Konfiguration (1s) 1
� �� �
↑
(1s) 1 S=0
� �� �
↓
(1s) 1 S=1
� �� �
↑
←→ Term 1 1 S 0
←→ Term 1 3 S 1
Wie wir also gesehen haben, erhalten wir für das Helium–Atom zwei Termsysteme. Wie wir
im Kapitel 9.1erörtert haben, können wir sowohl eine symmetrische als auch eine antisymmetrische
Ortswellenfunktion bilden. Dementsprechend gibt es auch beide Möglichkeiten für die
Spinfunktion, d.h. der Spin der Teilchen kann jetzt parallel oder antiparallel stehen. Wenn die
Elektronenspins parallel stehen (S=1) ist also die Ortswellenfunktion antisymmetrisch, und wenn
sie antiparallel stehen (S=0), ist sie symmetrisch.
⎧
⎪⎨
ψA (1, 2) =
⎪⎩
1
√ 2 [ψ 1 (�r 1 ) · ψ 2 (�r 2 )+ψ 1 (�r 2 ) · ψ 2 (�r 1 )] χ A
1
√ 2 [ψ 1 (�r 1 ) · ψ 2 (�r 2 ) − ψ 1 (�r 2 ) · ψ 2 (�r 1 )] χ S
Ort Spin Term
S ↔ A 2 1 S 0
A ↔ S 2 3 S 1
Vom Symmetriecharakter der Ortswellenfunktion hängt aber die wechselseitige Coulombenergie
∆E der beiden Elektronen ab. Im symmetrischen Zustand ist der mittlere Abstand r1,2 der
Elektronen viel kleiner als im antisymmetrischen, wo gleiche Ortskoordinaten zum Verschwinden
der Wellenfunktion führt. Die Folge ist, daß es für die gleiche Konfiguration (1s) 1 (2s) 1 zwei
Zustände unterschiedlicher Energie gibt, wovon der mit S = 0 energetisch höher liegt. Deshalb
liegen also alle Orthohelium–Terme tiefer.
Im Modell unabhängiger Teilchen sind die ψ1 , ψ2 die ungestörten Wasserstoff–Atomwellenfunktionen.
Der Erwartungswert der Energie für die ee–Wechselwirkung ergibt sich in der Quan-
tenmechanik zu
∆E = 〈Eee 〉 = 1
�
2
1
�
2
ψ ∗ A
(1, 2)
e 2
4πε 0 r 12
· ψ A (1, 2)dτ 1 dτ 2 .
e Der Operator“
” 2
wirkt nicht auf den Spin. Wegen der Normierung fallen die Spinfunktio-
4πε0r12
nen heraus, also bleiben die Ortsfunktionen (reell !), damit:
〈Eee 〉 = 1
�
2
1
�
2
e2 [ψ
4πε0r12 2 1 (�r 1 ) · ψ2 2 (�r 2 )+ψ2 1 (�r 2 ) · ψ2 2 (�r 1 )]
± 1
�
2
�
e2 [ψ1 (�r 1 ) · ψ2 (�r 2 ) · ψ1 (�r 2 ) · ψ2 (�r 1 )
1
2
4πε 0 r 12
+ψ 1 (�r 2 ) · ψ 2 (�r 1 ) · ψ 1 (�r 1 ) · ψ 2 (�r 2 )] dτ 1 dτ 2 .

184 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
Das erste Doppelintegral ist einfach die Coulombenergie ∆E Coul für die Wechselwirkung zwischen
den Ladungsdichteverteilungen der Elektronen. Das zweite Doppelintegral muß je nach
Symmetrie addiert oder subtrahiert werden. Wir nennen es Austauschintegral ∆E Aust .
Ortsfunktion S � Spinfunktion A � Para–He 2 1 S 0 ; ∆E = ∆E Coul +∆E Aust
Ortsfunktion A � Spinfunktion S � Ortho–He 2 3 S 1 ; ∆E = ∆E Coul − ∆E Aust
Die numerische Rechnung liefert ∆EAust ≈ 0.4 eV, d.h. ein Unterschied von 2 1S0 −2 3S1 ≈ 0.8eV,
also wie beobachtet. (vgl. Abbildung 9.4.) Die Austauschenergie ist die reale zusätzliche Energie,
die sich als Konsequenz aus der Nichtunterscheidbarkeit der Elektronen ergibt.
Entsprechend liefert die Rechnung für den Grundzustand näherungsweise:
�
∆E = 〈Eee 〉 = ψ ∗ S (�r 1 ,�r 2 )
e2 �
ψS (�r 1 ,�r 2 ) ≈ 34 eV
4πε 0 r 12
mit ψS (�r 1 ,�r 2 )= 1 √ (ψ
2 1 (�r 1 )ψ2 (�r 2 )+(ψ1 (�r 2 )ψ2 (�r 1 )). Daraus ergibt sich die korrigierte Grundzustandsenergie
Eges = E (unabh)
ges +∆E =(−108.8 + 34) eV = −74.8eV. Dies ist nur noch um 5%
falsch.
Zusammenfassend erhalten wir:
Para–He: Singulett Ortho–He: Triplett
ψA (1, 2) = ψS (�r 1 ,�r 2 ) · χA Elektronen näher beieinander �
ψA (1, 2) = ψA (�r 1 ,�r 2 ) · χS Elektronen weiter weg �
Abstoßung größer � schwächer gebunden. Abstoßung schwächer � stärker gebunden.
Zwischen den beiden Termsystemen herrscht ein strenges Interkombinationsverbot. Ferner gibt
es keinen Übergang zwischen einem der beiden 2S–Niveaus und dem 1S–Grundzustand, weil das
die Drehimpulsauswahlregel ∆l = ±1verletzen würde. Beide Niveaus sind also metastabil.
9.3 LS–Kopplung
Wir betrachten nun Mehrelektronensysteme. Da die betroffenen Elektronen miteinander wechselwirken,
hängt die Addition der einzelnen Drehimpulse � l i und �s i zum Gesamtdrehimpuls � J von
gewissen Regeln ab. Für alle leichten und mittelschweren Atome gilt, daß die Bahndrehimpulse
� li der einzelnen Elektronen durch elektrostatische Kräfte zu einem einzigen Bahndrehimpuls � L
gekoppelt sind und daß sich die einzelnen Spins �s i davon unabhängig zu einem Gesamtspin � S addieren.
Dieses Schema wird LS–Kopplung oder Russel–Sounders–Kopplung genannt. Betrachten
wir als konkretes Beispiel wieder unser Helium–Atom.
Vergleicht man den Energieunterschied entsprechender Ortho–Para–He–Zustände mit der Spin–
Bahn–Aufspaltung, so sieht man:
∆E(Ortho–Para) ≈ 0.8eV ≫ ∆E(Spin–Bahn–WW) ≈ 10 −4 eV .

9.3. LS–Kopplung 185
Die (S = 0)– und (S =1)–Zustände sind energetisch also deutlich getrennt. Das ist der Grund
dafür, daß in der Tat die Spins sich zunächst unabhängig vom Bahndrehimpuls zum Gesamtspin
�S = �s 1 + �s 2 addieren. Aufgrund der � l � l– und �s�s–Kopplung ist die Spin–Bahn–Kopplung eines
einzelnen Elektrons (�j = �l + �s) völlig aufgehoben.
Erinnern wir uns nun an dieser Stelle an Kapitel 9.1. Dort war voraussgesetzt worden, daß die
Spin–Bahn–Kopplungsenergie ∆E( �l�s) vernachlässigbar klein sein soll, um die Wellenfunktion ψ
in Orts– und Spinfunktion zu separieren. d.h. explizit: ψA (1, 2) = ψS,A (�r 1 ,�r 2 ) · χA,S (�s 1�s 2 ). Das
heißt die Eigenwerte von � Pr und � Ps sind gute Quantenzahlen. Solange also ∆E( �l�s) ≪ ∆EAust gilt, liegt LS–Kopplung vor.
Wir erhalten bei der LS–Kopplung folgendes System der Werte der Quantenzahlen L, S und J:
Abb. 9.5: Zur LS–Kopplung.
� l1 + � l 2 = � L mit | � L| = � L(L +1)�
L = l 1 + l 2 ,l 1 + l 2 − 1,...,|l 1 − l 2 |
�s 1 + �s 2 = � S mit | � S| = � S(S +1)�
s1 = 1
2 m 1 = ± s1 2
s2 = 1
2 m 1 = ± s2 2
d.h. Für S =0istJ = L und für S =1istJ = L +1,L,L− 1.
Nomenklatur der Terme:
Term n 2S+1 L J
⎫
⎪⎬
⎪⎭
�
1, 0
mS =
−1, 0
� S =1, 0
�L + � S = � J mit | � J| = � J(J +1)�
J = L + S, L + S − 1,...,|L − S|
n : Hauptquantenzahl des am höchsten
angeregten Elektrons
L : Termcharakter: S, P , D, ...Term
2S + 1: Multiplizität
J : Gesamtdrehimpuls
Zu den allgemeinen Gesetzmäßigkeiten gehören auch die Auswahlregeln für die Dipolstrahlung.
Sie ergeben sich streng durch Untersuchung der Dipolmatrixelemente für Zustände mit verschiedener
Drehimpulskopplung. Es resultieren folgende Regeln:
Allgemein gilt: ∆J = 0, ±1(0 �→ 0)
∆m J = 0, ±1(0 �→ 0für ∆J =0)
für LS–Kopplung: ∆L = 0, ±1(0 �→ 0)
∆S = 0
∆l = ±1 für das übergehende Elektron. Wir erhalten
einen elektrischen Dipolübergang.
Wäre ∆S �= 0,sofände ein Spin–Umklappprozeß statt. Wir erhielten dann einen magnetischen
.

186 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
Dipolübergang. Für alle elektrische Dipolübergänge gilt: Paritätsänderung (vgl. dazu Kapitel
3.3). Die Schreibweise 0 �→ 0sollheißeneinÜbergang von 0 nach 0 ist nicht zulässig.
9.4 Schalenstruktur, allgemeine Regeln
Wir wollen uns nun der Frage zuwenden, welche Elektronenkonfiguration in Atomen möglich
sind, welche besonders stabil sind und wie die Elektronen eines Atoms auf die Quantenzustände
verteilt sind.
Während die verschiedenen Elektronen in einem komplizierten Atom sicherlich auch miteinander
wechselwirken, kann man einen Großteil der atomaren Struktur durch die einfache Annahme
verstehen, daß sich jedes Elektron in einem konstanten mittleren Kraftfeld bewegt. Für ein
gegebenes Elektron ist dieses Feld näherungsweise gleich dem elektrischen Feld der Kernladung
Ze, vermindert um die teilweise Abschirmung durch die anderen Elektronen, die näher am
Kern sind. Alle Elektronen, die dieselbe Hauptquantenzahl n besitzen, befinden sich im Mittel
ungefähr im gleichen Abstand vom Kern. Diese Elektronen wechselwirken daher mit nahezu
dem gleichen elektischen Feld und haben ähnliche Energien. Daher sagt man, daß diese Elektronen
derselben atomaren Schale angehören. Schalen werden durch Großbuchstaben nach dem
folgenden Schema bezeichnet:
n = 1 2 3 4 5 ...
K L M N O ...
Die Energie eines Elektrons in einer bestimmten Schale hängt außerdem in einem gewissen Maße
von seiner Bahndrehimpulsquantenzahl l ab, obwohl diese Abhängigkeit nicht so stark ist wie
die Abhängigkeit von n.
Elektronen, die in einer Schale denselben Wert von l haben, befinden sich in derselben Unterschale.
Die Besetzungszahlen der Schalen und Unterschalen ergeben sich aus der in Kapitel 7.5.3
erörterten Bedingung, daß zu jedem Wert n der Hauptquantenzahl n−1verschiedene Werte l der
Bahndrehimpulsquantenzahl gehören und zu jedem Wert l wiederum 2l+1verschiedene magnetische
Quantenzahlen m l .Für jede Kombination dieser Zahlen sind zwei verschiedene magnetische
Spinquantenzahlen m s möglich. Damit sind zu jeder Hauptquantenzahl 2n 2 Zustände besetzbar,
d.h. jede Periode enthält 2n 2 Elemente. Für die Hauptquantenzahlen: 2, 3, 4, 5 ergeben sich
daraus die Periodenlängen: 2, 8, 32, 50. Mit dem Pauli–Prinzip erhalten wir folgende Tabelle:

9.4. Schalenstruktur, allgemeine Regeln 187
n
1
l
0
ml 0
ms ±1/2
Elektronenzahl
2
Konfiguration
1s
Name der Schale
2 K–Schale
2 0 0 ±1/2 +2
1 ±1/2 2s2p6L–Schale 1 0 ±1/2 +3· 2
−1 ±1/2
3 0 0 ±1/2 +2
1 ±1/2
1 0 ±1/2 +3· 2
−1 ±1/2
2 ±1/2 3s2p6d10 M–Schale
1 ±1/2
2 0 ±1/2 +5· 2
−1 ±1/2
−2 ±1/2
Es zeigt sich, daß ein Abschluß von Teilschalen, das heißt eine Besetzung aller Zustände
mit gleichem l bei gegebenem n zu besonders stabilen Elektronenkonfigurationen führt. Das
wird verständlich, wenn wir uns klar machen, daß für abgeschlossene, d.h. maximal besetzte
Teilschalen sich die Drehimpulse und magnetische Momente zu Null addieren.
• Hundsche Regeln:
1. Aufgefüllte Schalen tragen weder zu L noch zu S bei. Die Bahndrehimpulse und Spins
der Elektronen der aufgefüllten Schalen kompensieren sich also gegenseitig.
2. Zustände mit der höchsten Multiplizität liegen energetisch am tiefsten. Der Grund
dafür liegt in der gegenseitigen Abstoßung der atomaren Elektronen. Wegen dieser
Abstoßung ist die Energie des Atoms um so größer, je weiter die Elektronen im Atom
voneinander entfernt sind. Die Elektronen in derselben Unterschale mit demselben
Spin müssen verschiedene ml –Werte besitzen und werden daher durch Wellenfunktionen
beschrieben, deren räumliche Verteilungen verschieden sind. Elektronen mit
parallelen Spins sind daher im Raum weiter voneinander entfernt, als wenn sie antiparallele
Spins hätten; daher ist diese Anordnung die stabilere.
3. Bei der Realisierung des größten Wertes von S werden unter Beachtung des Pauli–
Prinzips die Elektronen so über die magnetischen Subzustände einer l–Schale verteilt,
daß der Betrag der resultierende z–Komponente von � L, | � Lz | = � ml� = mL�,ein Maximum wird. Die resultierende Gesamt–Drehimpulsquantenzahl L ist damit gleich
|mL |: L = |mL |. Bei gleicher Multiplizität liegen deshalb die Zustände energetisch
umso tiefer, je größer L ist. Für �l 1 � �l 2 erhalten wir den tiefsten Zustand, weil er die
kleinste Coulombabstoßung hat. Die quantenmechanische Behandlung beschreibt im
Grunde das gleiche, nämlich die Deformation der Ladungswolke des einen Elektrons
durch das andere. Auch hier ergibt sich die geringste Coulombenergie für das größte
L.
4. Bei Feinstrukturtermen, d.h. Berücksichtigung der Spin–Bahn–Kopplung, gilt: In
” normalen“ Multipletts liegen die Terme mit der kleinsten Quantenzahl J energetisch

188 Kapitel 9. Mehrelektronensysteme
am tiefsten, sonst ist es umgekehrt. ” Normal“ heißt hier, daß die Teilschalen weniger
als zur Hälfte besetzt sind.
• Die Landésche Intervallregel für Feinstrukturterme besagt, daß der Abstand zweier Terme
jeweils proportional zum größeren der beiden Gesamtdrehimpulse der Terme ist.
Die Aufspaltungsenergie ergibt sich in Analogie zu der in Kapitel 6.5 berechneten Gle-
ichung. Es gilt also: ∆E J = F (r)( � S · � L), wobei F (r) ∼ 1
r
· dV (r)
dr . Die dort angestellten
Überlegungen gelten sinngemäß auch für Mehrelektronensysteme mit LS–Kopplung. Die
Funktion F (r) kann nicht mehr analytisch in einfacher Form ausgedrückt werden. Wir
erhalten
∆E J ∼〈 � L · � S〉 =[J(J +1)− L(L +1)− S(S +1)].
Für den Abstand zweier benachbarter Feinstrukturterme ergibt sich nun:
∆E J+1 − ∆E J ∼ (J +1)(J +2)− J(J +1)=2(J +1).
• Zum Schluß sein noch eine ganz allgemeine Regel vermerkt:
Die Regel der alternierenden Multiplizität, nach der bei aufeinanderfolgenden Atomen mit
je um eine Einheit steigenden Z gerade und ungerade Multiplizitäten bei der Feinstruktur
alternieren:
– Einelektronensysteme: Dublett
– Zweielektronensysteme: Singulett und Triplett
– Dreielektronensysteme: Dublett und Quartett ...
9.5 jj–Kopplung, Innere Schalen
Die Spin–Bahn–Kopplungsenergie steigt mit Z 4 ! (vgl. (6.6.1)). Also ist bei schweren Atomen
∆E (ee–Wechselwirkung) ≫ ∆E( � l · �s) nicht mehr erfüllt. Jetzt ist die Ladung des Kerns groß
genug, so daß eine Spin–Bahn–Wechselwirkung zustande kommt, die mit den elektrostatischen
Wechselwirkungen zwischen den � l i und den �s i vergleichbar wird, und das LS–Kopplungsschema
beginnt zu versagen. (Ein ähnliches Versagen tritt in starken äußeren Magnetfeldern (von der
Größenordnung 10 T) auf, wodurch der Paschen–Back–Effekt in den Atomspektren hervorgerufen
wird (vgl. Kapitel 10.5)). Dabei koppeln die Gesamtdrehimpulse �j i der einzelnen Elektronen
direkt zum Gesamtdrehimpuls � J des Atoms, eine Situation, die als jj–Kopplung bezeichnet
wird, weil jedes �j i durch eine Quantenzahl j beschrieben wird.

9.5. jj–Kopplung, Innere Schalen 189
Es gilt
�s i + � l i = �j i =⇒ � J = � �ji .
Ein Beispiel für fast reine jj–Kopplung ist bei Blei (Pb) die
Konfiguration 6p 7s. Für reine jj–Kopplung wäre das p–
Elektron j 1 =3/2oder1/2, für das s–Elektron j 2 =1/2, so daß
die möglichen Werte 3/2 ± 1/2 = 2 oder 1und 1/2 ± 1/2 =1
oder 0 sind. Die starke Spin–Bahn–Wechselwirkung (∼ Z 4 )
spaltet die Zustände j 1 =3/2 und j 1 =1/2 weit auf. Jeder
dieser Zustände besitzt eine Dublettfeinstruktur infolge der
elektrostatischen Kopplungsenergie (jj–Kopplungsenergie) des
zweiten Elektrons mit j 2 =1/2.
1 P1
1 P012
L-S j-j (3/2, 1/2)1
C
2p3s
Si
3p4s
Ge
4p5s
Sn
5p6s
Pb
6p7s
(3/2, 1/2)2
(1/2, 1/2)1
(1/2, 1/2)0
Abb. 9.7: Energieterme des Zustandes (n, p) (n +
1,s)der Elemente der 4. Kolonne des periodischen
Systems. Man sieht den Übergang von der LS–
Kopplung zur jj–Kopplung.
Abb. 9.6: Zur jj–Kopplung.
Es tritt die gleiche Anzahl von Feinstrukturzuständen
auf, nur in anderer Anordnung.
Natürlich gilt zur Kennzeichnung der Terme jetzt
die LS–Notation nicht mehr, denn ein resultierender
Bahndrehimpuls ist hier nicht mehr definiert. Es
gibt deshalb keine Termsymbole S, P , D usw..
Man führt aus diesem Grund eine jj–Notation ein,
wobei die Terme nach dem Muster (j 1 ,j 2 ) J bezeichnet
sind. Eine reine jj–Kopplung tritt selten
auf. Häufig dagegen die intermediäre Kopplung:
Übergänge von der LS– zurjj–Kopplung.
Wie stark der LS–Anteil vorhanden ist, läßt sich aus der Untersuchung der Feinstrukturintervalle
bestimmen.
Je weniger streng die reine LS–Kopplung ist, desto weniger streng gilt das Interkombinationsverbot
∆S = 0. Bei Quecksilber beobachtet man eine starke Interkombinationslinie 6 3P → 6 1S. Dies bedeutet aber nicht, daß es sich hier um einen magnetische Dipolübergang handelt, sondern
um die schon starke jj–Beimischung!
Für die Übergänge bei reiner jj–Kopplung gelten folgende Auswahlregeln:
Allgemein: ∆J = 0, ±1(0 �→ 0)
∆m J = 0, ±1(0 �→ 0für ∆J =0)
Für die jj–Kopplung: ∆j = 0, ±1 für ein Elektron,
∆j = 0 für alle anderen.
Für die inneren Elektronen schwerer Atome ist die jj–Kopplung in Reinkultur erfüllt: Röntgenspektren
zeigen jj–Feinstruktur (vgl. dazu Kapitel 6.8).

Kapitel 10
Atome in äußeren Feldern
10.1 Normaler Zeeman–Effekt
Bringt man eine Lichtquelle in ein Magnetfeld, so spalten sich die Spektrallinien auf. Dies ist
eine Folge der Aufspaltung der Terme: Es wird die m–Entartung aller Energieterme aufgehoben.
Bei einem schwachen Magnetfeld erhalten wir den Zeeman–Effekt. Schwach“ heißt, daß die
”
vom äußeren Feld bewirkte magnetische Energie Wpot viel kleiner sein soll als die Spin–Bahn–
Kopplungsenergie VLS . Den klassisch erklärbaren Fall nennt man normalen Zeeman–Effekt.
Klassisch ist er genau dann erklärbar, wenn kein Spin beteiligt ist, d.h. S = 0, also bei Singulett–
Termsystemen. Die Aufspaltung im starken Feld heißt Paschen–Back–Effekt und wird in Kapitel
10.3 behandelt.
Die klassische Erklärung des normalen Zeemaneffektes erfolgte durch Lorentz (vgl. dazu Kapitel
3.4).
Wenden wir uns nun der quantenmechanischen Erklärung zu. Wir werden gleich sehen, daß
der klassische anomale“ Effekt eigentlich der quantenmechanische Normalfall ist, und sich
”
umgekehrt der normale Effekt in Ausnahmesituationen ergibt. Trotzdem hat natürlich der Erfolg
der Lorentzschen Theorie außerordentlich viel dazu beigetragen, die Atomspektren auf die
Eigenschaften von Elektronenzuständen zurückzuführen.
Quantenmechanisch erwartet man beim Einschalten eines äußeren � B–Feldes eine magnetische
Zusatzenergie Wpot . Nun soll B so klein sein, daß Wpot ≪ VLS ist, d.h. wir beschränken uns
auf die Linienaufspaltung im schwachen Feld“. Dann darf W
” pot als Störung behandelt werden,
die die Spin–Bahn–Wechselwirkung von � L und � S zu � J nicht beeinträchtigt. Das resultierende
magnetische Dipolmoment �µ J stellt sich nun quantisiert in Richtung zu dem von außen angelegten
Feld � B ein. Wir erhalten die magnetische Zusatzenergie nach (6.1.1):
W pot = E B = −�µ J · � B.
Das resultierende magnetische Moment �µ J ist gegeben durch
�µ J = �µ L + �µ S = − µ B
�
190
� �
g �
LL + gSS�

10.2. Anomaler Zeeman–Effekt 191
Wir behandeln zunächst den Normalen Zeeman–Effekt, betrachten also nur Singulettzustände,
bei denen S = 0 und J = L ist. Damit
�µ J = − µ B
� gL · � L = �µ L
Die magnetische Zusatzenergie ergibt sich somit zu
E B = −�µ L · � B = g L µ B
�L
� � Lz B = gL µ B
� B = gL µ BmLB Zu jeder der 2L + 1Einstellmöglichkeiten von �µ L im Magnetfeld gehört ein verschiedener
Energiewert des ” richtunggequantelten“ Atoms. Nun unterscheiden sich die benachbarten
Termkomponenten im Magnetfeld um
Abb. 10.1: Termaufspaltung von L =2.
Abb. 10.2: Termaufspaltung und Übergänge beim normalen
Zeeman–Effekt. Jeder der drei Gruppen zusammenfallender
Übergänge entspricht eine der beobachteten Triplettkomponenten.
∆E B = g L µ B B
∆E B = µ B B da g L =1.
Wir erhalten also eine äquidistante
Aufspaltung.
Für spinlose Atome (Singulett–Terme)
ist die magnetische Aufspaltung unabhängig
von L = J!
Damit ergibt sich nebenstehende Termaufspaltung
(vgl. Abb. 10.2) und
mit
∆J =0, ±1;
∆m J =0, ±1
die Zahl der Übergänge.
Die Übergänge zwischen den Komponenten
verschiedener Terme mit gleichen
∆m J fallen energetisch zusammen,
weil die Aufspaltung gleich groß
ist.
Wie hängt nun die klassische (Erklärung vgl. Kapitel 3.5) und die quantenmechanische Erklärung
zusammen?
Wir erinnern uns an die Winkelfunktionen beim H–Atom (vgl. Abb. 7.21).
Ein ∆m =0–Übergang entspricht Dipoländerung in z–Richtung. Wir beobachten eine linear
polarisierte Linie.
Ein ∆m =1–Übergang entspricht Dipoländerung in der x–y Ebene. Diese Linien sind zirkular
polarisiert.
10.2 Anomaler Zeeman–Effekt
Beim anomalen Zeeman–Effekt betrachten wir auch alle Nicht–Singulett–Terme, so daß
�J = � L + � S ,also� J �= � L

192 Kapitel 10. Atome in äußeren Feldern
und deshalb im Gegensatz zu Kapitel 10.1
�µ J = − µ B
�
Abb. 10.3: Vektordiagramm zur
Berechnung des Zeeman–Effekts.
� �
g �
lL + gsS� = − µ � �
B �L +2S� =
�
−µ � �
B �S + J�
mit gL = 1und gS =2.
�
Die beiden Vektoren � L und � S koppeln zu � J unter dem Einfluß
von V LS . Dies ist die stärkere der beiden magnetischen Wechselwirkungen.
Sie übt ein Drehmoment auf die beiden Vektoren
�L und � S aus, so daß deren Erwartungswerte, genau wie der
analoge klassische Vektor, um die Richtung der Bewegungskonstanten
� J präzedieren, mit einer Frequenz ω L = V LS /�, die
durch die Wechselwirkungsenergie gegeben ist. Das ist eine relativ
schnelle Präzessionsbewegung. Die Kopplung der Drehimpulsvektoren
ist in Abb. 10.3 nach oben hin aufgetragen. Nach
unten sind in umgekehrter Richtung die zugehörigen Vektoren
der magnetischen Momente eingezeichnet.
Da nun wegen des g–Faktors des Elektrons der Spinvektor � S
mit dem Faktor 2 zu �µ J beiträgt, steht zwar �µ L in Richtung
von � L, und �µ S in Richtung von � S,nichtaber�µ J in Richtung
von � J, sondern hat die eingezeichnete Richtung und Länge.
Da � L und � S mit fester Phase gekoppelt sind, präzediert auch �µ J schnell um die (schwach gezeichnete)
Richtung von � J. Die Komponente von �µ J in Feldrichtung zeigt daher eine schnelle
Variation und wir können zur Berechnung der magnetischen Energie den zeitlichen Mittelwert
�µ J über viele Präzessionsumläufe nehmen. Er ist, wie die Figur zeigt, gleich der Projektion von
�µ J auf die Richtung von � J. Es ist also �µ J der effektive Vektor, auf den � B wirkt. Das resultierende
Drehmoment führt zu einer Präzession von � J um die z–Achse, die aber wegen E B ≪ V LS nun
vergleichsweise langsam ist. Die hier verwendete Näherung für ein schwaches Feld besteht also
darin, daß man während eines langsamen Umlaufs von � J um � B über die vielen schnellen Umläufe
von �µ J um � J mittelt. Das gemittelte magnetische Moment hat den Betrag:
�
�µ J = |�µ J |·cos �µ J , � �
J · � J
| � J| = |�µ J |
= − µ B
�J 2
�
( � L +2� S)( � L + � �
S)
�
�µ J
|�µ J | · � J
· � J = − µ B
�J 2
| � J |
�
· � J
| � 1
=
J| J 2
�
�µ J · � �
J · � J
�
L 2 + � L · � S +2 � L · � S +2S 2� � J.
Mit � J = � L + � S � J 2 = L2 + S2 +2� L · � S folgt:
�µ J = − µ B
�J 2
�
L 2 +2S 2 +3 1
2 (J 2 − L 2 − S 2 =
�
) �J
− µ B
�J 2
�
J 2 + 1
2 (J 2 + S 2 − L 2 =
�
) �J
− µ �
B
1+
�
J 2 + S2 − L2 2J 2
�
�J
Wir gehen nun zum Erwartungswert über, und erhalten, indem wir wie früher statt der Opera-

10.3. Paschen–Back–Effekt 193
toren die Eigenwerte einsetzen, also �2J(J + 1) statt � J 2
usw. . Damit
〈 �µ J 〉 = − µ �
�
B J(J +1)+S(S +1)− L(L +1)
1+ 〈
�
2J(J +1)
� �� �
=gJ �= Landéscher g–Faktor
� J 〉 (10.2.1)
〈�µ J 〉 = − µ BgJ � 〈 � J 〉 (gemitteltes magnetisches Moment).
Wird nun das Magnetfeld eingeschaltet, so präzediert � J um � B. Die Zusatzenergie ist dann
E B = −〈�µ J 〉· � B = −〈�µ J 〉 z B,
wobei wir 〈 � J〉· � B = 〈J z 〉B gesetzt haben. Mit Obigem folgt dann:
E B = µ B g J
� 〈J z 〉B = µ B g J
� m J �B
E B = µ B g J m J B .
Wiederum spaltet jeder Term in 2J +1 äquidistante ” Magnetterme“ auf. Weiter hängt die
Aufspaltung vom Landé–Faktor g J ,derfür jedes Niveau verschieden sein kann, ab. Es ist:
∆E B = µ B g J B
Abb. 10.4: Anomaler Zeeman–Effekt. Aufspaltung der Linien D1 und D2 des neutralen Na–Atoms.
Dies ist das Aufspaltungsbild des Na D–Feinstruktur–Dubletts in 6+4 Linien. Die Polarisationen
und die Ausbreitungsrichtungen von π und σ–Licht verhalten sich wie beim normalen Zeeman–
Effekt.
Für den normalen Zeeman–Effekt (S =0)wirdgJ = 1 aus (10.2.1) und es gelten die Ausdrücke
des letzten Abschnitts.
10.3 Paschen–Back–Effekt
Wie wir in Kapitel 10.1 erwähnt hatten, erhalten wir im ” starken“ Magnetfeld eine andere
Aufspaltung, es tritt der Paschen–Back–Effekt auf. Die Frage ist nun, was ist ein ” starkes“

194 Kapitel 10. Atome in äußeren Feldern
Magnetfeld? Da die Spin–Bahn–Kopplungsenergie V LS mit wachsender Kernladungszahl (vgl.
(6.6.1)) stark zunimmt, ist der Fall des starken Feldes bei leichten Atomen schon bei sehr viel
kleineren Magnetfeldern erfüllt, als bei schwereren Atomen. So beträgt zum Beispiel die Spin–
Bahn–Aufspaltung bei den Natrium–D–Linien 17.2cm −1 , bei den entsprechenden Linien des
Lithium–Atoms 0.3cm −1 . Die Zeeman–Aufspaltung im äußeren Feld beträgt in beiden Fällen
rund 1cm −1 bei einem äußeren Feld von 3 Tesla. Dieses Feld ist also für Lithium ein ” starkes“,
und für Natrium noch ein ” schwaches“ Feld.
B = 3 T = 30 kGauß
V LS :3.7 · 10 −5 eV �=0.3cm −1 2.1 · 10 −3 eV �=17.2cm −1
∆E B :1.7 · 10 −4 eV �=1.4cm −1 1.2 · 10 −4 eV �=1cm −1
Li Na
Abb. 10.5:
Na.
P nach S–Übergänge bei Li und
” starkes“
” schwaches“
Feld Feld
Auf jeden Fall ist ∆EB ∼ B. Wennnun∆EB≈VLS ist, geht das Feinstrukturbild verloren, der
Zeeman–Effekt geht über in den Paschen–Back–Effekt.
Am einfachsten ist wieder das Extrem: Die Energie ∆EB im äußeren Feld soll sehr groß sein gegen VLS , also
ωB ≫ ωLS . Dann wird nämlich durch das Magnetfeld die
LS–Kopplung gelöst, so daß nicht mehr � L und � S gemeinsam
um � J und dieses um die Feldrichtung präzessieren.
�L und � S sind nun vielmehr entkoppelt und präzessieren
nach Abb. 10.6 einzeln um die Feldrichtung, d.h. die
Wellenfunktionen faktorisiert wieder in eine Raumfunktion
Y M L und eine Spinfunktion χ(� S).
Da wir jetzt keine LS–Kopplung zu berücksichtigen
brauchen, ergibt sich die z–Komponente von �µ direkt,
µ z = − µ B
� (Lz +2Sz ),
z
Sz �S
Lz �µ S
�L
und daraus ergibt sich die entsprechende magnetische
Zusatzenergie
�µ L
EB = −µ zB = µ B
� B(Lz +2Sz )=µ BB(mL +2mS ) .
Somit beträgt die Aufspaltungsenergie ∆EB der Spektrallinien
∆E B = µ B · B (∆m L +2∆m S ) .
Abb. 10.6: Zum Paschen–Back–Effekt.
Für optische Übergänge gelten wiederum Auswahlregeln, nämlich wie bereits früher ∆m L =0, ±1
für π– bzw.σ–Übergänge. Da elektrische Dipolstrahlung nicht mit Spinumkehr verbunden ist,
gilt ferner ∆m S = 0. Es ergibt sich ein Aufspaltungstriplett wie beim normalen Zeeman–Effekt.
Man erhält im Paschen–Back–Gebiet (und im Übergangsgebiet) wiederum die gleiche Anzahl
von Termen, wie beim normalen Zeeman–Effekt, aber in anderer Kopplung, d.h. mit anderen
Quantenzahlen.

10.4. Dia– und Paramagnetismus, Di– und Parelektrische Atome, Starkeffekt 195
Abb. 10.7: Übergang vom anomalen
Zeeman–Effekt zum Paschen–Back–
Effekt. Beim Zeeman–Effekt gibt das
Produkt mJ · gJ die relative Weite
der Aufspaltung an; beim Paschen–
Back–Effekt wird sie von der Summe
(mL +2mS)bestimmt.
Das Verhalten im Übergangsgebiet beschreibt die sogenannte Breit–Rabi–Formel. Sie soll hier
nicht angegeben werden. Als wichtige Regel gilt: Terme mit gleichem |m| kreuzen nicht.
Für Atome mit reiner jj–Kopplung und insbesondere mit intermediärer Kopplung (LS–jj) sind
die Verhältnisse im Magnetfeld kompliziert.
10.4 Dia– und Paramagnetismus, Di– und Parelektrische
Atome, Starkeffekt
Einen ersten Hinweis für die Deutung der dia– und paramagnetischen Erscheinungen lieferte die
durch die Erfahrung gesicherte Tatsache, daß Edelgase ausnahmslos diamagnetisch und Alkalidämpfe
paramagnetisch sind. Das äußerste Elektron in der Hülle eines Alkali–Atoms ist stets
ein s–Elektron mit Bahndrehimpuls l = 0 und dem Spindrehimpuls �s, derbezüglich eines Magnetfeldes
nur die beiden Komponenten sz = ± 1
2� besitzen kann. Auch das damit verbundene
magnetische Moment besitzt in Feldrichtung nach der Tabelle in Kapitel 6.11 nur zwei mögliche
Komponenten:
µ sz = ±µ B .
Diese Komponenten besitzt auch das Atom als Ganzes, wie aus dem Stern–Gerlach–Versuch und
der Aufspaltung der s–Niveaus in einem Magnetfeld hervorgeht.
Deshalb hat der Atomrumpf wegen der abgeschlossenen Edelgaskonfiguration kein magnetisches
Moment und besitzt auch keinen Drehimpuls. Dies wird durch den Stern–Gerlach–Versuch
bestätigt. Diamagnetische Atome haben im Grundzustand J =0(L =0,S = 0) und zeigen für
alle Übergänge zum Grundzustand im Magnetfeld das normale Zeeman-Triplett.
Bei allen Atomen induziert ein äußeres Magnetfeld ein magnetisches Dipolmoment: �µ ind ∼−� B.
Für das einzelne Atom bedeutet das eine Zusatzenergie
W ind ∼ B 2 .

196 Kapitel 10. Atome in äußeren Feldern
Wegen der Proportionalität zu B 2 nennt man diesen Effekt auch den quadratischen Zeeman–
Effekt. Der Effekt wird umso größer sein, je größer der magnetische Fluß und damit die
Atomfläche (d.h. r 2 ∼ n 4 )ist.
W ind ∼ n 4 B 2 .
Paramagnetische Atome sind solche Atome mit J �= 0 im Grundzustand.
Im äußeren Magnetfeld tritt die Zeeman–Aufspaltung des Grundzustandes auf. Wegen der
unterschiedlichen Besetzung der Zeeman–Terme im thermischen Gleichgewicht erhält man ein
makroskopisches, magnetisches Dipolmoment. Dies wird bei starken Magnetfeldern, u.a. bei
Rydbergzuständen beobachtet.
Wie steht es mit der Wechselwirkung in elektrischen Feldern? (Stark–Effekt) Der Effekt ist meist
sehr klein, so daß seine Beobachtung hohe Felder und hohe spektrale Auflösung erfordert. Die
Quantenmechanische Behandlung des Stark–Effekts ist sehr viel komplizierter als diejenige des
Zeeman–Effekts, und da der Stark–Effekt für die Untersuchung der Eigenzustände eines Atoms
nicht von Wichtigkeit ist, wollen wir hier nur kurz darauf eingehen. Hier beträgt die Zusatzenergie
Aber wegen
ist
�
〈�µ el 〉 = 〈e�x〉 = e
W el = −�µ el · � E.
W el = �µ el · � E =0.
ψ ∗ (x)�xψ(x)dx =0
Der Erwartungswert 〈�µ el 〉 verschwindet für Zustände definierter Parität, d.h. für Nicht–l–
entartete Zustände, da dann ψ ∗ (x) · ψ(x) eine gerade Funktion in x ist. Da x natürlich eine
ungerade Funtion ist, verschwindet dann das Integral � +∞
−∞ dx.
Wenn �µ el = 0 ist gibt es keine atomare Parelektrizität, (parelektrische Stoffe bestehen aus
Molekülen, die entartet sind), also gibt es auch keine Energieaufnahme W el , die proportional
zu � E ist. Aber ein Atom kann im elektrischen Feld polarisiert werden: Dielektrizität. Dann ist
�µ el ∼ � E und W el = −�µ · � E ∼ E 2 . Die Terme spalten dann im elektrischen Feld auf. Dies nennt
man den quadratischen Stark–Effekt. In der quantenmechanischen Beschreibung ergibt sich
Wel = e 2 �
2
E
ij
|〈ψ j �xψ i 〉| 2
E j − E i
d.h. es müssen zwei Terme unterschiedlicher Parität ψ i und ψ j verbunden werden: Induziertes
Dipolmoment! Eine Ausnahme ist der Wasserstoff. Hier sind die Terme bekanntlich j–entartet,
d.h. 2 s 1/2 und 2 p 1/2 haben die gleiche Energie, d.h. die Wellenfunktionen haben keine definierte
Parität, folglich kann ein permanentes elektrisches Dipolmoment existieren: Linearer Stark–
Effekt.
Ähnlich ist es auch mit den polaren Molekülen z.B. H 2 O: Entartete Zustände.
,

10.5. Elektronenspinresonanz, Doppelresonanz, Optisches Pumpen 197
10.5 Elektronenspinresonanz, Doppelresonanz,
Optisches Pumpen
Als Elektronenspinresonanz (ESR) bezeichnet man Übergänge zwischen den durch verschiedene
Werte der magnetischen Quantenzahl m charakterisierten Energiezustände von Elektronen. Die
Übergangsfrequenzen liegen bei den verwendeten Magnetstärken meistens im Bereich der Zentimeterwellen
(Mikrowellen), im Gegensatz zum in Kapitel 10.1 besprochenene Zeeman–Effekt,
bei dem die Übergänge im optischen Spektralbereich zu beobachten sind, d.h. bei denen sich
nicht nur die magnetische Quantenzahl ändert.
Paramagnetische Atome (J �= 0) zeigen im
Grundzustand eine Zeeman–Aufspaltung im
äußeren Feld. Der Termabstand beträgt
∆E B = µ B · g J · B.
Klassisch bedeutet dies, daß der Atomkreisel
�J um die z–Richtung mit der Larmorfre-
quenz:
ωL = |�µ|| � B|
| � J| = g �
J J(J +1)µBB � =
J(J +1)�
∆E
�
Abb. 10.8: Aufspaltung im äußeren Feld.
= γB (unabhängig von α) präzidiert.
Wird jetzt senkrecht zu � B ein HF–Feld mit derselben Frequenz ωL = ∆E
eingestrahlt, so
�
weitet sich der Winkel α auf und � J vollführt eine Spiralbahn. Denn stimmt die Frequenz ω des
HF–Feldes mit der Präzessionsfrequenz ωL überein, so kommt es ständig zu einer Vergrößerung
bzw. zu einer Verkleinerung des Neigungswinkels α, je nachdem ob das Feld in Phase oder in
Gegenphase mit der Präzessionsbewegung ist.
Im klassischen Kreiselmodell bewegt sich die Spitze des Kreisels auf einer Spiralbahn aus einer
stabilen in eine andere stabile Lage. Im quantenmechanischen Bild hat der Spin nur diskrete
stationäre Einstellmöglichkeiten im zeitlich konstanten Magnetfeld. In diesem Bild führt der
Spin unter dem Einfluß des Wechselfeldes � B Übergänge zwischen diesen disketen Energieniveaus
aus, d.h. er klappt von der einen Einstellrichtung in die Andere.
Die ESR wurde 1945 von Zavoisky zum erstenmal beobachtet: Der Nachweis geschieht mittels
Absorption aus dem Klystron–Mikrowellenfeld.
Anwendung:
• Zur Präzisionsbestimmung des g–Faktors des Elektrons,
• zur Messung des g–Faktors von Atomen im Grundzustand zum Zwecke der Termanalyse,
• zur Untersuchung von paramagnetischen Zuständen in Festkörpern: Leitungselektronen,
paramagnetische Ionen in Kristallen u.ä. .
Die unterschiedliche Polarisation der verschiedenen Zeeman–Komponenten kann man benutzen,
um auch ohne die erforderliche spektrale Auflösung, oder wenn die Linienbreite zu groß ist, doch
selektiv einzelne Zeeman–Niveaus des angeregten Zustands zu bevölkern. Dies ist der einfachste
Fall des optischen Pumpens, dem wir uns zum Schluß noch zuwenden werden.

198 Kapitel 10. Atome in äußeren Feldern
Doppelresonanzmethode:
Abb. 10.9: Zur Doppelresonanz: Es
sind die drei Zeeman–Subniveaus des angeregten
Zustand P1 dargestellt.
Durch Einstrahlung von π–Licht werden Atome in den m J =
0 Anregungszustand gehoben. Die so angeregten Atome
emittieren wiederum π–Licht. Durch Einstrahlung eines
HF–Feldes senkrecht zu � B kann man die Zeeman–Niveaus
m =1,m = −1bevölkern. Das aus diesen Niveaus emittierte
Licht ist aber zirkular polarisiert. Das Auftreten der
zirkular polarisierten Emission kann somit zum Nachweis
der Übergänge ∆m = ±1dienen.
Nachweis der Resonanz also durch Beobachtung optischer
Signale: Man erreicht dadurch eine wesentlich größere
Empfindlichkeit, weil man die Hochfrequenzquanten mit
kleiner Quantenenergie durch die viel energiereicheren
Lichtquanten nachweist. Dadurch wird erst die Messung
der Spinresonanz in einem kurzlebigen Anregungszustand
möglich.
Das Doppelresonanzverfahren führt schließlich zur Methode des optischen Pumpens. DasPrinzip
des optischen Pumpens kann gut am Beispiel der Natrium–D–Linien erläutert werden, z.B. am
Übergang vom Grundzustand 2 S 1/2 zum Anregungszustand 2 P 1/2 .
Abb. 10.10: Optisches Pumpen am Übergang 2 S 1/2–
2 P1/2 des Na–Atoms.
In einem äußeren Magnetfeld sind beide Terme
in die Zeeman–Terme m J = ±1/2 aufgespalten.
Wenn nun das Anregungslicht zirkular polarisiert
ist, wird beispielsweise mit σ + –Übergängen von
m J = −1/2 im Grundzustand der Anregungszustand
mit m J = +1/2 bevölkert. Emission aus
diesem Zustand erfolgt entweder als σ + –Licht in
den Ausgangsterm 2 S 1/2 , m J = −1/2 oderaber
als π–Licht in den Grundzustandsterm mit m J =
+1/2. Insgesamt wird durch diesen Pumpzyklus
die Besetzung der Terme m J = +1/2 im
Grundzustand auf Kosten derer mit m J = −1/2
erhöht. Ein Ausgleich kann durch Relaxationsprozesse,
z.B. durch Stöße der Natrium–Atome
untereinander oder mit der Wand erfolgen. Wenn
diese Prozesse nicht rasch genug sind, kann man
durch Einstrahlen von Mikrowellen Übergänge in
dem Grundzustand induzieren.
THE END

Index
Absorption, 75
Absorptionskanten, 129
Absorptionskoeffizient, 57
Absorptionsspektrum, 47
Alkali–Atome, 97
Atome
dielektrische, 195
parelektrische, 195
Atommasse
absolute, 2
Atommodell
Bohr, 89
Rutherford, 89
Sommerfeld, 93
Thomson, 53
Atomspektren, 47
Aufenthaltswahrscheinlichkeit, 141
Aufspaltungsenergie, 171
Auger–Effekt, 101, 102
Auger–Elektronen, 102
Austrittsarbeit, 79
Auswahlregel, 99
Bahndrehimpuls, 119
Bahndrehimpulsquantenzahl, 95, 115
Balmerformel, 50
barometrische Hohenformel, 4
Bohrsche Hauptquantenzahl, 94
Bohrscher Radius, 91
Bohrsches Korrespondenzprinzip, 93
Bohrsches Magneton, 112, 113
Bohrsches Wasserstoff–Atom, 90
Bolzmannscher Energieverteilungssatz, 4
Bosonen, 177
Bremsstrahlung, 46, 100
Charakteristische Strahlung, 100
Clebsh–Gordan–Koeffizienten, 171
Compton–Effekt, 81
199
Comptonwellenlange, 81
Coulombpotential, 158
De Broglie–Beziehung, 134
Diamagnetismus, 111, 195
Dielektrizitat, 196
Diffusionsstrom, 8
Dipol
elektrischer, 41
magnetischer, 110
Dipolmoment
elektrisches, 41
magnetisches, 109
Dipolstrahlung, 41
Dirac–Gleichung, 172
Dispersion, 140
anomale, 57
normale, 57
Doppelbrechung, 59
Doppelfokussierung, 24
Doppelresonanz, 197
Doppelresonanzmethode, 198
Drehimpulskopplungskoeffizienten, 171
Drehimpulsoperator, 166
Dualismus Welle–Teilchen, 134
Dublett, 100, 128
Eigendrehimpuls, 117
Eigenfunktion, 161
Eigenwert, 161
Eigenwertgleichung, 162
Einsteinkoeffizienten, 76
Elektro–optischer Effekt, 62
Elektron
Impuls, 135
Ruhenergie, 82
Elektroneninterferenz, 134
Elektronenspinresonanz, 197
Elementarladung, 21

200 Index
Emission
erzwungene, 76
spontane, 75
Emissionsspektren, 47
Emissionsvermogen
spektrales, 71
Energiedichte, 35, 70, 134
mittlere, 36
Energieeigenfunktionen, 167
Energieflusdichte, 35, 40, 135
Energiestromvektor, 35
Energieverlust
spezifischer, 108
Erwartungswert
quantenmechanischer, 164
Eulersche Wellengleichung, 33
Extinktion, 63
Extinktionskoeffizient, 63
Faradaysches Gesetz, 9
Feinstrukturaufspaltung, 119, 171
Feinstrukturkonstante
Sommerfeld, 91, 96
Fermionen, 177
freie Weglange, 19
Gesamtdrehimpulsvektor, 121
Gesamtenergiedichte, 34
Geschwindigkeitsfokussierung, 23
g–Faktor, 113, 118
Gleichverteilungssatz, 72
Gruppengeschwindigkeit, 141
gyromagnetsiches Verhaltnis, 110
Hamilton–Gleichungen, 90
Hamilton–Operator, 162
Hamiltonfunktion, 73, 90, 162
harmonischer Oszillator, 150
Hauptquantenzahl, 115, 158
Heisenbergsche Unscharferelation, 143
hermitesche Operatoren, 164
hermitesche Polynome, 151
Hohlraum–Strahlung, 69
Hundsche Regeln, 187
Impuls
generalisierter, 90
Impulsdichte, 36
Impulsspektrum, 143
Impulsstromdichte, 36
Impulsunscharfe, 150
Impulswahrscheinlichkeit, 150
Intensitat, 35
Intensitatsverteilung
spektrale, 68
Interferenz, 134
Interferenzgitter, 48
Interferometer, 49
Interkombinationsverbot, 182
Ionisationsenergie, 21
j–Entartung, 126
jj–Kopplung, 188
Kernkrafte, 89
Kernmitbewegung, 92
Kernradius, 89
kinetische Gastheorie, 3
Kirchhoffscher Strahlungssatz, 69
Klein–Gordan–Gleichung, 172
Kugelflachenfunktion, 156
l–Entartung, 93
Aufhebung, 97
Laguerresche Polynome, 158
Lamb–Shift, 123, 127
Landésche Intervallregel, 188
Landéscher g–Faktor, 113, 193
Larmorfrequenz, 55, 109, 110, 197
Larmorsche Strahlungsformel, 41, 46
Legendresche Polynome, 155
l–Entartung, 159
magnetisches Moment, 115
magnetisches Spinmoment, 119
Magnetquantenzahl, 116
Massenabsorptionskoeffizient, 103
Massenspektroskopie, 22
Maxwell–Relation, 34
Maxwellscher Strahlungsdruck, 35
Mittelung
raumliche , 70
Moseley–Gesetz, 101
Mottformel, 130
Mottstreuung, 130
Multiplizität
alternierende, 188
Multiplizitat, 185

Index 201
Multiplizitat, 127
Nebenquantenzahl
Sommerfeld, 95
Nomenklatur der Terme, 127, 185
Normierungsbedingung, 143
Operatorgleichung, 161
optische Aktivitat, 60
optisches Pumpen, 197, 198
Orthohelium, 182
Ortsfunktion, 178
Oszillator
harmonischer, 150
Parabelmethode, 23
Parahelium, 182
Paramagnetismus, 112, 195
Parelektrizitat, 196
Paritat, 173
Paschen–Back–Effekt, 193
Pauli–Prinzip, 180, 183
Phasenraum, 73
quantisierter, 93
Photoeffekt, 79
Photon
Dichte, 135
Drehimpuls, 77
Energie, 135
Spin, 77
Teilchenstromdichte, 135
Plancks Quantisierungsvorschrift, 73
Polarisation, 131
elekrische, 56
Polarisationseffekte, 59
Polarkoordinaten, 153
Poyntingvektor, 135
Prazessionsbewegung, 110
Prazessionsfrequenz, 110
Primarstrahlung, 55
Prismen–Spektrograph, 47
Quantendefekt, 100
Quantenfluktuation, 82
quantenmechanische Erhaltungsgrose, 172
quantenmechanische Erwartungswerte, 138,
145
Quantenzahl j, 121
Quantenzahlen, 133
Quantisierungsbedingung, 90, 94
Radialgleichung, 154
Radialquantenzahl, 158
Ramsauer–Effekt, 137
Relaxationsprozesse, 198
Resonanzfluoreszenz, 57
retardierte Potentiale, 38
retardierte Zeit, 38
Richtungsfokussierung, 24
Richtungsquantelung, 115, 116
Ritzsches Kombinationsprinzip, 52
Rontgenabsorption, 129
Rontgenbremskontinuum, 80
Rontgenemissionslinien, 128
Rontgenfluoreszenz, 129
Rotationsdispersion, 62
Rutherfordsche Streuformel, 86, 130
Rutherfordstreuung
anomale, 89
Rydberg
Atome, 93
Formel, 92
Konstante, 50, 91
Zustande, 93
Schrodingergleichung
zeitabhangige, 171, 172
zeitunabhangige, 146, 172
Schwarzer Korper, 68
Sedimentationsgleichgewicht, 5
Sekundarstrahlung, 55
Serienformeln fur Natrium, 99
Singulett, 179
Slater–Determinante, 180
Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante, 91,
96
Sommerfeldsche Nebenquantenzahl, 95
Spektralapparate, 47
Spektrale Strarke, 139
Spektraler Verschiebungssatz, 52
Spektrales Absorptionsvermogen, 69
spektrales Emissionsvermogen, 68
Spektrum
charakteristisches, 80
wasserstoffahnliches, 52
spezifische Masse, 25
Spin, 116, 117

202 Index
Spin–Bahn
–Kopplung, 119
–Kopplungsenergie, 123
–Kopplungskonstante, 123
Spinfunktion, 169, 178
Spinquantenzahl, 118
Stark–Effekt, 52
quadratischer, 196
Stefan–Boltzmann–Gesetz, 75
Strahlungscharakteristik
Dipol, 42
Strahlungsdampfung, 69
Strahlungsformel
Planck, 77
Rayleigh–Jeans, 72
Wien, 72, 85
Suszeptibilitat
elektrische, 56
Teilchengeschwindigkeit, 141
Teilchenvertauschung, 176
Thermisches Gleichgewicht, 70
Thomasfaktor, 120
Thomasprazession, 120
Triplett, 179
Ubergangswahrscheinlichkeit
induzierte, 77
Uberlappungsintegral, 163
Ultraviolettkatastophe, 72
Unscharferelationen
Energie–Zeit, 79, 143
Ort–Impuls, 79
Ununterscheidbarkeit der Teilchen, 175
Valenzelektronen, 97
Vektorpotential, 36
Verschiebungstrom, 8
Versuch von
Franck und Einsporn, 105
Franck und Hertz, 104
Lenard, 102
Vertauschungsrelation, 165
Warmestrahlungsspektren, 68
Wasserstoff
Feinstrukturformel, 126
Wasserstoff–Spektrum, 50
wasserstoffahnliches Spektrum, 52
Wellenfunktion
normierte, 141
Wellengleichung, 134, 146
Wellenpakete, 138
Wienscher Verschiebungssatz, 75
Winkelgleichung, 154
Winkelverteilung, 16
Wirkungsfunktion, 73, 90
Wirkungsquerschnitt, 17
Zeeman–Effekt, 54
anomaler, 191
normaler, 190
quadratischer, 195
Zusatzenergie
magnetische, 194
Zustandsdichte
spektrale, 83
Zustandsfunktion, 162

Literaturverzeichnis
[1] Bergmann–Schäfer. Lehrbuch der Experimentalphysik, Band III, Optik, 8. Auflage, Walter
de Gruyter Verlag 1987.
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Wien 1987.
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Wiesbaden 1979.
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[8] Huber–Staub. Physik III/1 Atomphysik, Ernst Reinhardt Verlag München 1970.
[9] T. Mayer–Kuckuk. Atomphysik, 3. Auflage, B. G. Teubner Stuttgart 1985.
[10] Schpolski. Atomphysik I, VEB Berlin 1983.
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1931.
[12] Staudt. Experimentalphysik I, Attempto Verlag Tübingen.
[13] Staudt. Experimentalphysik II, Attempto Verlag Tübingen.
203

Konstanten
Größe Formel– Zahlenwert Einheit relative
zeichen Unsicherheit
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c 299 792 458 ms−1 Null
magnetische Feldkonstante µ0 4π × 10−7 NA−2 =12.566370614 ... 10
Null
−7NA−2 elektrische Feldkonstante, 1/µ0c2 ε0 8.854187817 ... 10−12 Fm−1 Null
Planksches Wirkungsquantum h 6.6260755 (40)10−34 Js 6.0 × 10−7 4.1356692 (12)10−15 eV s 3.0 × 10−7 h/2π � 1.05457266 (63)10 −34 Js 6.0 × 10 −7
6.5821220 (20)10 −16 eV s 3.0 × 10 −7
Elementarladung e 1.60217733 (49)10 −19 C 3.0 × 10 −7
e/� 2.41798836 (72)10 14 AJ −1 3.0 × 10 −7
Bohr–Magneton, e�/2me µB 9.2740154 (31)10 −24 JT −1 3.4 × 10 −7
Feinstrukturkonstante, 1
2 µ0ce 2 /h α 7.29735308 (33)10 −3 4.5 × 10 −8
Rydberg–Konstante, 1
2 mecα2 /h R∞ 10 973 731, 534 (13)m −1 1.2 × 10 −9
R∞c 3.2898419499 (39)10 15 Hz 1.2 × 10 −9
Bohr–Radius, α/4πR∞ a0 0.529177249 (24)10 −10 m 4.5 × 10 −8
Ruhemasse des Elektrons me 9.1093897 (54)10 −31 kg 5.9 × 10 −7
5.48579903 (13)10 −4 u 2.3 × 10 −8
0.51099906 (15)MeV 3.0 × 10 −7
spezifische Elektronenladung −e/me −1.75881962 (53)10 11 Ckg −1 3.0 × 10 −7
Compton–Wellenlänge des Elektrons, h/mec λC 2.42631058 (22)10 −12 m 8.9 × 10 −8
λC/2π = αa0 = α 2 /4πR∞ ¯λC/2π 3.86159323 (35)10 −13 m 8.9 × 10 −8
(klassischer)Radius des Elektrons, α 2 a0 re 2.81794092 (38)10 −15 m 1.3 × 10 −7
magnetisches Moment des Elektrons µe 928.47701 (31)10−26 JT−1 3.4 × 10−7 µe/µB 1.001159652193 (10)1.0 × 10−11 µe/µN 1838.282000 (37)2.0 × 10−8 g–Faktor des Elektrons ge 2.002319304386 (20)1 × 10−11 Avogadro–Konstante NA 6.0221367 (36)10 23 mol −1 5.9 × 10 −7
Faraday–Konstante F 96 485.309 (29)C mol −1 3.0 × 10 −7
Universelle Gaskonstante R 8.314510 (70)J mol −1 K −1 8.4 × 10 −6
atomare Masseneinheit, 1u = mu = 1
12 m(12 C) u 1.6605402 (10)10 −27 kg 5.9 × 10 −7
204